2024秋高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義練習(xí)含解析新人教A版必修4

PAGE1-2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列各式計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是()①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：依據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律可驗(yàn)證①②正確；③錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄康暮汀⒉罴皵?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍為一個(gè)向量，而不是實(shí)數(shù)．答案：C2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，則向量eq\o(DC,\s\up15(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))C．－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))解析：因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))，所以eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→)).答案：D3．已知非零向量a，b，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝7a－2b，所以eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝－4a＋8b，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝2a＋4b＝eq\o(BD,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))，所以A，B，D三點(diǎn)共線．答案：A4．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝2eq\o(BP,\s\up15(→))，則()A.eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝0解析：如圖，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝2eq\o(BP,\s\up15(→))，所以P是線段AC的中點(diǎn)，所以eq\o(PA,\s\up15(→))＝－eq\o(PC,\s\up15(→))，即eq\o(PC,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝0.答案：B5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線交DC于點(diǎn)F，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up15(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)＋eq\f(1,3)b D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b解析：由已知條件可知BE＝3DE，所以DF＝eq\f(1,3)AB，所以eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a＋b.答案：A二、填空題6．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝______b.解析：因?yàn)閨a|＝5，|b|＝7，所以eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，又方向相反，所以a＝－eq\f(5,7)b.答案：－eq\f(5,7)7．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________．解析：因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)8．已知△ABC和點(diǎn)M滿意eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝meq\o(AM,\s\up15(→))成立，則m的值為________．解析：因?yàn)閑q\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝0，所以點(diǎn)M是△ABC的重心，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝3eq\o(AM,\s\up15(→))，所以m＝3.答案：3三、解答題9．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b為已知向量)，求x；(2)已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，,2x－3y＝b，))其中a，b為已知向量，求x，y.解：(1)原方程可化為3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0，即2x＋a－4b＝0，所以x＝2b－eq\f(1,2)a.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，①,2x－3y＝b，②))由②得y＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)b，代入①，得3x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,3)b))＝a，所以3x＋eq\f(8,3)x－eq\f(4,3)b＝a，即17x＝4b＋3a，所以x＝eq\f(4,17)b＋eq\f(3,17)a，所以y＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,17)b＋\f(3,17)a))－eq\f(1,3)b＝eq\f(8,51)b＋eq\f(2,17)a－eq\f(1,3)b＝eq\f(2,17)a－eq\f(3,17)b.10．已知e，f為兩個(gè)不共線的向量，且四邊形ABCD滿意eq\o(AB,\s\up15(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up15(→))＝－5e－3f.(1)將eq\o(AD,\s\up15(→))用e，f表示；(2)求證：四邊形ABCD為梯形．(1)解：依據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，有eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)證明：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up15(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up15(→))，所以eq\o(AD,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))同向，且eq\o(AD,\s\up15(→))的長度為eq\o(BC,\s\up15(→))長度的2倍，所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD是梯形．B級(jí)實(shí)力提升1．如圖，△ABC中，AD，BE，CF分別是BC，CA，AB上的中線，它們交于點(diǎn)G，則下列各等式中不正確的是()A.eq\o(BG,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up15(→)) B.eq\o(CG,\s\up15(→))＝2eq\o(GF,\s\up15(→))C.eq\o(DG,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up15(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))解析：因?yàn)镚是△ABC的重心，所以BG＝eq\f(2,3)BE，CG＝2GF，DG＝eq\f(1,2)AG，所以eq\o(BG,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up15(→))，eq\o(CG,\s\up15(→))＝2eq\o(GF,\s\up15(→))，eq\o(DG,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up15(→))，所以eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up15(→))＝eq\o(DG,\s\up15(→))＋eq\o(GC,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→)).所以C不正確．答案：C2．若eq\o(AP,\s\up15(→))＝teq\o(AB,\s\up15(→))(t∈R)，O為平面上隨意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up15(→))＝________(用eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))表示)．解析：eq\o(AP,\s\up15(→))＝teq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝t(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))，eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))－teq\o(OA,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→)).答案：(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))3．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up15(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up15(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值；(3)若eq\o(OM,\s\up15(→))＝ma，eq\o(ON,\s\up15(→))＝nb，eq\o(OP,\s\up15(→))＝αa＋βb，其中m，n，α，β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M，P，N三點(diǎn)共線，求證：eq\f(α,m)＋eq\f(β,n)＝1.(1)證明：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2eq\o(AB,\s\up15(→))，所以eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))共線，且有公共點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)解：因?yàn)?a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因?yàn)閍與b不共線，所以eq\b\lc\{