2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.3圓的方程教案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1§9.3圓的方程最新考綱考情考向分析駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.以考查圓的方程為主，與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題也是考查的熱點(diǎn)，屬中檔題.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對(duì)較低，但內(nèi)容很重要，有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn).圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心為(a，b)半徑為r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F>0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)概念方法微思索1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？提示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“⊙C與y軸相切于原點(diǎn)”的什么條件？提示由題意可知，⊙C與y軸相切于原點(diǎn)時(shí)，圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，0))，而D可以大于0，所以“E＝F＝0且D<0”是“⊙C與y軸相切于原點(diǎn)”的充分不必要條件.3.如何確定圓的方程？其步驟是怎樣的？提示確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟：(1)依據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)依據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組.(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？如何推斷？提示點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.題組一思索辨析1.推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(√)(2)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0肯定表示圓.(×)(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓.(×)題組二教材改編2.圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因?yàn)閳A心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)，所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.以點(diǎn)(3，－1)為圓心，并且與直線3x＋4y＝0相切的圓的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案A4.圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)_____________.答案(x－2)2＋y2＝10解析設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，∵點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)在圓C上，∴|CA|＝|CB|，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，∴圓心為C(2,0)，半徑|CA|＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.題組三易錯(cuò)自糾5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是()A.(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B.(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C.(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D.(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)答案B解析將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圓可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).6.若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.－1<a<1 B.0<a<1C.a>1或a<－1 D.a＝±4答案A解析∵點(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y－1)2＝1答案A∴eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去).∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.故選A.題型一圓的方程例1(1)已知圓E經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)答案C解析方法一(待定系數(shù)法)依據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，半徑為r，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝r2(a>0).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋12＝r2，,2－a2＝r2，,a2＋－12＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,r2＝\f(25,16)，))所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).方法二(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1，))所以圓E的一般方程為x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).方法三(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上.又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).(2)已知圓C經(jīng)過(guò)P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6，則圓C的方程為_(kāi)_____________________________.答案x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0解析設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36，④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.思維升華(1)干脆法：干脆求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.跟蹤訓(xùn)練1已知圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓位于y軸右側(cè)，且截直線x＋2y＝0所得弦的長(zhǎng)為2，則圓的方程為_(kāi)_________.答案(x－2eq\r(5))2＋y2＝5解析依據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝5(a>0)，則圓心到直線x＋2y＝0的距離d＝eq\f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq\f(\r(5),5)a.又該圓截直線x＋2y＝0所得弦的長(zhǎng)為2，所以可得12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)a))2＝5，解得a＝2eq\r(5).故圓的方程為(x－2eq\r(5))2＋y2＝5.題型二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)方法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).方法二設(shè)A由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，依據(jù)題設(shè)條件的不同常采納以下方法：①干脆法：干脆依據(jù)題目供應(yīng)的條件列出方程.②定義法：依據(jù)圓、直線等定義列方程.③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.④相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿意的關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.解如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線相互平分，所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4，))又點(diǎn)N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，不符合題意，舍去，所以點(diǎn)P的軌跡為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).題型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例3已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.解設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.引申探究1.在本例的條件下，求eq\f(y,x)的最大值和最小值.解eq\f(y,x)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率.解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，∴eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).2.在本例的條件下，求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.解eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(x＋12＋y－22)，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(diǎn)(－1,2)的距離為eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1，最小值為eq\r(34)－1.思維升華與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般依據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型及解法.①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問(wèn)題；②形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上隨意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值.解(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2)，∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，∴eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，∴eq\f(y－3,x＋2)的最大值為2＋eq\r(3)，最小值為2－eq\r(3).(3)設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0.當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，∴eq\f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值為9，最小值為1.1.若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案B解析方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓的條件為a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3).又a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，∴僅當(dāng)a＝0時(shí)，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，故選B.2.已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝eq\r(2)C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4答案A解析AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋y2＝2.3.以(a,1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0,2x－y－6＝0同時(shí)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x－1)2＋(y－1)2＝5B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C.(x－1)2＋y2＝5D.x2＋(y－1)2＝5答案A解析由題意得，點(diǎn)(a,1)到兩條直線的距離相等，且為圓的半徑r.∴eq\f(|2a－1＋4|,\r(22＋－12))＝eq\f(|2a－1－6|,\r(22＋－12))，解得a＝1.∴r＝eq\f(|2×1－1＋4|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5.4.(2024·錦州調(diào)研)圓心在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0答案B解析依據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.5.已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為()A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4D.(x－2)2＋(y－2)2＝4答案B解析依據(jù)題意，設(shè)圓C2的圓心為(a，b)，圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(－1,1)，半徑為2，若圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C1與C2的圓心關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，且圓C2的半徑為2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋1)＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))則圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.6.圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是()A.1＋eq\r(2) B.2C.1＋eq\f(\r(2),2) D.2＋2eq\r(2)答案A解析將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1，故選A.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是____________，半徑是________.答案(－2，－4)5解析由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿意表示圓的條件，故舍去.當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，5為半徑的圓.8.已知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為_(kāi)_________.答案(0，－1)解析圓C的方程可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，所以當(dāng)k＝0時(shí)，圓C的面積最大，此時(shí)圓心C的坐標(biāo)為(0，－1).9.若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是__________________.答案(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)解析因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過(guò)圓心且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m).又因?yàn)閳A與直線y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圓C的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).10.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0，且λ≠1)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做阿波羅尼斯圓，若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝eq\f(1,2)，則此阿波羅尼斯圓的方程為_(kāi)___________.答案x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0解析由題意，設(shè)P(x，y)，則eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)可得x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0.11.已知點(diǎn)P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值.解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可變形為(x－3)2＋(y－3)2＝4，則圓C的半徑為2.(1)(轉(zhuǎn)化為斜率的最值問(wèn)題求解)eq\f(y,x)表示圓上的點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率，明顯當(dāng)PO(O為原點(diǎn))與圓C相切時(shí)，斜率最大或最小，如圖所示.設(shè)切線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于圓C的半徑，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值為eq\f(9－2\r(14),5).(2)(轉(zhuǎn)化為截距的最值問(wèn)題求解)設(shè)x＋y＝b，則b表示動(dòng)直線y＝－x＋b在y軸上的截距，明顯當(dāng)動(dòng)直線y＝－x＋b與圓C相切時(shí)，b取得最大值或最小值，如圖所示.由圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓C的半徑，可得eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值為6＋2eq\r(2)，最小值為6－2eq\r(2).12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(2)，在y軸上截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程.解(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r，則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①當(dāng)y0＝x0＋1時(shí)，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，得(x0＋1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3.②當(dāng)y0＝x0－1時(shí)，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，得(x0－1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3.綜上所述，圓P的方程為x2＋(y±1)2＝3.13.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn).記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為_(kāi)_______.答案74解析設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2.xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿意x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\r(x2＋y2)的最大值為_(kāi)_______.答案2eq\r(2)解析eq\r(x2＋y2)表示曲線上的隨意一點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離.當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，x2＋y2－2x－2y＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝2，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，當(dāng)x<0，y<0時(shí)，x2＋y2＋2x＋2y＝0化為eq\