解析：云南省昭通市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁昭通市第一中學(xué)高一年級2025年春季學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第2頁，第II卷第3頁至第4頁.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷（選擇題，共58分）注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.一、單項選擇題（本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：A.2.如圖，在中，是的中點(diǎn).若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得答案.【詳解】因為是的中點(diǎn)，，，所以.故選：C3.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A.或 B.或3 C.或3 D.3【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分別求即得.【詳解】由題意及正弦定理，得，解得.又，故，于是或，均符合題意.當(dāng)時，，由正弦定理，得，解得；當(dāng)時，，此時等腰三角形，.故選：A4.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律即可得解，注意三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象對應(yīng)的解析式為，再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷大小.【詳解】由題意得，，，，綜合比較，故選：C.6.已知四邊形，設(shè)E為的中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，利用，求出，從而得到答案.【詳解】在平面（空間同樣）四邊形中，，因為，所以．故選：A．7.已知，，則（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和差公式展開，進(jìn)而解得，，兩式作商求得.【詳解】因為，，所以，，從而，，故．故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在上恰有2個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的圖象經(jīng)過的點(diǎn)及范圍求出，再根據(jù)的范圍得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)不等式，即可解得范圍，即可得答案.【詳解】因為的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以.又，所以，則函數(shù)，，當(dāng)時，，因為在上恰有2個零點(diǎn)，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知向量，，滿足，，，則（）A.B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，利用向量模長公式，可得A的正誤；由平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程，可得B的正誤；由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，利用垂直向量坐標(biāo)，可得C的正誤；利用投影向量的計算方法，可得D的正誤.【詳解】對于A，，，，所以，故A錯誤；對于B，，，當(dāng)時，，即，故B正確；對于C，，由，可得，即，故C正確；對于D，在上的投影向量為，故D錯誤，故選：BC.10.下列選項正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.函數(shù)圖象的對稱中心為，C.命題“，”的否定是，D.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是【答案】ACD【解析】【分析】利用充分不必要條件定義判斷A；求出對稱中心判斷B；由存在量詞命題的否定判斷C；由零點(diǎn)存在性定理判斷D.【詳解】對于A，由，得或，則是的充分不必要條件，A正確；對于B，由，得，函數(shù)圖象的對稱中心為，，B錯誤；對于C，命題，的否定是命題，，C正確；對于D，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，D正確.故選：ACD11.函數(shù)過定點(diǎn)，若，則結(jié)論正確的是（）A. B.最小值為C.最小值為 D.的最小值為【答案】CD【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，利用集合與元素的關(guān)系可得，即可得A；借助對數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式計算可得B；借助基本不等式及指數(shù)運(yùn)算法則計算可得C；借助“1”的活用可得D.【詳解】對于A：由，故定點(diǎn)，由，故有，即，故A錯誤；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即最大值為，故B錯誤.對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對于D：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.故選：CD.第II卷（非選擇題，共92分）注意事項：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個圓臺的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是____________.【答案】【解析】【分析】利用扇形的面積公式求解，用大扇形的面積減去小扇形的面積即可.【詳解】由題可知，，，所以扇形的面積，扇形的面積，所以扇面的面積.故答案為：.13.在中，，，，為邊上一點(diǎn)，且，則______【答案】【解析】【分析】在中，由余弦定理求出，在中，由正弦定理求出.【詳解】如圖，在中，由余弦定理得，又，則，在中，由正弦定理得，所以，.故答案為：.14.設(shè)，，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】作出分段函數(shù)的圖象，分解因式，再利用的圖象與之間的關(guān)系判斷即可．詳解】由已知得，作出的圖象如下（圖象中的實線部分）：又，則，即或，由圖易知有兩個解，故有3個解，故.故答案為：四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)有，即可確定角的大??；（2）由已知及三角形面積公式可得，再應(yīng)用余弦定理可得，即可得周長.【小問1詳解】由，得，即且，則.【小問2詳解】因為，所以，解得，由余弦定理得，所以，所以的周長為.16.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)求出，同理求出即可求解；（2）求出的表達(dá)式和，轉(zhuǎn)化原不等式，求出的取值范圍.【小問1詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以；小問2詳解】由（1）得，，轉(zhuǎn)化為，即得出所以，即不等式的解集為：.17.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，解不等式.【答案】（1）在上的單調(diào)遞增，證明見解析；（2）奇函數(shù)，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）任取，，且，用作差法判斷的大小，即可證結(jié)論；（2）根據(jù)奇偶性定義證明函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)論，不等式可化為，解不等式求解集.【小問1詳解】因為函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故在上的單調(diào)遞增.證明如下：任取，，且，則，因為，所以，，所以，即，即在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】函數(shù)，定義域為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為奇函數(shù).【小問3詳解】由，得，即，又，，由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以不等式解集為.18.行列式在數(shù)學(xué)中是一個函數(shù)，無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用.將形如的符號稱二階行列式，并規(guī)定二階的行列式計算如下：，設(shè)函數(shù).（1）求的對稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，已知，，求.【答案】（1）對稱軸為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的和差公式與二倍角公式化簡函數(shù)解析式，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性與對稱性，可得答案；（2）由（1）的函數(shù)的解析式求得角的值，由同角三角函數(shù)的平方式與三角形內(nèi)角和，利用和差角公式，可得答案.【小問1詳解】，由，，得，，所以的對稱軸為.由，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，，則，由，得，則，解得.因為在中，，則為銳角，所以.因為，，所以，所以.19.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形.記，（1）記矩形的面積，求的