考研數(shù)學(xué)三真題及答案

2014年考研數(shù)學(xué)三真題

一、選擇題(1?8小題，每小題4分，共32分。下列媒體給出的四個選

項中，只有一個選項是符合題目要求的。)

⑴設(shè)1加口8冊=a,且aW0,則當(dāng)九充分大時有

(A)|an|(B)\an\<^

(C)an>a—(D)cin<aH—

【答案】Ao

【解析】

【方法1】直接法：

由〃mn-8an=a,且aW0,則當(dāng)九充分大時有

\an\>y

【方法2】排除法：

若取冊=2+顯然a=2,且(B)和(D)都不正確；

取冊=2—顯然a=2,且(C)不正確

綜上所述，本題正確答案是(A)

【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一極限的概念與性質(zhì)

⑵下列曲線中有漸近線的是

(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx

(C)y=%+sin-(D)y=x2+sin-

%X

【答案】Co

【解析】

【方法1]

.一,f(x},x+sin-

由于〃巾78-------=lim--------=1=a

X久T8X

Um[/(%)—ax]=limx+sin--x=Umsin-=0=b

%T8%T8X%->OOX

所以曲線y=%+s譏:有斜漸近線y=%,故應(yīng)選(C)

解法2

考慮曲線y=x+sin：與直線y=%縱坐標(biāo)之差在％—8時的極限

111

limx+sin——x=limsin-=0

%T8X%->00X

則直線y=%是曲線y=x+s譏(的一條斜漸近線，故應(yīng)選(C)

綜上所述，本題正確答案是(C)

【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一曲線的凹凸、拐點及漸近線

⑶設(shè)p(x)=a+b%+c/+d/.當(dāng)％—0時-，若p(%)—tan%是比％3高階

的無窮小，則下列選項中錯誤的是

(A)a=0⑻b=1

(C)c=0(D)d=-

6

【答案】D°

【解析】

【方法1】

當(dāng)X70時，tern%—%?知，tan%的泰勒公式為

tanx=x+-x3+o(x3)

又防一。咽等H=.空匕士手|)也竺二o

xuX3久-0X3

則a=0,b=1,c=0,d=：

【方法2】

顯然，a=0,

p(x)-tanxa+bx+cx2+dx3-tanx..b+2cx+3dx2-sec2x

lim^----；---=hm--------；-------=hm--------；-----

x0uX3%TOX3%TO3X2

由上式可知，b=l,否則等式右端極限為8,則左端極限也為8,與題

設(shè)矛盾。

,.pM-tanx2cx+3dx2-sec2x

-；----

=hm2=Hm—+d--

XUX3-------XT03x3%3

故c=0,d=:

綜上所述，本題正確答案是(D)。

【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小量及其階的比較

(4)設(shè)函數(shù)f(%)具有二階導(dǎo)數(shù),g(%)=f(0)(1—%)—/(1)%,則在區(qū)間［0,1］

上

(A)當(dāng)/'(%)之0時，/(%)>g(x)

(B)當(dāng)/(%)之0時，/(%)<g(x)

(C)當(dāng)/〃(%)之0時，/(%)>g(x)

(D)當(dāng)/〃(乃NO時,/(%)<g(x)

【答案】Do

【解析】

【方法1】

由于f(0)=g(o),/(l)=9(1),則直線y=f(0)(1-%)-f(1)無過點

(0,f(0))和(l,f(l)),當(dāng)/”(%)>0時,曲線y=/(%)在區(qū)間［0刀上是凹的,

曲線y-/(%)應(yīng)位于過兩個端點(o,f(。))和的弦y=

f(0)(1-％)-f(i)%的下方，即f(%)wg(%)

【方法2】

令F(%)=f(x)-g(x)=f(x)-/(0)(l-x)-則

F'Q)=f(x)+/(0)-f⑴,「'(%)=r(x),

當(dāng)f〃(%)Z0時,Fz,(x)>0o則曲線FQ)在區(qū)間[0,1]上是凹的,又

F(0)=F(l)=0,

從而，當(dāng)％e[0,1]時,FQ)-0,即f(%)4g(%)

【方法3】

令F(%)=/(%)-g(x)=f(%)-f(0)(1-x)-f(1)%,

則F(%)=f(x)[(l-%)+%]-/(0)(l-x)-

=(1-%)[/(%)-/(0)]--/(%)]

=X(1--X(1-fE(0,X),7]6(%,1)

=%(1—%)/收)—/8)]

當(dāng)f〃Q)之o時，((%)單調(diào)增，從而，當(dāng)％W[0,1]時,

FQ)<0,即f(%)<g(x)

綜上所述，本題正確答案是D。

【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一函數(shù)不等式證明

oabo

oob

a-

(5)行列式ocalo

cood

(A)(ad-be)2(B)—(ad—be)2

(C)a2d2—b2c2(D)b2c2—a2d2

【答案】Bo

【解析】靈活使用拉普拉斯公式

0ab0c00dcd00

a00ba00bab00

0cd00cd000dc

c00d0ab000ba

ddc'

?——(ad-be)2

bba-

綜上所述，本題正確答案是(B)

【考點】線性代數(shù)一行列式一數(shù)字型行列式的計算

(6)設(shè)％,如，%均為三維向量，則對任意常數(shù)上」，向量組

+ka3,a2+I的線性無關(guān)是向量組%，畋，。3線性無關(guān)的

(A)必要非充分條件(B)充分非必要條件

(0充分必要條件(D)既非充分又非必要條件

【答案】Ao

【解析】

t己01=猿1+ka3,p2=廢2+。馥3，則

10-

(01，02)=(%,。2,。3)01

.kI.

若如,以2，。3線性無關(guān)，則(%。2,屐3)是3階可逆矩陣，

10'

故r(夕1，02)=ro1=2,即以1+左13，。2+，。3線性無關(guān)。

.kI.

反之，設(shè)由，廢2線性無關(guān)，劭=0,則對于則對任意常數(shù)/U,向量組

+ka3,a2+I的線性無關(guān)，但馥1，以2,馥3線性相關(guān)，

所以％+ka3,a2+I的線性無關(guān)是向量組由，22,馥3線性無關(guān)的必要

非充分條件。

綜上所述，本題正確答案是(A)。

【考點】線性代數(shù)一向量一向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

(7)設(shè)隨機事件/與B相互獨立，且P(B)=0.5,PQ4一B)=0.3,則

P(B—4)=

(A)0.1(B)0.2

(C)0.3(D)O.4

【答案】Bo

【解析】4B獨立，則48獨立，月"也獨立,而=/反8-/=BA

可用獨立性來計算。

PQ4-B)=PQ4月)=P(/)P(月)=0.3

P⑻=1—P(B)=0.5

可得P(/)=0.6

P(B-/)=PGM)=P(B)P(4)=0.5x0.4=0.2

綜上所述，本題正確答案是(B)。

【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機事件和概率一事件關(guān)系，概率性質(zhì)

和五大公式

(8)設(shè)Xi，X2,X3為來自正態(tài)總體N(0,(T2)的簡單隨機樣本,則統(tǒng)計量

S=等券服從的分布為

V2|X3|

(A)F(1,1)(B)F(2,1)

(C)t(l)(D)t(2)

【答案】Co

【解析】

Xi—X2?N(0,2d),所以與迎?N(0,l)

V2(7

X3?N(0R2)年?N(0,l),管)2?x2(i)

Xi-X2與X3相互獨立，故若與停)也獨立。

Xi_X?X\-X?

所以高"⑴’而吞=稿二、

綜上所述，本題正確答案是C。

【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

二、填空題(9?14小題，每小題4分，共24分。)

⑼設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=40-2p(p為商品的價格)，則該商品的邊

際收益為o

【答案】20—Q

【解析】由題設(shè)知收益函數(shù)為R=pQ=d用)Q,則邊際收益為

dR

-=20-Q

dQ

【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一一元微分在經(jīng)濟中的應(yīng)用

(10)設(shè)D是由曲線%y+1=0與直線y+x=0及y=2圍成的有界區(qū)域，則

D的面積為o

【答案】|-/n2

【解析】

【方法1】

曲線%y+1=0與直線y+x=0及y=2圍成的有界區(qū)域D如卜圖，則D

的面積為

11

r~f-213

S=I[r2+x]dx+I[2+-\dx=--ln2

J-2J―1X乙

【方法2】

用二重積分計算面積，即

【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函科積分與一定積分應(yīng)用

(11)設(shè)以理?斗2

【答案】?:/

y+x=0

x

【解析】

fa1Ca1al「a/a1

^xe^dx=-^xde^=產(chǎn)°”『2xdx=(---)呼+-

可知C)e2a=0,則a=[

【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分計算

x2

(12)二次積分/；dyf^-)2相％=。

【答案】芋。

【解析】

二次積分的積分區(qū)域為

D={(招y)|0<y<l,y<x<l}={(%,y)|0<%<1,0<y<%}

交換積分次序得

fdy

JQ

=[\e

eydy}dx

J。

Xi

=dx—(xley2dy)+Ixex2dx

J。Jo0Jo

11

x221e-1

=fedx-[eydy+-eX2

JoJo。=丁

【考點】高等數(shù)學(xué)一二重積分一變換積分次序和坐標(biāo)系

x2X2

(13)設(shè)二次型/(%1，%2，%3)=l~2+2a%1%3+4%2%3的負(fù)慣性指數(shù)為1，

則a的取值范圍是

【答案】[—2,2]

【解析】

由配方法

f(x1,x2,x3')

22222

=%/+2ax1%3+ax3—(x2—4x2^3+4x3)+4x3

22

—ax3

222

=(%1+a%3)2-(%2-2X3)+(4-a)x3

負(fù)慣性指數(shù)為1,故4-。220,解得ae[—2,2]

【考點】高等數(shù)學(xué)一二次型一二次型的概念與標(biāo)準(zhǔn)形

(14)設(shè)總體X的概率密度為

(2x

G痂，e<x<2Q

ff(x；0)=\30z

、0,其他

其中。是未知參數(shù)，X],X2，?Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，若

E(c￡kiX"=62,則c=o

【答案】白

5九

【解析】

E(C￡F=IX]2)=cJXiEX/=cnEX2=cnf^^dx=cn^62=

解得c=片

5n

【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

三、解答題：15?23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟。

(15)求極限

f^[t2-t]dt

lim

%->+00i

x2ln7(1+-)

【解析】

【方法1】

止田）一弧—

工t+8遇1陋+3一

=lim尸"（等價無窮小代換）

%1+8X2?-

=limx2（ex—1）—%（洛必達法則）

X->4-oo\/

="m10+=F（變量代換-=0

Lut2X

=limt^0+（洛必達法則）

_1

一2

【方法2】

“T+8予1+9二

=lim（等價無窮小代換）

XT+8X'X

=limx2（ex—1）-%］（洛必達法則）

X-?4-oo\/J

=lim\x2（-++o（^））-x\（泰勒公式）

22y

%T+8XX2!xx/

_1

【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一求函數(shù)的極限，常見等價無窮

小，常見函數(shù)泰勒公式展開

(16)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域D={(x,y)114/+/工4,%2o,y之0},計算

rrxsin（ji^Jx2+y2）

JJx+ydXdy

D

【解析】

【方法1］令丫=Tcos3,y=rsinB,

為xsin（1乃）=jJ；rsinnrdr

dxdyde

二屋瀛MdB?；(—rcosnr\l+/；cosnrdr)

=_21cosede

ITJ。cos6+sin0

TT八TT?八

又二r-COSOr-Sing_

=令e=『)

J。cos0+sin9)。cos9+sin0

1r?cos6+sin6?八n

=-12-----------------d3=-

2cos0+sin04

所以為松皿^F)d%dy=_:?B=_|

【方法2】

顯然積分區(qū)域D關(guān)于%,y有輪換對稱性，于是

ffD空駕叵d%dy=ffD空嘴亙d%dy

1xsin(jty/x2+y2)ysiniTt4y^}..1

:2[幾i-dxdy+ffD—￡—dxdy]

」JJDxsin(jijx2+y2)dxdy

WJ展d6J；rsinTirdr

22

1+

=：J02d6?[(—rcosnr\1

3TT3

=-----/n—=-------

n'44

【考點】高等數(shù)學(xué)一二重積分一利用區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性計

算積分

(17)設(shè)函數(shù)/(〃)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且z=/(e"cosy)滿足

?z?z

cosy------siny—=(4z+excosy)ex

(x?

若/'(0)=o,求f(〃)的表達式。

【解析】

利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算方法求出兩個偏導(dǎo)數(shù)，代入所給偏微分方

程，轉(zhuǎn)化為可求解的常微分方程。

因為

?z?z

=f'(excosy)excosy,—f'(excosy)exsiny

?y

所以

?z?z

cosy__siny-

■

=cosyf'(excosy)excosy+sinyf'[excosy}exsiny

=f'(excosy')ex

因此cosy號—siny^=(4z+excosy)e*化為

f'(excosy)ex=(4z+excosy)ex

從而函數(shù)f(〃)滿足方程

尸(〃)=4/(〃)+〃一階線性非齊次微分方程

可得方程通解為f(〃)=04〃+*

由f(0)=0,解得C=三

故f(〃)——e，"—-——

JW16416

【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，一階線性非

齊次微分方程求解

(18)求幕級數(shù)E迄o(7i+l)(n+3)/的收斂域及和函數(shù)

【解析】

【方法1】

因為幾何級數(shù)士迄。％71=占,且收斂域為％6(-1,1)

又Er=o(九+1)(九+3)xn

OO

W(n+1)(九+2)xn+{(n+1)%"

n=0n=0

xn+1y

2x—x21

+(1-%)2

(1—%)2

3—x

€(—1,1)

(1-x)3x

由塞級數(shù)的逐項求導(dǎo)性質(zhì)知+1）（九+3）%n的收斂域為（一1,1）,

和函數(shù)s（%）=7^7，%e（-1,1）

【方法2】

塞級數(shù)+1)(71+3)%n的系數(shù)an=(n+1)(71+3),又

nT8anTW8(幾+1)(幾+3)

所以收斂半徑R=1

n

當(dāng)％=1時，Sn=0(n+1)(九+3)x=+l)(n+3)發(fā)散；

當(dāng)％=—1時,Er=o(九+DO1+3)%n=Sn=o(n+1)(九+3)(—l)n發(fā)

散；

故收斂域為％e（-1,1）

設(shè)S(%)=ENo(九+1)(九+3)%n，%G(-1,1)貝I」

%8800

1S(t)dt=W(九+3)xn+1=W(九+2)xn+1+Wxn+1

°n=0n=0n=0

2x—X2X3x—2x2

(1—X)2+1-%

(l-%)2

3x-2x2'3—%

故和函數(shù)S(%)=XG(—1,1)

.(1T)2一(1)3

【考點】高等數(shù)學(xué)一無窮級數(shù)一求事級數(shù)的和函數(shù)及數(shù)項級數(shù)的和

(19)設(shè)函數(shù)f(%),g(%)在區(qū)間口力上連續(xù)，且/(%)單調(diào)增加，0Wg(x)<lo

證明：

(I)0<g(t)dt<x—a,xE[a,b];

(II)/”g(t)dt/(%)dx</(x)g(x)dx.

【解析】

(1)由0工8(%)<1得

得0<J：g(t)dt<J：Idt<x—a,xE[a,b]；

(II)令FQ)=-S^gWdtfMdx

顯然F(a)=0,只要證明F(〃)單調(diào)增且F(b)>0,

F'Q)=fQ)g(〃)—f(a+fg(t)dt)g(iz)

\Ja/

=g(u)[/(u)-/(a+J：g(t)dt)]

由(I)的結(jié)論0WOg(t)dtW%-a知，a工a+。g(t)dt<%即

a<a+fg(t)dt<u

Ja

又/(%)單調(diào)增加，則/(虱)之f(a+Sag(t)dt),因此，F(xiàn)z(u)>0,

F(b)>0.

故嚴(yán)J；g(t)dtfMdx<rf(%)g(%)d%.

JQ

【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一與定積分有關(guān)的證明題

1-23-4'

(20)設(shè)4=01-11,E為三階單位矩陣

.120-3.

(I)求方程組4%=0的一個基礎(chǔ)解系；

(n)求滿足43=E的所有矩陣3。

【解析】

(I)對矩陣Z做初等行變換，得

1-23-41-23-41001-

A=01-11—>01-11—>010-2

.120-3..001-3..001-3.

因九—rQ4)=4—3=1,令％4—1求出％3—3,%2=2,x1=—1

故基礎(chǔ)解系為J?=(―1,2,3,1尸

(II)考察3個非齊次線性方程組

1roiO-

Ax=0,Ax=1,Ax=0

.0..0..1.

由于這三個方程組的系數(shù)矩陣是相同的，所以令彳=(4?E)做初等行變

換

1-23-4100-

A=(A?E)=01-11010

.120-3001.

1-23-4100'

101-11010

.04-31-101.

1-23-4100-

T01-11010

.001-3―1—41.

1-205412-3'

T010-2-1-31

.001-3-1—41.

1001261-

T010-2-1-31

.001-3-1-41.

由此得三個方程組的通解:

(2,—1,—1,0)，+kxT]

T

(6,—3,—4,0)+k2T]

(—1,1,1,OK+5

-2—匕6—k，2-1—卜3-

—1+2kl—3+2k2l+2k

故所求矩陣為B=3，七,12,七為任意常

—1+3kl—4+3k21+3k3

k2上3-

數(shù)。

【考點】高等數(shù)學(xué)一線性方程組一非齊次方程組的求解

1?11'0?01'

1?110?02

（21）證明九階矩陣與相似

?????777

Ll?11JL0?0n.

【解析】

證明：記

-1?11'-0?0I-

1?110?02

A=,B=

????????

.1711.,0?0n.

因為4是實對稱矩陣必與對角矩陣相似

由1花一用=an—#1nt=o,知4的特征值為%o,o?,o（n-1個）。

n?0O-

0?00

故4?/I=

??7?

,0?00.

又由=（4—九）乃t=0,知B的特征值為九,0,0?,0（九—1個）。

當(dāng)2=0時，r(0E—B)=r(3)=1,那么九—r(0f—B)=n—1,即齊次

方程組（0E-B）x=0有九-1個線性無關(guān)的解，亦即;L=0時，矩陣B有

九-1個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣8必有對角矩陣相似，即

n?0O-

0?00

B~A=

7??7

,0700.

從而4和B相似。

【考點】高等數(shù)學(xué)一特征值與特征向量一相似與相似對角化

(22)設(shè)隨機變量X的概率密度為

對X進行獨立重復(fù)的觀測，直到第二個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記

丫為觀測次數(shù)

(I)求丫的概率分布

(H)求

【解析】

(I)令/={對X進行一個觀測得到的值大于3}o

顯然PQ4)=P[X>3}=f(%)d%=f2~xln2dx=

,38

記事件“發(fā)生的概率PQ4)=1=p

y的可能取值應(yīng)為k=2,3,?,

P[y=k]=盤_1P(1-p)k-2]o=Qk-l)p2(l—p)—?,k=2,3,