2025考研數(shù)學(xué)一真題答案-解析版

2025考研數(shù)學(xué)（一）真題試卷及解析～10550項(xiàng)是符合題目要求的．xtxt2221．已知函數(shù)fxesintt，gxtxedsin00A．x0是fx的極值點(diǎn)，也是gx的極值點(diǎn)．B．x0是fx的極值點(diǎn)，0是曲線ygx的拐點(diǎn)．C．x0是fx的極值點(diǎn)，0是曲線yfx的拐點(diǎn)．D．0是曲線yfx的拐點(diǎn)，0也是曲線ygx的拐點(diǎn)．【答案】B【解析】f(x)exsinx,f(x)2xsinxexx222f(0)f(0)10.x0是f(x)的極值點(diǎn).xgxexxe,()sinsin2xt2220xgxexxxe()sin22sinsin22cos2xxxt222220g(0)g(0)g(0)0.0)是yg(x)的拐點(diǎn).nπ3；②2．已知級(jí)數(shù)：①sin2n1n111(nnnn13232A．①與②均條件收斂．B．①條件收斂，②絕對(duì)收斂．?dāng)?shù)學(xué)試題及解析第1頁(yè)（共3C．①絕對(duì)收斂，②條件收斂．D．①與②均絕對(duì)收斂．【答案】B【解析】3．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上可導(dǎo)，則A．當(dāng)fxx存在時(shí)，fx存在．xB存在時(shí)，fxfxxx存在．xC存在時(shí)，fttfx0xxx存在．?dāng)?shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共3D．當(dāng)fxxx存在時(shí)，存在．ftt0xx【答案】D【解析】A錯(cuò)誤，反例：sinx2f(x),f(x)但xx2xxx222f(x),極限不存在.x2xxB1f(x)x,f(x),f(x)f(x)2xxx不存在.C錯(cuò)誤，反例:xfttx()dsinf(x)cosx,則0xxxx存在，但f(x)x不存在.xxxft)dtf(x)D正確，用0Ax1xx，故選D.244．設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則dxfx,ydy224x442yA．．fx,yxfx,yxy024y442yB．．fx,yxfx,yxy024y44y4yC．．fx,yxfx,yxy02242D．2dyf,ydx．04y【答案】A【解析】由題易知，此二重積分積分區(qū)域?yàn)閿?shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共32D(,y)4xy2x2，對(duì)應(yīng)圖像為上圖所示。記Dxyxyx，22Dxyxyx，且1(,)4202(,)40224d,dxfxyyf,ydf,yd，交換積分次序得24x2DD1244y42dyf,ydxdyf,ydx0204y44y2fxyxfxyxy,d,dd024y故A正確。5．二次型1,2,31212213fxxxxxxxx的正慣性指數(shù)2A．0．B1．C2．D．3．【答案】B【解析】A=1111001001111111EA100011101010數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)（共311(2(1231故正慣性指數(shù)為161,2,3,4是n維列向量，1240線性無關(guān)，1,21,2,3.在空間直角坐標(biāo)系O中，關(guān)于x,y,z的方程組的幾何圖形是1234A．過原點(diǎn)的一個(gè)平面．B．過原點(diǎn)的一條直線．C．不過原點(diǎn)的一個(gè)平面．D．不過原點(diǎn)的一條直線．【答案】D1,2,3rA2A1,2,31,2線性無關(guān)，AA41234，再由，則rA2。于是1240有無窮4多解。則TT等價(jià)于，即,,1,2,3,,z4Axyz。12344若過原點(diǎn)，則40與1,2線性無關(guān)矛盾，故不過原點(diǎn)。axayazaaxayaza1234axayaza1n2n3n4rArA2兩平面交于一條直線，且不過原點(diǎn)。故選D。7．設(shè)n階矩陣,B,CrArBrCrABCn，給出下列四個(gè)結(jié)論：①rABCnrABrC;②rABnrArB;③rArBrCn;數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)（共3④rABrBCn.其中正確結(jié)論的序號(hào)是A．①②．B．①③．C．②④．D．③④．【答案】A【解析】1000ABCE，滿足r()r(B)rC)r(ABC)2n，則,,0001r()r(B)rC)2，排除結(jié)論③④，故選A.8．設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y服從正態(tài)分布N，其中1.若a,b為滿足a2b21的任意實(shí)數(shù)，則D的最大值為A．1．B2．C．1．D．1．2【答案】C【解析】D(bY)ab2ab1122a2b2ab12ab12a1a2f(a)afaaa()212221aa2210a21a2即1aa22201a2，22121,21aab，于是2211a,b。所以最大22||，故選C。9．設(shè)，利用泊松分布近X1,X2,,X是來自總體B0.1的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.令TXii1似表示二項(xiàng)分布的方法可得PT數(shù)學(xué)試題第6頁(yè)（共3A．1e2．B．2e2．C．3e2．D．4e2．【答案】C【解析】由題意可知T~B(20,20222301TTTeeee22220!e210X1,X2,,Xn為來自正態(tài)總體N,2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記1nZXX表示標(biāo)ini1準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù).假設(shè)檢驗(yàn)問題：H：≤H的顯著性水平為的檢0111驗(yàn)的拒絕域?yàn)?A．X，X，XX1Z．12nn2B．X，X，XX1Z．12nn

2C．XXXX1Z．12nn2D．XXXX1Z．12nn

【答案】DX2【解析】zXz1，故選D/nn二、填空題：16小題，每小題5分，共3011．x0xx1xx)______.數(shù)學(xué)試題第7頁(yè)（共3【答案】1【解析】e1xxxx1xxxxx0x012.已知函數(shù)f(x)10x,21x,x122的傅里葉級(jí)數(shù)為S(x)為bsinnx,bsinnxnnn1n1的和函數(shù)，則S72______.【答案】18【解析】7711ss4s2228.13.已知函數(shù)u(x,y,z)z,n(2,則23un______.【答案】1uuu【解析】由題易知，y2z3,2xyz3,3xy2z2xyzuuuxy1,z1,,xyz對(duì)于向量n(2,，歸一化可得n0221,,333故uuuu,,nxyzn0221221,,1231333333數(shù)學(xué)試題第8頁(yè)（共314.已知有向曲線L是沿拋物線y1x2從點(diǎn)0)到點(diǎn)(0)的一段，則曲線積分______.(yx)dx(2xy)dyL【答案】432sin1【解析】由題易知可作曲線如右圖所示.記Lx1到x1的直線,0并記曲線積I(yx(2xy)LL與L所圍的封閉區(qū)域可用格林公式0即1(yx(2xy1()(2)LL021112x2dx)101D43又412()(2)2sin1Iyxxy,故I3L02sin115.設(shè)矩陣423A若方程組A2x0與Ax0不同解，則ab______.a34,b57【答案】4【解析】由題知，423Aa34b57A2x0與0同解，則三秩相同，即ArArAr2A2。如果A可逆，三秩顯然相同，則A2x0與0同解，于是要想A2x0與0不同解，即A不可逆，于是A0。根據(jù)行列式的倍加性質(zhì)易得數(shù)學(xué)試題第9頁(yè)（共3423421401Aa34a31a11421abb57b52b12A0，有ab4。16.設(shè),B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且A與B相互獨(dú)立，已知5P()2P(BP(AB),則在8,B至少有一個(gè)發(fā)生的條件下，,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率為______.【答案】45【解析】P(AB)P(AB)P()P(AB)P(B)P(AB)P()P(B)2P()P(B)5P(AB)P()P(B)P(AB)，3P(B)2P2(B)85824P(B)16P(B)5,16P(B)24P(B)5022(4P(B)P(B)011P(B),P()42P(AB)P(AB)P()P(AB)P(B)P(AB)P()P(B)2P()P(B)11111224422P1218452558三、解答題：1722小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17101012x1x2x2d.數(shù)學(xué)試題第10頁(yè)（共317．解：1AC112x1x2x220(xx2x20113x15350x1x2x2211111231|1x|x2x2arctan(x2π.255000018.（本題滿分10x已知函數(shù)fu在區(qū)間內(nèi)具有2階導(dǎo)數(shù)，記,,gxf若gx,yyygggg2222x且,2(xxyg,y)求fu).222,xxxyyx解：xg1gx令u則fufu,,yxyyy2xgxxff又,11xg12，f,f2故(x,x)xxx數(shù)學(xué)試題第11頁(yè)（共3g1112fufuxyyy22......(1)gx11x12fufufufu..(2)xyyyyyy2232gxxxxx22fufufufu...(3)yyyyyy22243將（123）代入ggg222x2y21化簡(jiǎn)得：xyy22ufuu2111fufu。uu2211

令pfu則pp

uu211u1u11uCpeeCCuuuuu2又u2p1C2puuu因此，fu2uuuu21fuuuC，積分得，22uu21又fC12fuu2lnu1。219.（本題滿分10設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo).證明導(dǎo)函數(shù)fx在a,b內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加的充分必要條件是:對(duì)a,b內(nèi)任意的1,2,3,當(dāng)xxx時(shí)123fxfxfxfx2132.xxxx2132解：充分性：若對(duì)(a,b)內(nèi)任意的xxx1,2,3xxx時(shí)，都有123fxfxfxfx2132xxxx2132數(shù)學(xué)試題第12頁(yè)（共3(a,b)內(nèi)取任意的xxxxx12345fxfxfxfxfxfxfxfx21324354xxxxxxxx21324354在fxfxfxfx2132xxxx2132兩邊同時(shí)令xx21fx1fxfx31xx31，兩邊同時(shí)令xxfxfx2331fx3xx31fxfxfxfx3131fxfx，同理可得fxfx1335xxxx3131.fxfxfxfx3153xxxx3153.由以fxfx151,5fx在a,b內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，充分性得證。fxxxxx上分別使用拉格朗日中值定理，1,2,2,3知存在11,2,22,3f1fxfx21xx21，f2fxfx32xx32，fx單調(diào)遞增，且ff1212fxfxfxfx2132xxxx2132，必要性得證。綜上所述，充要條件得證。數(shù)學(xué)試題第13頁(yè)（共320.（本題滿分10設(shè)Σ是由直線xy0xt,繞直線t為參數(shù)yt,旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面，ztΣ是Σ介于平面1xyz0與平面xyz1之間部分的外側(cè)，計(jì)算曲面?zhèn)确e分Iddz(yzdx(zΣ12)dd.xy00,xtl；yt1zt,ll繞直線l旋轉(zhuǎn)所得曲212面為(xt)2(yt)2(zt)2t2。已知是介于平面xyz0和平面1xyz之間的外側(cè)，則補(bǔ)面0:xyz1與所圍為封閉101區(qū)域，則由高斯公式可知1xyz(yzx(zxy0121222(為圓錐體)。1v3dv3ππ3224記D為在面上的投影，(,)00Dx∣xxy0又I2xyz(yzx(zxy0(yyxy)dyD12111x2D故2IIIπ1.124數(shù)學(xué)試題第14頁(yè)（共321.（本題滿分10012設(shè)矩陣A102,1是A的特征多項(xiàng)式的重根.11a(1)求a的值；（2）求所有滿足A,A2的非零列向量，.f()|AE)[(a)(a4a3（2）由（1）可知012AAE,得A中102,|0，1231113Aααβ.A2α=α+2β-E)αβ2-Eα=2β=-E)α,2,2TAEα0AE0故α為任意的非零向量，其中（1,2,3