數(shù)列知識點與習題總結(jié)（2024年）

等差與等比數(shù)列知識與措施總結(jié)

一、知識構(gòu)造與要點

1+i〃wN

定義冊+「冊=d-afl+2-。〃+=即一冊

通項4〃=一1)"一等差中項a、b、c成等差。人=巴三

2

+(/7-

r基本概念推廣an=atnm)d

(I]+〃2)〃

n

前項和Sn6Z]/?+—(n-\)nd

2

等差數(shù)列

當d>()(<0)時｛4〃｝為遞增(減)數(shù)列

當d=()時｝為常數(shù)

續(xù)本性質(zhì)與首末兩端等距離的項之和均相等

2+aca€

+an=。n-\=……=《+n-i+\，N

m+n=p+q=am+an=ap+aq

1〃2.……na

｛an｝中共〃k成等差則……nk也成等差

|-定義:以一=qf如工=2neN

an-\an

一通項許=4]—等比中項：abc成等比數(shù)歹I」=>廬=QC

基本概——>

推廣許=%〃0i

r。]〃（4=1）

前n項和」

S=%闖①工］)

I-q1-q

等比數(shù)列

與首末兩端等距離的I兩項之積相等

axan=a2an_｛=......=ara?_M

m+n=p+qnam?an=ap-aq

｛〃〃｝成等比，若〃],敢,…以成等差則。],即2,…

成等比

------------>0?<0

基本性質(zhì)—當1或1時｛%｝為遞增數(shù)列

-----------q>10<<7<I

。1<0或可>0

當時｛〃〃｝為遞減數(shù)列

q>10<<7<1

當q<0時｛〃“｝為擺動數(shù)列

當q=l時｛〃〃｝為常數(shù)數(shù)列

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識與措施概括

（一）.一般數(shù)列

數(shù)列的定義及表達措施；數(shù)列時項與項數(shù)；有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增（減）、擺動、循環(huán)

數(shù)列；數(shù)列｛an｝的通項公式加；數(shù)列FI勺前n項和公式Sn；

一般數(shù)列的通項所與前n項和Sn日勺關(guān)系：*

E-S“T（〃N2）

（二）等差數(shù)列

1.等差數(shù)列的概念

［定義］假如一種數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項向差等于同一種常數(shù)，那么這個數(shù)列就

叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差一般用字母d表達。

即：an-an_x=d（n>2,w0,qw0）o｛%｝成等比數(shù)列

2.等差數(shù)列的鑒定措施

（1）定義法：對于數(shù)列｛〃〃｝,若。用一%=4（常數(shù)），則數(shù)列｛〃〃｝是等差數(shù)列。

（2）等差中項法：對于數(shù)列若2。用=。〃+%+2,則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

3.等差數(shù)列的通項公式

假如等差數(shù)列｛?！ǎ谏资醉検枪钍莇,則等差數(shù)列的通項為〃〃=《+（〃—1必。

［闡明］:該公式整頓后是有關(guān)nH勺一次函數(shù)。

4.等差數(shù)列的前n項和

（1）.%=皿92（2.）s“=g+M'

“2〃?2

［闡明］對于公式2整頓后是有關(guān)nH勺沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。

包=—Sn-S奇+S/=2〃+1

S偶nS奇一S偶S奇一S偶

若有偶數(shù)項2〃項，則S奇=生+"21.〃=〃?%

a2+a2n

S偶--n=n-an+］

乙

因此有S偶一s奇=（。2一41）+（“4一。3）+.??+（儂一。2〃-1）=〃1

（5）.若等差數(shù)列｛〃〃｝的前2〃-1項日勺和為S2M，等差數(shù)列｛2｝的前2〃-1項日勺和為

（三）.等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的概念

［定義］：2-=q（〃>2,anH0,qw0）=｛%｝成等比數(shù)列

an-\

［等比中項1

假如在。與/?之間插入一種數(shù)G,使a,G,〃成等比數(shù)列，那么G叫做。與〃的等比中項。

也就是，假如是日勺等比中項，那么色=2,即G2=M。

aG

2.等比數(shù)列的鑒定措施

（1）定義法：對于數(shù)列｛〃〃｝，若也=q（qw0）,則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列。

即

（2）等比中項：對于數(shù)列｛/｝,若。/〃+2=（%H0），則數(shù)列｛七｝是等比數(shù)列。

3.等比數(shù)列的通項公式

假如等比數(shù)列｛%｝口勺首項是q,公比是4，則等比數(shù)列的通項為%

4.等比數(shù)列的前n項和

(q=1)

Sn=WQ=a「a〃q(q工n

\-q-\-q"

5,等比數(shù)列的性質(zhì)

(l)等叱數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：假如4〃是等比數(shù)列的第〃項，％，是等差數(shù)列H勺第加項，且

m<n,公也為<7，則有a〃=a〃M"'"

(2).對于笠比數(shù)列｛%｝,若〃+/篦=〃+U，則?！?見〃=?！?6，

ao如圖所示：Q1，如竺二汩巴巴'"〃

也就是：Q]?an=a2.=%?n-2

(3)若數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列，S”是其前n項口勺和，kjN”，那么品，S2k-Sk,S3k-S2k成

等比數(shù)列。如下圖所示:

S3k

,____________________________/s____________________________、

a\+。2+“3+…+‘〃+以+1+…+a2k+“2k+l+…+a3A

J_y__JJ_y_JJ_J

Sks?k-SkS3k-S2k

三、數(shù)列的通項求法

1.等差，等比數(shù)列的通項；

…、f，,(〃=1)

2.5?—>a—<

n瓜』,(心2)

3.迭加累加,迭乘累乘

若…

若%-an_x=/(n),(n>2),

則必—為=于⑵，則”=8出

一⑶

。3一。2二/⑶，

ch

-41=fW，--=g(〃)

4,1

%-囚=”2)+/⑶+.../(〃)，&二g(2)...g(〃)

注：若%+i-即=/(〃),冬旦=g(〃)呢?

許

4.數(shù)列間的關(guān)系

(1)｛%｝成等差數(shù)列=忸放等比數(shù)列

{%}成等差數(shù)列=an=An+BSn=Ai^+Bn

(2)｛%｝成等比數(shù)列n3｝成等比數(shù)列

一｝成等比數(shù)列W｛log,,%｝成等差數(shù)列

(3)遞推數(shù)列］

①能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項

。1，(〃=1)

②由7(5〃,?！?二0,求?！?5〃解題思緒：運用勺=<

S“一Sf(〃22)

變化(i)已知"S5az)=0(ii)已知/⑸,S,—S〃T)=0

③若一階線性遞歸數(shù)列an=kan-i+b(kWO,kNl),則總可以將其改寫變形成如下形

bb

式a+----=k(a“_[+-)(n^2),于是可根據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項公式;

k—k-

四、數(shù)列的求和措施(詳細講解見六)

1.等差與等比數(shù)列求和公式

2.裂項相消法:----------------=------(----------------)如：an=l/n(n+l)

(4〃+8)(A〃+C)C-BAn+BAn+C

3.錯位相減法:冊=bn.%,也〃｝成等差數(shù)列,｛牖｝成等比數(shù)列

S”=仇。］+〃2c2+…++b?cn

則夕S〃=仇&+……+〃〃-￡?+〃,￡,+】

因此有(1-q)S〃=+(。2+。3+……c〃)d-bncn+{

n

如:an=(2n-l)2

4.倒序相加法：如已知函數(shù)/(x)=4，：2

(xwR)求:5n,=/(-)+/(-)+-/(-)o

mmm

n

5.通項分解法：4〃=〃〃±c〃如：an=2n+3

五、其他方面

1、在等差數(shù)列｛4｝中，有關(guān)&時最值問題一一常用鄰項變號法求解：

(1)當％>0,d<0時，滿足J"'”之。的項數(shù)m使得$文取最大值.

1%用40

(2)當q>0,d>0時，滿足1"〃'"°的項數(shù)m使得外取最小值。

在解含絕對值H勺數(shù)列最值問題時，注M轉(zhuǎn)化思想的應用°

2、三個數(shù)成等差的設(shè)法：ada,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

3、三個數(shù)成等比附設(shè)法：a/q,a,aq；

四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,叫3(為何？)

4、求數(shù)列｛an｝日勺最大、最小項的I措施:

>0

_2

①anuan=......0如an=-2n+29n-3

<0

>1

②=…］=1(an>0)如an=9(〃+D

&jo。

③an=f(n)研究函數(shù)f(n)/、J增減性如an=f------

n+156

六、專題講座一《數(shù)列求和題的基本思緒和常用措施》

一、運用常用求和公式求和

1、等差數(shù)列求和公式：5〃=皿土巴)=〃4+里曰"

22

(q=1)

n

2、等比數(shù)列求和公式：Sn=\a.(\-q)_aA-anq

-;二~;\Q工D

1-q\-q

3、5〃=豆左=；〃(〃十1)4、S〃=￡1=%(〃+I)(2〃+I)

k=\24=］6

5、s〃=汽&3=［；〃5+l)f

&=i2

［例1］已知數(shù)列{an},an=x\(x^O),數(shù)列的前n項和，求s“。

解：當x=l時，stl=n

當xWl時\{4}為等比數(shù)列，公比為x

由等比數(shù)列求和公式得S“=x+/+/+...+/(運用常用公式)

1-x

【鞏固練習】1:已知數(shù)列｛%｝的通項公式為4=3〃-14,與為｛%｝的前11項和,

（1）求s〃;（2）求｛同｝的前20項和。

解：

二、錯位相減法求和

這種措施是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的措施，這種措施重要用于求數(shù)列

｛an-bn｝的前n項和，其中｛即｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

［例2］求和：Sn=1+3x+5x~+7x，+???+(2〃—l)x"?.........(xwO)

當x=i時，S〃=I+3?I+5?I2+7?I3+-+(2〃—I)?I，I=I+3+5+..+(2〃—D=〃2

當x#1時，Stl=1+3x+5x~+7+…+(2〃-1)無"?............①

23,,-1n

兩邊同乘以xWxSn=U+3x+5x+???+(2z?-3)x+(2n-\)x...②(設(shè)制錯

位）

①一②得(l—x)S〃=1+2x+2x2+2x3+2x4+???+2xn-'一(2〃—l)x"(錯位相減)

1-t"T

再運用等比數(shù)列的求和公式得：（l—x）S〃=1+2/?--——（2/7-1）XW

1-x

(2幾一l)x向一(2〃+1)爐+(1+x)

S〃=

(1—4

【鞏固練習】2:求數(shù)列—,一-,——，…前n項的和.

222232"

解：由題可知，｛4｝的通項是等差數(shù)列｛2n｝H勺通項與等比數(shù)列｛」-｝的通項之積

2T

2462n

設(shè)S.=—I.....-H——4~?,?+----①

222232〃

242(〃一1)十2n

—7十丁十???十②（設(shè)制錯位）

22232〃2〃+

2222122/7

①一②得(1—)5=—1——+II???I（錯位相減）

222223242"2n+1

12n

=2一一

2n-\2〃+1

〃+2

S〃二4一

2〃T

三、反序相加法求和

這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的措施，就是將一種數(shù)列倒過來排列（反序），再

把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(6+劣).

［例3］求證：C；+3C；+5C：+???+(2〃+DC；=5+1)2”

證明：設(shè)5〃=C：+3C：+5C,；+…+(2〃+l)C；.......................................①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

S〃=(2〃+1)禺+(2〃—1)。丁+…+3C：+C;(反序)

又由C：=C：f可得

S〃=(2H+1)C：+(2/2-1)C：+…+3c二+最...............②

①+②得2s“=(2〃+2)(C：+C+???+C『+C：)=2(/7+1)?2"(反

序相加)

???S”=5+1)2

【鞏固練習】3:求sii?r2。+sii?3。+…+§畝28++0布89。時值

解：設(shè)5=$萬21。+5皿22°+$m23。+~+5萬288°+$畝289°.................①

將①式右邊反序得

5=sin2890+sin2880+---+sin230+sin220+sin2T......②(反序)

又由于sinx=cos(90-x),sin-x+cos-x=\

①+②得(反序相加)

2S=(sin2f4-cos2l°)4-(sin220+cos22°)+---+(sin289°4-cos289)=89

???S=44.5

四、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將此類數(shù)列合適拆開，可分為幾種等

差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.形如：｛an±hn｝的)形式，其中｛an｝、

｛E｝是等差數(shù)列、等比數(shù)列或常見歐I數(shù)列.

［例4］求數(shù)列的前n項和：1+1,工+4,-1+7,???,」7+3〃-2,…

aa2an-l

解：設(shè)s〃=(1+1)+(工+4)+(二+7)+…+(4+3〃-2)

aaa"

將其每一項拆開再重新組合得

S“=(1+2+4+???+<)+(1+4+7+?一+3〃-2)(分組)

acra"

S+色』=2與(分組求和)

當a=1時，

22

1__L

n

a(3/2—l)n_。一〃一"

當QW1時，3”一.I+-

"1

1-----1-2a-\2

【鞏固練習】4：求數(shù)列｛n(n+l)(2n+l)｝的J前n項和.

解：設(shè)4=%(%+1)(2%+1)=223+322+%

S'=￡攵(左+1)(2左+1)='(2攵：'+3kz+k)

k=\k=l

將其每一項拆開再重新組合得

Sn=2支攵3+3受產(chǎn)+￡卜(分組)

Ar=l女=1k=\

=2(「+2?+…+/)+3(『+22+???+H2)+(1+2+???+/?)

=皿辿+必土D21+返W(分組求和)

222

//(/?+1)2(/7+2)

2

五、裂項法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的詳細應用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)

分解，然后重新組合，使之能消去某些項，最終到達求和的目的.通項分解(裂項)如:

⑴a=/(/?+l)-/(n)(2)----------=tan(〃+1)'—tann

nCOS/?°COS(H4-1)

/(2〃)2I1/11\

(3)an=-------=-----(-4-)--a=--------------=1+—(--------------)

n(n+1)n及+1〃(2n-1)(271+1)22H-12〃+l

]_1_1]

(5)=

??(/?-1)(7?+2)2?!(/?+1)(n+1)(/1+2)

〃+2

(6)…/不?M=2(：U:吳告一島獷則S4-島f

⑺冊

nI1(9)a=—j=-1-------=J〃+1-G

(8)ny

(/?+1)!n!(〃+1)!VH+VH+I

11

[例5]求數(shù)列，…日勺前n項和.

1+V25V2+V34n++1

解：ci=-7=----/=+1—Vn（裂項）

J〃+J/2+1

則〃

S=---^=+~7=-—j=+---+-j=------（裂項求和）

1+J2、2+j3++l

—(V2—VT)+(V3—V2)+?,?+(J〃+1—\[n)

=J〃+1-1

【鞏固練習】5:①在數(shù)列｛an｝中，4=」-+/_+-+，_,又a=_2_,求

n+\〃+1n+\at-an+i

數(shù)列｛bj日勺前n項附和.

/7+1〃+172+12

211

???bn=——=8(----------)(裂項)

幾時1nn+\

2'2

???數(shù)列｛0｝的前n項和

S=8[(1———)]（裂項求和）

tJ“22334n〃+1

"J=)=8〃

/2+1

111cost°

②求證:----------------1------------------k???H-------------------=---------

cosOcoslcoslcos2cos88cos89sin-1

解：設(shè)5=-------5-------+----------------+???+------------------

cosO°cosl°cosl°cos2°cos88cos89

,Io

???------------------=tan(〃+l)°-tann(裂項)

cos/?cos(/?+1)°

???S=---------------+--------5-------+???+-------------------(裂項求和)

cosOcosl°cosl°cos2cos88cos89

------{(Lani'—lanOc)+(tan2°—lanl°)+(lan3:—tan20)-t-[tan89°—lan88°]}

sin1°

])cos1°

=----(tan89-tan0")=-----cotl0=---原等式成立

sinlcsinlsin-1°

③求和：5M=—+—++--------------------

1x33x5(2〃-D(2〃+l)

六、合并法求和

針對某些特殊日勺數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列H勺和

時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.

[例6]求cosl°+cos2c+cos3°+???+cos178°+cos179°『、J值.

解：設(shè)Sn=cosl0+cos2°+cos3°+???+cosl78°+cosl79°

cos(180-n)=-cos/?(找特殊性質(zhì)項)

???Sn=(cosl°+cos179°)+(cos2°+COS1780)+(cos3°+cosl77°)+???

+(cos890+cos9T)+cos9（合并求和）

【鞏固練習】6:在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若

。5〃6=9,求log?%+log3Cl.+—?+1083。10日勺值.

解：設(shè)Sn=log3.+log3a2+---+log3aiQ

由等比數(shù)列時性質(zhì)m+n=p+q=>aman=apa（找特殊性質(zhì)項）

和對數(shù)的運算性質(zhì)log.M+log.N=log.M?N得

Sn=(log3+log3aI0)+(log3a2+log3a9)+???+(log3a5+log3a6)(合并求和)

1

=(log?^l0)+(og3a2-6f9)+---+(10g36f5,/)

—log39+log39H-------Hlog39—10

七、運用數(shù)列的通項求和

先根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造及特性進行分析，找出數(shù)列通項及其特性，然后再運用數(shù)列的通項揭

示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一種重要的措施.

[例7]求1+11+111+…+111…1之和.

“個1

1X999--?9=-(10A-1)

解：由于111…1=（找通項及特性）

~jpbi-9￡個19

???1+11+111+…+111…1

”個1

23

=1(10,-1)+1(10-1)+1(10+-1)（分組求和）

=-(101+1024-1034----+10/，)--(14-1+14----4-1)

99'

110(10z,-l)n

~910^19

=^j(10/,+1-10-9/1)

【鞏固練習】7:已知數(shù)歹ij{aj：an=...———不，求Z（〃+D（%一4+1）時值?

（〃+1）（〃+3）7?

解：???5+1)(%—。用)=8(〃+1)[]（找通項及特性）

(〃+1)(〃+3)(〃+2)(〃+4)

=8?[------------------+------------------](設(shè)制分組)

(〃+2)(〃+4)(/?+3)(/7+4)

二4?(----------------------)+8(----------------------)(裂項)

/24-2〃+4〃+3〃+4

??.石―二?（kk鴛不一力（分組、裂項求和）

高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析

類型1%=an+f（n）

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為〃用-%=/（〃），運用累加法（逐差相加法）求解。

例L己知數(shù)列｛〃/滿足q=，，?！?|=?！?二一，求

2〃

變式：已知數(shù)列｛?！ǎ校?1,且42k=〃2k?l+（-1））〃2k+l=〃2k+3k,其中k=1,2,3,

（I）求的,怒；（H）求｛小川勺通項公式.

類型2?！ㄊ甀=f（n）atl

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為也=f5）,運用累乘法（逐商相乘法）求解。

an

°

例1：已知數(shù)列MJ滿足4=三，。〃+]=/一?！ǎ?。〃。

3n+\

3/2—1

例2:已知q=3,ain]=-----an（??>1）,求明。

3nI2

變式:（2023,全國I,理15.）已知數(shù)列（知"滿足〃產(chǎn)1,6=%+2%+3%+…+5—1）%

I-\

(〃22),則｛斯｝的通項Q=\n

“n>2

類型36ZZI+1=pan+q（其中p,q均為常數(shù)，（〃如〃一1）工。））。

解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：。e-其中，=_",再運用換元

1一〃

法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

例:已知數(shù)列｛%｝中，6/1=1,%+1=2?！?3,求

變式：（2023,重慶，文,14）

在數(shù)列｛a〃｝中，若％=La〃+]=2%+3（〃>1）,則該數(shù)列的通項an=

變式：（2023.福建.理22.本小題滿分14分）

已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=l,a〃+i=2a〃+l（〃￡N）

（I）求數(shù)列｛〃〃｝日勺通項公式；

（II）若數(shù)列｛為｝滿足好一甲-二4k=（4+1產(chǎn)（〃￡八產(chǎn)）,證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

（III）證明：—+++（A2G

23%〃34+12

類型4〃“+]=〃〃“+/（其中p,q均為常數(shù)，（pq（p-l）（q-l）。0））。（或

4〃+i=，其中p,q,r均為常數(shù)）。

解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以9田，得：號=3?2+’引入輔助數(shù)列也〃｝

qqqq

（其中2=3），得：再待定系數(shù)法處理。

qqq

例:已知數(shù)列｛〃"｝中，q=，4+i="“+（；嚴，求明。

o32

變式：（2023,全國I,理22,本小題滿分12分）

41?

設(shè)數(shù)列｛凡｝日勺前〃項的和S”=—七——x2〃”+—,H=1,2,3-

（[）求首項《與通項勾；（1【）設(shè)7；=二，〃=1,2,3,一，證明：

S”/=12

類型5遞推公式為〃,“2=〃q+1+4凡（其中p，q均為常數(shù)）。

解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為%+2-5?！?1=?4+1

其中s,t滿足1s+/=〃p

同=-Q

解法二(特性根法)：對于由遞推公式%+2+9?！ǎ?=。，生=/給出口勺數(shù)列｛%｝，方

程“X—4=0,叫做數(shù)歹J｛%｝H勺特性方程。若也,々是特性方程H勺兩個根，當芭工々時，

數(shù)列｛凡｝的通項為〃“=At；i+&；1,其中A,B由4=。,％=￡決定(即把4，。2，2，工2

和〃=1,2,代入。“=得到有關(guān)A、B的方程組)；當凡=々時，數(shù)列｛〃/的

通項為。〃=(A+,其中A,B由q=a,g=A決定(即把q“，不，尤2和〃=口，

代入?！?(4+8?)41,得到有關(guān)A、B日勺方程組)。

解法一(待定系數(shù)——迭加法)：

數(shù)列｛an｝：3?！?2-5。〃+]+2%=0(/?20,〃￡N),a]=a,a2=b,求數(shù)列｛%｝的通項公式。

2]

例:已知數(shù)列｛〃“｝中，卬=1，。2=2,4“+2=,，/+,%，求明。

變式：

1.已知數(shù)列｛q｝滿足q=1,。2=3,?！?2=3%+1-2%5wN*).

(I)證明：數(shù)列｛。，出一?！埃堑缺葦?shù)列；(II)求數(shù)列｛q｝口勺通項公式；

(III)若數(shù)列出｝滿足4"中，.的=(4+1盧(〃€N*),證明｛2｝是等差數(shù)列.

2.已知數(shù)列｛%｝中，q=1,%=2,afl+2=-a/l+l+-an，求冊

3.已知數(shù)列｛“〃｝中，S〃是其前〃項和，并且S“+]=44+2(〃=l,2,??),q=1,

⑴設(shè)數(shù)列a=。用一2凡(拉=1,2,……),求證：數(shù)列歷〃｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列c“=2，(〃=1,2,……),求證：數(shù)列｛。〃｝是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列｛〃“｝的通項公式及前幾項和。

類型6遞推公式為S〃與*Fl勺關(guān)系式。(或S〃=/(%))

5...........(〃=1)

解法：這種類型一般運用「c，、?與4=S〃—Si=/(〃〃)-/(%)消

電-.....522)

去S〃(〃>2)或與S〃=/(S?-S,i)(〃22)消去％進行求解。

例：已知數(shù)列｛6｝前n項和S“二4一見一白.

(1)求明+|與明日勺關(guān)系；(2)求通項公式明.

(2)應用類型4(%+]=+4"(其中p,q均為常數(shù)，(〃虱〃一1)(4-1)=0)))H勺措施，

上式兩邊同乘以2川得：2"力川=2〃?！?2

由《=?=4—q——[nq=1.于是數(shù)列｛2〃%｝是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，因此

2”即=2+2(/7-1)=2/?=>%=二

變式：(2023,陜西，理,26本小題滿分12分)

已知正項數(shù)列｛an｝,其前n項和Sn滿足1OSn=a/+5an+6且21再3a5成等比數(shù)列，求數(shù)列｛aj日勺

通項an0

變式：(2023,江西，文,22.本小題滿分14分)

已知數(shù)列伍J的前n項和Sn滿足工一5-2=3(-，)'1(〃之3),且3=1,邑=一』,求數(shù)列｛知｝的

通項公式.

類型7?！?1=pan+an+b(pwl、0,aw0)

解法：這種類型一般運用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令%+1+x(〃+l)+y=p(a.+x〃+)，)，

與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為｛4+?+)，｝是公比為p的等比數(shù)列。

例:設(shè)數(shù)列｛%｝：以?=4,a〃=3以〃_［十2〃-1,（〃之2）,求冊.

變式：（2023,山東，文,22,本小題滿分14分）

己知數(shù)列｛%｝中，4=g、點（〃、2%+］-在直線y=x上，其中n=l,2,3…。

（I）令2=1-3,求證數(shù)列是等比數(shù)列；（11）求數(shù)列｛4的通項；

（山）設(shè)S“、7；分別為數(shù)列｛4｝、也〃｝的前〃項和，與否存在實數(shù)幾，使得數(shù)列［上生］為等

n

差數(shù)列？若存在試求出4。不存在，則闡明理由.

r

類型8an+i=pan（p>0,%>0）

解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為=/%〃+q,再運用待定系數(shù)法求解。

例：己知數(shù)列｛%｝中，4=1,4用=1端（。>（））,求數(shù)列｛/的通項公式.

a

變式：（2023,江西，理,21.本小題滿分12分）

已知數(shù)列&｝的各項都是正數(shù)’且滿足：“。=1,。向=：a“（4—aJneN.

（1）證明<2,〃EN;（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式即

變式：（2023,山東，理,22,本小題滿分14分）

已知〃尸2,點（a”,a〃+力在函數(shù)貝刈二一+②的圖象上,其中=1,2,3,…

（1）證明數(shù)列｛lg（l+斯）｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)刀尸（1+四）（1+〃2）…（1+如），求耳及數(shù)列｛斯｝歐J通項；

112

記b,k一十——求｛兒｝數(shù)列的前項和S〃，并證明S〃+^^二1。

%4+237；,-1

類型9all+i=—也竺一解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為

g（n）atl+h（n）

%m=〃％+q。

例：已知數(shù)列｛an｝滿足：—,《二1，求數(shù)列｛加｝日勺通項公式。

3-an.+1

變式:(2023,江西，理,22,本大題滿分14分)

八Q

1.已知數(shù)列(a?)滿足：ai=-,且an=_<n>2,neN*)

22an_]+n~\

(1)求數(shù)列｛an｝H勺通項公式；

(2)證明：對于一，切正整數(shù)n,不等式a【?a2?.......an<2*n!

2、若數(shù)列I向遞推公式為4=3,」一=」--2(/76(),則求這個數(shù)列的通項公式。