2023九年級數(shù)學下冊 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系1 銳角三角函數(shù)第1課時 正切教學實錄 （新版）北師大版

2023九年級數(shù)學下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系1銳角三角函數(shù)第1課時正切教學實錄（新版）北師大版主備人備課成員教學內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學內(nèi)容為九年級數(shù)學下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系1，重點講解銳角三角函數(shù)中的正切函數(shù)。

2.教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系緊密。學生在學習本節(jié)課之前，已經(jīng)學習了直角三角形的基本性質(zhì)，掌握了勾股定理。本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上，引導學生理解正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，進一步鞏固直角三角形的邊角關(guān)系。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言表達幾何關(guān)系的邏輯思維能力。

2.培養(yǎng)學生通過觀察、實驗、推理等數(shù)學活動，探索直角三角形邊角關(guān)系的探究能力。

3.培養(yǎng)學生運用正切函數(shù)解決實際問題的應(yīng)用意識。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，能夠識別和構(gòu)造直角三角形。他們對三角形的邊長和角度有一定的理解，但在應(yīng)用這些知識解決實際問題方面可能還存在一些困難。

2.學生對數(shù)學的興趣因人而異，但大多數(shù)學生在面對新的數(shù)學概念和公式時表現(xiàn)出了好奇心和探究欲。他們的學習能力各有不同，部分學生能夠快速理解和應(yīng)用新知識，而另一部分學生可能需要更多的指導和練習。學習風格上，有的學生偏好視覺學習，有的學生則更喜歡動手操作或口頭討論。

3.學生在學習正切函數(shù)時可能遇到的困難包括理解函數(shù)的定義，以及在幾何圖形中找到正切線段的難度。此外，將正切函數(shù)與實際問題相結(jié)合時，學生可能難以建立數(shù)學模型并找到合適的解決方案。這些挑戰(zhàn)需要教師在教學中通過適當?shù)氖痉?、練習和反饋來幫助學生克服。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學資源準備1.確保每位學生擁有《2023九年級數(shù)學下冊》教材，包括本節(jié)課的相關(guān)章節(jié)。

2.準備與正切函數(shù)相關(guān)的圖片、圖表和視頻，幫助學生直觀理解概念。

3.教室內(nèi)設(shè)置多個小組討論區(qū)，方便學生進行合作學習。

4.準備直角三角板和量角器等實驗器材，用于學生實際操作和驗證正切函數(shù)的性質(zhì)。教學過程一、導入新課

1.教師通過提問：“同學們，我們已經(jīng)學習了直角三角形的性質(zhì)，誰能告訴我直角三角形中有哪些特殊角？”

2.學生回答，教師總結(jié)：直角三角形中有一個角是直角，其余兩個角是銳角。

3.教師繼續(xù)提問：“那么，我們?nèi)绾伪硎具@兩個銳角呢？”

4.學生可能回答角度，教師引導：“是的，我們可以用角度來表示。但是，我們還可以用邊長來表示這兩個銳角。”

二、新課講解

1.教師講解正切函數(shù)的定義：“正切函數(shù)是指直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比值。記作tan(θ)，其中θ為銳角?！?/p>

2.教師通過PPT展示正切函數(shù)的圖像，引導學生觀察：“同學們，請看屏幕上的圖像，這是正切函數(shù)的圖像。大家發(fā)現(xiàn)，正切函數(shù)在第一象限是增函數(shù)，在第二、三、四象限是減函數(shù)。”

3.教師講解正切函數(shù)的性質(zhì)：“正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期為π。當θ=π/2時，tan(θ)不存在?！?/p>

4.教師通過實例講解正切函數(shù)的應(yīng)用：“同學們，我們來做一個實例。已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，求這個直角三角形的斜邊長?！?/p>

5.學生獨立完成題目，教師巡視指導。

三、課堂練習

1.教師發(fā)放練習題，要求學生獨立完成。

2.教師講解練習題中的重點和難點。

3.學生再次完成練習題，教師批改并講解。

四、課堂小結(jié)

1.教師引導學生回顧本節(jié)課所學的知識點：“同學們，今天我們學習了正切函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。大家掌握了這些知識點嗎？”

2.學生回答，教師總結(jié)：“好的，大家掌握了。正切函數(shù)是直角三角形中一個重要的函數(shù)，它在很多實際問題中都有應(yīng)用?！?/p>

3.教師布置課后作業(yè)：“請同學們課后完成教材中的練習題，鞏固所學知識?！?/p>

五、課堂延伸

1.教師提問：“同學們，除了正切函數(shù)，還有哪些三角函數(shù)呢？”

2.學生回答，教師講解余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。

3.教師布置課后作業(yè)，要求學生完成相關(guān)練習題。

六、課堂總結(jié)

1.教師總結(jié)本節(jié)課的教學內(nèi)容：“同學們，今天我們學習了正切函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。希望大家能夠通過課后練習，鞏固所學知識。”

2.學生回答，教師總結(jié)：“好的，希望大家能夠通過課后練習，掌握正切函數(shù)的相關(guān)知識，為后續(xù)的學習打下堅實的基礎(chǔ)?！?/p>

3.教師宣布下課：“同學們，今天的課就上到這里，下課！”知識點梳理1.直角三角形的性質(zhì)

-直角三角形有一個角是直角（90度）。

-直角三角形的兩條直角邊互相垂直。

-直角三角形的斜邊最長。

2.銳角三角函數(shù)的定義

-正弦函數(shù)（sinθ）：直角三角形中，銳角θ的對邊與斜邊的比值。

-余弦函數(shù)（cosθ）：直角三角形中，銳角θ的鄰邊與斜邊的比值。

-正切函數(shù)（tanθ）：直角三角形中，銳角θ的對邊與鄰邊的比值。

3.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)

-正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域為銳角（0°到90°）。

-正弦、余弦和正切函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，在第二、三、四象限內(nèi)是減函數(shù)。

-正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期為π。

4.銳角三角函數(shù)的圖像

-正弦函數(shù)圖像是一個波浪形，在y軸的正半軸上。

-余弦函數(shù)圖像是一個波浪形，在y軸的正半軸上，但與正弦函數(shù)圖像相比，它向右平移了π/2。

-正切函數(shù)圖像是一個垂直于x軸的直線，在y軸的正半軸上。

5.銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

-在幾何問題中，利用三角函數(shù)求解角度和邊長。

-在物理問題中，利用三角函數(shù)分析力的分解和合成。

-在工程問題中，利用三角函數(shù)進行角度和距離的計算。

6.正切函數(shù)的特殊值

-當θ=0°時，tan(θ)=0。

-當θ=30°時，tan(θ)=1/√3。

-當θ=45°時，tan(θ)=1。

-當θ=60°時，tan(θ)=√3。

-當θ=90°時，tan(θ)不存在。

7.正切函數(shù)的誘導公式

-tan(θ+π)=tanθ

-tan(θ+π/2)=-cotθ

-tan(θ+π)=-tanθ

-tan(θ-π/2)=cotθ

8.正切函數(shù)在坐標系中的應(yīng)用

-在直角坐標系中，利用正切函數(shù)可以確定直線或曲線的斜率。

-在極坐標系中，利用正切函數(shù)可以確定點與極軸的夾角。典型例題講解1.例題：已知直角三角形的兩條直角邊分別為6和8，求斜邊長。

解題過程：

-根據(jù)勾股定理，斜邊長的平方等于兩條直角邊的平方和。

-斜邊長^2=6^2+8^2

-斜邊長^2=36+64

-斜邊長^2=100

-斜邊長=√100

-斜邊長=10

答案：斜邊長為10。

2.例題：在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=8cm，求AC和AB的長度。

解題過程：

-∠A=30°，在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半。

-因此，AC=BC/2=8cm/2=4cm。

-使用正弦函數(shù)求AB的長度：sinA=對邊/斜邊。

-sin30°=AC/AB。

-1/2=4cm/AB。

-AB=4cm/(1/2)=8cm。

答案：AC的長度為4cm，AB的長度為8cm。

3.例題：在直角三角形ABC中，∠B=45°，AC=√2cm，求AB和BC的長度。

解題過程：

-∠B=45°，在直角三角形中，45°角所對的邊相等。

-因此，AB=AC=√2cm。

-使用余弦函數(shù)求BC的長度：cos45°=鄰邊/斜邊。

-√2/2=BC/√2。

-BC=(√2/2)*√2。

-BC=1cm。

答案：AB的長度為√2cm，BC的長度為1cm。

4.例題：在直角三角形ABC中，∠A=60°，∠C=90°，AB=10cm，求AC和BC的長度。

解題過程：

-∠A=60°，在直角三角形中，60°角所對的邊是斜邊的一半乘以√3。

-因此，AC=AB/2*√3=10cm/2*√3=5√3cm。

-使用正切函數(shù)求BC的長度：tan60°=對邊/鄰邊。

-√3=BC/10cm。

-BC=√3*10cm。

-BC=10√3cm。

答案：AC的長度為5√3cm，BC的長度為10√3cm。

5.例題：在直角三角形ABC中，∠B=30°，∠C=90°，BC=12cm，求AC和AB的長度。

解題過程：

-∠B=30°，在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半。

-因此，AC=BC/2=12cm/2=6cm。

-使用正切函數(shù)求AB的長度：tan30°=對邊/鄰邊。

-1/√3=BC/AB。

-AB=BC/(1/√3)。

-AB=12cm/(1/√3)=12√3cm。

答案：AC的長度為6cm，AB的長度為12√3cm。課堂1.課堂評價：

-提問環(huán)節(jié)：在課堂教學中，通過提問的方式檢驗學生對正切函數(shù)概念的理解程度。例如，提問“正切函數(shù)的定義是什么？”或“正切函數(shù)在直角三角形中有何應(yīng)用？”來評估學生對基本概念的記憶和應(yīng)用能力。

-觀察環(huán)節(jié)：教師應(yīng)密切關(guān)注學生的課堂參與度，包括學生的注意力集中程度、課堂討論的積極性以及解決問題的能力。通過觀察學生的互動和操作，教師可以評估學生的理解水平和參與程度。

-測試環(huán)節(jié)：在課堂結(jié)束時，進行簡短的小測驗，如填空題、選擇題或簡答題，以評估學生對正切函數(shù)知識點的掌握情況。測試題應(yīng)涵蓋本節(jié)課的主要知識點，如正切函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像。

2.及時反饋：

-對于學生在提問環(huán)節(jié)的回答，教師應(yīng)給予及時的反饋，無論是肯定還是糾正，都要確保學生能夠理解并記住正確的答案。

-在觀察環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)鼓勵學生積極參與，對于表現(xiàn)積極的學生給予表揚，對于表現(xiàn)不佳的學生給予適當?shù)闹笇Ш凸膭睢?/p>

3.作業(yè)評價：

-作業(yè)批改：對學生的作業(yè)進行認真批改，關(guān)注學生是否能夠正確應(yīng)用正切函數(shù)解決實際問題。作業(yè)中可能包括計算題、應(yīng)用題和證明題。

-點評反饋：在作業(yè)批改過程中，教師應(yīng)給出詳細的點評，指出學生的錯誤和不足，并提供正確的解題思路和方法。

-及時溝通：對于作業(yè)中的問題，教師應(yīng)通過面談或郵件等方式與學生溝通，確保學生能夠及時了解自己的學習進度和需要改進的地方。

4.鼓勵學生：

-在課堂和作業(yè)評價中，教師應(yīng)鼓勵學生不斷努力，對于進步顯著的學生給予表揚，激發(fā)學生的學習興趣和動力。

-教師可以設(shè)立學習小組，鼓勵學生之間相互幫助，共同進步。通過小組討論和合作，學生可以加深對正切函數(shù)的理解。

5.評價記錄：

-教師應(yīng)記錄學生的課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況，以便跟蹤學生的學習進度和效果。這些記錄可以作為后續(xù)教學調(diào)整的依據(jù)。

6.定期評估：

-定期進行小測驗或單元測試，以全面評估學生對正切函數(shù)知識的掌握情況。通過定期的評估，教師可以了解學生的整體學習狀況，并針對存在的問題進行針對性的教學。板書設(shè)計①正切函數(shù)的定義

-正切函數(shù)（tanθ）

-銳角θ的對邊與鄰邊之比

-θ的范圍：0°<θ<90°

②正切函數(shù)的性質(zhì)

-定義域：銳角

-增減性：第一象限增，第二、三、四象限減

-周期性：周期為π

-不存在性：θ=90°時，tanθ不存在

③正切函數(shù)的圖像

-波浪形

-y軸正半軸

-周期性表現(xiàn)

④正切函數(shù)的應(yīng)用

-幾何問題：求角度和邊長

-物理問題：力的分解和合成

-工程問題：角度和距離計算

⑤正切函數(shù)的特殊值

-θ=0°：tanθ=0

-θ=30°：tanθ=1/√3

-θ=45°：tanθ=1

-θ=60°：tanθ=√3

-θ=90°：tanθ不存在

⑥正切函數(shù)的誘導公式

-tan(θ+π)=tanθ

-tan(θ+π/2)=-cotθ

-tan(θ+π)=-tanθ

-tan(θ-π/2)=cotθ

⑦正切函數(shù)在坐標系中的應(yīng)用

-直角坐標系：確定直線或曲線的斜率

-極坐標系：確定點與極軸的夾角教學反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我們學習了正切函數(shù)的相關(guān)知識。我覺得，整體上，這節(jié)課的教學效果還是不錯的。但是，在回顧整個教學過程之后，我也有一些反思和總結(jié)。

首先，我覺得我在教學方法上做了一些嘗試。我嘗試通過提問、小組討論和實例分析等方式，讓學生更加主動地參與到課堂中來。我發(fā)現(xiàn)，這種方法確實激發(fā)了學生的學習興趣，讓他們在解決問題的過程中學會了思考。但是，我也注意到，有些學生在討論時顯得比較被動，可能是因為他們對正切函數(shù)的理解還不夠深入。所以，我需要在今后的教學中，更加注重基礎(chǔ)知識的講解和鞏固。

其次，我在課堂管理上也做了一些調(diào)整。為了讓學生更好地理解正切函數(shù)，我盡量用簡單易懂的語言來解釋概念，并且在課堂上多鼓勵學生提問。我發(fā)現(xiàn)，這樣一來，課堂氛圍更加活躍，學生之間的互動也增多了。但是，我也發(fā)現(xiàn)，在課堂上，部分學生容易分心，這可能是因為他們對數(shù)學本身就不感興趣，或者是因為他們對新知識的接受能力有限。因此，我需要思考如何更好地吸引這些學生的注意力，讓他們也能參與到課堂中來。

在教學總結(jié)方面，我覺得學生在知識、技能和情感態(tài)度等方面都有所收獲和進步。大部分學生能夠掌握正切函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用，能夠運用正切函數(shù)解決一些實際問題。在情感態(tài)度方面，學生對待數(shù)學的態(tài)度也有所改變，從最初的抗拒到現(xiàn)在的接受和嘗試，這是一個很好的轉(zhuǎn)變。

當然，在教學過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題和不足。比如，對于一些較復雜的應(yīng)用題，學生的理解還不夠深