中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考知識(shí)清單18 多邊形和平行四邊形

知識(shí)梳理一、多邊形的內(nèi)角和與外角和多邊形及其相關(guān)概念名稱概念多邊形在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.凸多邊形畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形正多邊形各個(gè)角都相等、各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.【拓展延伸】（1）多邊形有幾條邊就是幾邊形，且頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、內(nèi)角個(gè)數(shù)均與邊數(shù)相同，外角個(gè)數(shù)是邊數(shù)的2倍.（2）從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出條對(duì)角線，引出的對(duì)角線將邊形分成個(gè)三角形，邊形有個(gè)頂點(diǎn)，共有條對(duì)角線.【易錯(cuò)點(diǎn)津】（1）三角形沒有對(duì)角線.（2）正多邊形必須滿足定義中的兩個(gè)條件：①各個(gè)角都相等；②各條邊都相等.二者不可缺一.如果一個(gè)多邊形的各個(gè)角都相等或每條邊都相等，那么這個(gè)多邊形不一定是正多邊形，如長(zhǎng)方形.多邊形的內(nèi)角和內(nèi)容推理過(guò)程應(yīng)用方法圖形邊形內(nèi)角和等于.方法1：如圖所示，從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出條對(duì)角線，這條對(duì)角線把邊形分成個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是，所以變形的內(nèi)角和是.（1）已知邊數(shù)，求內(nèi)角和.（2）已知內(nèi)角和，求邊數(shù).（3）已知正邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù).求邊數(shù)和內(nèi)角和.方法2：如圖所示，在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接，把邊形分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得邊形的內(nèi)角和是.方法3：如圖所示，在邊形的一邊上任取一點(diǎn)P與各頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去在點(diǎn)P處的一個(gè)平角，即.【拓展延伸】利用多邊形的內(nèi)角和公式求邊數(shù)（此類題都隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件），相當(dāng)于解一元一次方程.【規(guī)律方法】（1）多邊形內(nèi)角和公式的推理過(guò)程是將多邊形的內(nèi)角進(jìn)行分割，然后把它們放到三角形中，隨著點(diǎn)P的位置不同所得三角形個(gè)數(shù)也不同，但以上幾種證明方法都是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題進(jìn)行解決.（2）任意多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，且多邊形每增加一條邊，它的內(nèi)角和就增加，正邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是.多邊形的外角和內(nèi)容推導(dǎo)過(guò)程應(yīng)用多邊形的外角和等于多邊的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加上外角和為，外角和等于（1）已知外角度數(shù)求正多邊形的邊數(shù).（2）已知正多邊形的邊數(shù)求外角度數(shù).【拓展延伸】（1）多邊形的外角和恒等于，與邊數(shù)多少無(wú)關(guān).（2）正邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，則每個(gè)外角也相等，其外角和為，所以正變形的每個(gè)外角度數(shù)都為.（3）正多邊形的內(nèi)角相等，隱含著外角也相等這一條件，利用這種隱含關(guān)系求正多邊形的邊數(shù)比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)要簡(jiǎn)單.（4）添加：根據(jù)多邊形外角和是可推得多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，與之對(duì)應(yīng)，多邊形的內(nèi)角中最多有三個(gè)銳角.二、平行四邊形平行四邊形的定義1.平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2.表示方法：如圖所示，平行四邊形用“”表示，平行四邊形記作“”，讀作“平行四邊形”.【注意】（1）表示平行四邊形時(shí)，一定要按照順時(shí)針或逆時(shí)針方向依次書寫各頂點(diǎn)字母，不能打亂順序；（2）“”作為表示平行四邊形的符號(hào)，其后要緊跟表示平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的字母，不能單獨(dú)使用它來(lái)代替“平行四邊形”.3.平行四邊形的基本元素：基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊和，和，和，和，共有四組.對(duì)邊和，和，共有兩組.角鄰角和，和，和，和，共有四組.對(duì)角和,和，共有兩組.對(duì)角線和。共有兩條【拓展延伸】（1）平行四邊形的定義有兩個(gè)要素：①是四邊形；②兩組對(duì)邊分別平行.（2）平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定.即四邊形是平行四邊形.平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖示邊平行四邊形的對(duì)邊相等四邊形是平行四邊形，角平行四邊形的對(duì)角相等四邊形是平行四邊形，對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是平行四邊形，【拓展延伸】（1）證明平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，一般通過(guò)作對(duì)角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解答.（2）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了理論依據(jù).（3）平行四邊形的每條對(duì)角線都將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形.（4）平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等，每個(gè)小三角形的面積都等于平行四邊形面積的；相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對(duì)值.【規(guī)律方法】（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)；（2）若一條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長(zhǎng)和面積.平行四邊形的判定方法判定方法數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形邊兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（或），四邊形是平行四邊形.角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形是平行四邊形.對(duì)角線對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.方法點(diǎn)撥考向一多邊形1.解與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的問題邊形的內(nèi)角和等于，多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，多邊形的邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加.利用它可解決三類問題，一是已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和，二是已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，三是已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).2.解多邊形外角和的問題多邊形的外角和是，與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān)，故在某些問題中用外角和公式會(huì)比內(nèi)角和公式求解簡(jiǎn)單.涉及多邊形外角和的問題，常與多邊形的內(nèi)角和及正多邊形等關(guān)系結(jié)合考慮，通過(guò)列方程來(lái)解決.3.解多邊形的對(duì)角線問題關(guān)于多邊形對(duì)角線問題，主要根據(jù)多邊形的邊數(shù)與對(duì)角線的條數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解.從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出條對(duì)角線，個(gè)頂點(diǎn)可以引出條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此邊形共有條對(duì)角線.【方法總結(jié)】從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余與它不相鄰的各頂點(diǎn)，形成的三角形個(gè)數(shù)為.考向二平行四邊形1.解關(guān)于平行四邊形性質(zhì)的問題解與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的問題常運(yùn)用平行四邊形的以下性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等；（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分；（4）平行四邊形的對(duì)角線分得的四個(gè)三角形中，相對(duì)的兩個(gè)三角形全等，且四個(gè)三角形的面積相等.通常根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，利用平行線的性質(zhì)證明角相等或角之間的關(guān)系，以及利用對(duì)邊相等證明線段相等或求邊長(zhǎng).【方法總結(jié)】在平行四邊形中求有關(guān)線段相等或三角形全等時(shí)，當(dāng)看到其對(duì)角線相交于一點(diǎn)時(shí)，通常利用平行四邊形對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)解答或增加中點(diǎn)條件下使用中位線來(lái)分析所求.2.解平行四邊形的判定問題一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多重方法，主要有以下三種思路：（1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于索證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明.（2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明.（3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對(duì)角線時(shí)，可選擇“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明.【方法總結(jié)】在證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí)，可以從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面考慮，在證明時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件或已知條件易