第六章 變量之間的關(guān)系 單元整體教案-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第六章變量之間的關(guān)系單元整體教案-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容第六章變量之間的關(guān)系單元整體教案-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

1.課題：線性方程組

內(nèi)容：解二元一次方程組、三元一次方程組的代入法、消元法。

2.課題：函數(shù)的圖像

內(nèi)容：函數(shù)的概念、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

3.課題：函數(shù)與方程

內(nèi)容：函數(shù)的解析式、函數(shù)的圖像、函數(shù)的性質(zhì)。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過(guò)線性方程組的解法，提升學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；通過(guò)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力；通過(guò)函數(shù)與方程的應(yīng)用，鍛煉學(xué)生數(shù)據(jù)分析和解題策略。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本章節(jié)學(xué)習(xí)前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、代數(shù)式、一元一次方程等基礎(chǔ)知識(shí)。他們已經(jīng)具備了解代數(shù)式的基本運(yùn)算能力和解一元一次方程的能力。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

七年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍保持一定的興趣，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和邏輯推理過(guò)程感興趣。他們的數(shù)學(xué)能力處于發(fā)展階段，能夠進(jìn)行基本的代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好直觀學(xué)習(xí)，通過(guò)圖形和實(shí)例理解概念；而另一部分學(xué)生則更傾向于抽象思維，喜歡通過(guò)公式和定理推導(dǎo)出結(jié)論。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)線性方程組和函數(shù)概念時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：

-理解方程組中變量之間的關(guān)系，特別是在處理二元或三元方程組時(shí)，如何選擇合適的解法。

-函數(shù)圖像的理解和繪制，包括如何從代數(shù)表達(dá)式推導(dǎo)出圖像，以及如何分析圖像的幾何意義。

-將函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題。

-在解方程和函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可能存在計(jì)算錯(cuò)誤或邏輯錯(cuò)誤，需要通過(guò)練習(xí)和反饋來(lái)糾正。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備線性方程組、函數(shù)圖像相關(guān)的圖片、圖表和教學(xué)視頻。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備幾何畫(huà)板等軟件，用于動(dòng)態(tài)展示函數(shù)圖像的變化。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，布置實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，以便學(xué)生進(jìn)行小組合作和動(dòng)手操作。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

1.老師站在講臺(tái)前，微笑著對(duì)學(xué)生們說(shuō)：“同學(xué)們，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)——變量之間的關(guān)系。大家還記得我們?cè)谥暗恼n程中學(xué)過(guò)的有理數(shù)、代數(shù)式和一元一次方程嗎？今天我們將這些知識(shí)結(jié)合起來(lái)，探索變量之間的更多聯(lián)系?！?/p>

2.學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭，表示記憶猶新。

二、新課講授

1.老師在黑板上寫(xiě)下“線性方程組”這幾個(gè)字，然后解釋道：“線性方程組是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的一次方程組成的方程組。今天我們主要學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法，包括代入法和消元法。”

2.老師講解代入法的步驟，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手嘗試解一道二元一次方程組題目。

3.學(xué)生們認(rèn)真聽(tīng)講，跟隨老師的步驟解題。

4.老師提問(wèn)：“同學(xué)們，誰(shuí)能告訴我代入法的關(guān)鍵是什么？”

學(xué)生們積極回答：“代入法的關(guān)鍵是正確地將一個(gè)方程中的變量表示為另一個(gè)方程中的變量?！?/p>

5.老師接著講解消元法的步驟，并引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手嘗試解一道二元一次方程組題目。

6.學(xué)生們按照老師的講解，嘗試用消元法解題。

7.老師提問(wèn)：“同學(xué)們，誰(shuí)能告訴我消元法的關(guān)鍵是什么？”

學(xué)生們紛紛回答：“消元法的關(guān)鍵是找到合適的方程進(jìn)行消元，以及正確地計(jì)算?！?/p>

8.老師總結(jié)：“通過(guò)今天的講解，我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，包括代入法和消元法。這兩種方法可以幫助我們解決實(shí)際問(wèn)題，提高我們的數(shù)學(xué)能力?！?/p>

三、鞏固練習(xí)

1.老師在黑板上寫(xiě)下幾道二元一次方程組題目，讓學(xué)生們嘗試解答。

2.學(xué)生們認(rèn)真思考，動(dòng)手解題。

3.老師巡視課堂，解答學(xué)生們的疑問(wèn)。

4.老師提問(wèn)：“同學(xué)們，誰(shuí)能告訴我解二元一次方程組的關(guān)鍵是什么？”

學(xué)生們積極回答：“解二元一次方程組的關(guān)鍵是選擇合適的解法，正確地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算?！?/p>

5.老師總結(jié)：“通過(guò)練習(xí)，我們鞏固了二元一次方程組的解法。希望大家在以后的學(xué)習(xí)中，能夠靈活運(yùn)用這些方法?！?/p>

四、拓展延伸

1.老師在黑板上寫(xiě)下“函數(shù)的圖像”這幾個(gè)字，然后解釋道：“函數(shù)的圖像可以幫助我們直觀地了解函數(shù)的性質(zhì)。今天我們學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)?！?/p>

2.老師講解一次函數(shù)的概念，并展示一次函數(shù)的圖像。

3.學(xué)生們認(rèn)真聽(tīng)講，觀察一次函數(shù)的圖像。

4.老師提問(wèn)：“同學(xué)們，誰(shuí)能告訴我一次函數(shù)的圖像是什么樣的？”

學(xué)生們紛紛回答：“一次函數(shù)的圖像是一條直線?！?/p>

5.老師講解一次函數(shù)的性質(zhì)，如斜率、截距等。

6.學(xué)生們跟隨老師的講解，總結(jié)一次函數(shù)的性質(zhì)。

7.老師提問(wèn)：“同學(xué)們，誰(shuí)能告訴我一次函數(shù)的應(yīng)用？”

學(xué)生們積極回答：“一次函數(shù)可以用來(lái)描述速度、距離等實(shí)際問(wèn)題?！?/p>

8.老師總結(jié)：“通過(guò)今天的講解，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及一次函數(shù)的應(yīng)用。希望大家能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中?！?/p>

五、課堂小結(jié)

1.老師站在講臺(tái)前，微笑著對(duì)學(xué)生們說(shuō)：“同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了變量之間的關(guān)系，包括線性方程組的解法和函數(shù)的圖像與性質(zhì)。希望大家能夠掌握這些知識(shí)，并在以后的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用?！?/p>

2.學(xué)生們紛紛表示：“老師，我們明白了！”

3.老師鼓勵(lì)道：“很好，希望大家在課后能夠認(rèn)真復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。”

4.課堂在愉快的氛圍中結(jié)束。知識(shí)點(diǎn)梳理1.線性方程組

-定義：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的一次方程組成的方程組。

-特點(diǎn)：方程中每個(gè)變量的最高次數(shù)為1。

-解法：代入法、消元法。

-代入法步驟：

a.從一個(gè)方程中解出一個(gè)變量；

b.將這個(gè)變量的表達(dá)式代入另一個(gè)方程；

c.解出另一個(gè)變量；

d.將解出的變量值代入任一方程，解出另一個(gè)變量。

-消元法步驟：

a.將方程組中的方程進(jìn)行變形，使其中一個(gè)變量的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

b.將變形后的方程相加或相減，消去一個(gè)變量；

c.解出另一個(gè)變量；

d.將解出的變量值代入任一方程，解出另一個(gè)變量。

2.函數(shù)的圖像

-定義：函數(shù)的圖像是函數(shù)中所有有序?qū)υ谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的表示。

-一次函數(shù)的圖像：

a.形狀：直線；

b.斜率：表示直線的傾斜程度，正值表示向上傾斜，負(fù)值表示向下傾斜；

c.截距：表示直線與y軸的交點(diǎn)；

d.幾何意義：表示變量之間的關(guān)系。

-函數(shù)圖像的繪制：

a.確定函數(shù)的斜率和截距；

b.選擇適當(dāng)?shù)膞值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值；

c.在坐標(biāo)系中標(biāo)記出這些點(diǎn)；

d.連接這些點(diǎn)，得到函數(shù)的圖像。

3.函數(shù)與方程

-定義：函數(shù)與方程的關(guān)系是指函數(shù)的解析式與方程的關(guān)系。

-函數(shù)的解析式：

a.定義：表示函數(shù)中變量之間關(guān)系的代數(shù)式；

b.形式：可以是線性函數(shù)、二次函數(shù)等。

-函數(shù)的性質(zhì)：

a.增減性：函數(shù)在定義域內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值也增大或減??；

b.極值：函數(shù)的最大值或最小值；

c.單調(diào)性：函數(shù)在定義域內(nèi)，自變量的增大或減小，函數(shù)值保持單調(diào)增大或單調(diào)減小。

-方程的解法：

a.一次方程：直接求解，得到一個(gè)解；

b.二元一次方程組：代入法或消元法，得到兩個(gè)解；

c.二元二次方程組：使用配方法、因式分解、求根公式等方法，得到兩個(gè)解。

4.數(shù)學(xué)建模

-定義：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題。

-建模步驟：

a.提出問(wèn)題：明確需要解決的問(wèn)題；

b.建立模型：根據(jù)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；

c.解模型：用數(shù)學(xué)方法求解模型；

d.分析結(jié)果：分析解的結(jié)果，判斷是否符合實(shí)際情況。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)：

-我們學(xué)習(xí)了線性方程組的解法，包括代入法和消元法，這兩種方法可以幫助我們解決實(shí)際問(wèn)題。

-通過(guò)函數(shù)的圖像，我們了解了函數(shù)的性質(zhì)，如斜率和截距，以及如何繪制一次函數(shù)的圖像。

-我們探討了函數(shù)與方程的關(guān)系，以及如何通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題。

2.強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法和技巧：

-在解線性方程組時(shí)，注意選擇合適的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用代入法或消元法。

-在繪制函數(shù)圖像時(shí)，關(guān)注函數(shù)的斜率和截距，這些信息對(duì)于理解函數(shù)的性質(zhì)至關(guān)重要。

-在解決實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，首先要明確問(wèn)題，然后根據(jù)問(wèn)題建立合適的數(shù)學(xué)模型，最后用數(shù)學(xué)方法求解并分析結(jié)果。

3.鼓勵(lì)學(xué)生課后復(fù)習(xí)和鞏固：

-建議學(xué)生在課后復(fù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，特別是對(duì)于線性方程組的解法和函數(shù)圖像的繪制，多做練習(xí)題以加深理解。

-鼓勵(lì)學(xué)生嘗試將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到日常生活中，尋找數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.線性方程組解法檢測(cè)：

-給出以下方程組，請(qǐng)用代入法或消元法求解：

2x+3y=8

4x-y=1

2.函數(shù)圖像繪制檢測(cè)：

-已知一次函數(shù)的斜率為2，截距為-3，請(qǐng)繪制該函數(shù)的圖像，并標(biāo)出斜率和截距。

3.函數(shù)與方程應(yīng)用檢測(cè)：

-一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的兩倍，且長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為20厘米，請(qǐng)建立方程組求解長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

4.數(shù)學(xué)建模檢測(cè)：

-假設(shè)一個(gè)物體以每秒2米的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)，求物體運(yùn)動(dòng)t秒后所走的距離S。

檢測(cè)結(jié)束后，老師將逐一檢查學(xué)生的答案，并針對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。對(duì)于正確解答的學(xué)生，給予肯定和鼓勵(lì)；對(duì)于錯(cuò)誤解答的學(xué)生，耐心解釋錯(cuò)誤原因，并提供正確的解題思路。通過(guò)當(dāng)堂檢測(cè)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解題能力。教學(xué)反思與改進(jìn)教學(xué)反思：

今天這節(jié)課，我?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了線性方程組的解法、函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及如何將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。在回顧教學(xué)過(guò)程時(shí)，我發(fā)現(xiàn)了一些值得反思的地方。

首先，我在講解線性方程組解法時(shí)，可能過(guò)于注重理論講解，而忽視了學(xué)生的實(shí)際操作。我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在代入法或消元法的選擇上顯得有些迷茫，這說(shuō)明我在教學(xué)中需要更加注重學(xué)生的實(shí)踐操作，通過(guò)具體的例子和練習(xí)，幫助他們更好地理解和掌握這些方法。

其次，在講解函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，我使用了多媒體資源，但發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)于圖像的直觀理解還是不夠。這可能是因?yàn)樗麄儗?duì)函數(shù)概念的理解還不夠深入。因此，我需要調(diào)整教學(xué)方法，更多地引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)表達(dá)式出發(fā)，逐步理解函數(shù)圖像的幾何意義。

再次，當(dāng)我在講解數(shù)學(xué)建模時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對(duì)于如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力還有待提高。這需要我在今后的教學(xué)中，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題分析和建模能力。

改進(jìn)措施：

針對(duì)以上反思，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中實(shí)施以下改進(jìn)措施：

1.在講解線性方程組解法時(shí)，我將增加實(shí)際操作環(huán)節(jié)。例如，我會(huì)給出一些具體的例子，讓學(xué)生們動(dòng)手計(jì)算，并引導(dǎo)他們分析哪種解法更適合當(dāng)前問(wèn)題。同時(shí)，我會(huì)設(shè)計(jì)一些小組討論活動(dòng)，讓學(xué)生們?cè)谟懻撝谢ハ鄬W(xué)習(xí)，共同提高。

2.在講解函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，我會(huì)嘗試使用更多的教學(xué)工具，如幾何畫(huà)板等，讓學(xué)生們通過(guò)動(dòng)態(tài)演示來(lái)直觀地理解函數(shù)圖像的變化。此外，我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生們自己繪制函數(shù)圖像，并分析圖像的幾何意義。

3.在數(shù)學(xué)建模方面，我會(huì)結(jié)合實(shí)際生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。我會(huì)設(shè)計(jì)一些案例，讓學(xué)生們分組討論，嘗試解決實(shí)際問(wèn)題，并在課堂上分享他們的建模過(guò)程和結(jié)果。

4.我還會(huì)在課后布置一些實(shí)踐性作業(yè)，讓學(xué)生們將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，從而提高他們的應(yīng)用能力和解決問(wèn)題的能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系①線性方程組

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：二元一次方程組、代入法、消元法

-關(guān)鍵詞：方程組、變量、系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、解

-關(guān)鍵句：解二元一次方程組的關(guān)鍵是找到合適的解法，正確地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。

②函數(shù)的圖像

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)、斜率、截距、圖像

-關(guān)鍵詞：函數(shù)、變量、自變量、因變量、圖像

-關(guān)鍵句：一次函數(shù)的圖像是一條直線，斜率表示直線的傾斜程度，截距表示直線與y軸的交點(diǎn)。

③函數(shù)與方程

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)、數(shù)學(xué)建模

-關(guān)鍵詞：函數(shù)、解析式、性質(zhì)、模型、實(shí)際問(wèn)題

-關(guān)鍵句：函數(shù)的解析式表示變量之間的關(guān)系，函數(shù)的性質(zhì)包括增減性、極值、單調(diào)性等。數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。重點(diǎn)題型整理1.題型一：二元一次方程組的代入法求解

-題目：解方程組：

2x+3y=8

4x-y=1

-解答過(guò)程：

①?gòu)牡谝粋€(gè)方程中解出x：x=(8-3y)/2

②將x的表達(dá)式代入第二個(gè)方程：4(8-3y)/2-y=1

③化簡(jiǎn)得：16-6y-y=1

④合并同類項(xiàng)：16-7y=1

⑤解出y：y=(16-1)/7

⑥計(jì)算得：y=15/7

⑦將y的值代入x的表達(dá)式：x=(8-3*(15/7))/2

⑧化簡(jiǎn)得：x=(8-45/7)/2

⑨計(jì)算得：x=(56-45)/14

⑩計(jì)算得：x=11/14

-答案：x=11/14,y=15/7

2.題型二：二元一次方程組的消元法求解

-題目：解方程組：

x+2y=5

3x-y=9

-解答過(guò)程：

①將第一個(gè)方程乘以3，得到3x+6y=15

②將第二個(gè)方程乘以1，得到3x-y=9

③將兩個(gè)方程相減，消去x：(3x+6y)-(3x-y)=15-9

④化簡(jiǎn)得：7y=6

⑤解出y：y=6/7

⑥將y的值代入第一個(gè)方程：x+2*(6/7)=5

⑦化簡(jiǎn)得：x+12/7=5

⑧解出x：x=5-12/