小學(xué)奧數(shù)講義4年級(jí)-6-幻方和數(shù)陣圖-難版

幻方和數(shù)陣圖

.叁

“z知識(shí)梳理

傳說在五千年前，大禹治水的時(shí)代，人們?cè)邳S河中發(fā)現(xiàn)一只大龜，龜背上有一些奇怪的

圖案，經(jīng)過破譯，人們將龜背上的神奇的圖案譯成了如下圖這樣的數(shù)陣圖，也稱做幻方。

I92

幻方和數(shù)陣是我國(guó)文化遺產(chǎn)之一，￥在公元前4世紀(jì)就有“河圖”、“洛書”的傳說與記

載。到了宋朝，楊輝對(duì)幻方已有較詳細(xì)的記述，并探索出一些編制方法。明朝程大位、清朝

張潮等人，創(chuàng)制了絢麗多彩的幻方與數(shù)陣圖式，其中九宮圖是最簡(jiǎn)單的三階幻方。

將三階幻方推廣，結(jié)合某些幾何圖形，把一些數(shù)字填入圖形的某種位置上，并使數(shù)字

滿足一定的約束條件,這類問題，通常被稱為“數(shù)陣圖”?；梅绞翘厥獾臄?shù)陣圖。大約在15

世紀(jì)初，幻方傳到國(guó)外，引起了歐洲很多數(shù)學(xué)家的興趣，發(fā)現(xiàn)許多新成果。人們發(fā)現(xiàn)幻方不

僅僅是一種數(shù)字游戲，而且與實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)及一些高深數(shù)學(xué)分支有關(guān)，幻方已成為數(shù)陣圖

中最重要的課題，是數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)重要分支。

數(shù)陣圖大致分三種：封閉型數(shù)陣圖、開放型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖。

幻方的特點(diǎn)：一個(gè)幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等。這個(gè)相等的和

叫“幻和二要求在n行n列的方格里，既不重復(fù)又不遺漏地填上nXn個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。這

些自然數(shù)所組成的一列藪有極強(qiáng)的規(guī)律性，校順序排列后，每一項(xiàng)都比它前面的一項(xiàng)大1,

即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，是等差數(shù)列。

因此在解答這類問題時(shí)，常用的知識(shí)有：

1.等差數(shù)列的求和公式

總和二（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2

2.數(shù)字的奇偶性

奇數(shù)土奇數(shù)二偶數(shù)

偶教士偶數(shù)二偶數(shù)

奇教士偶數(shù)二奇數(shù)

可簡(jiǎn)記為：同性為偶，異性為奇(注：同性是同奇或同偶，異性是指一奇一偶)。

典型例題

數(shù)陣圖

【例1】★如圖所示，在三個(gè)圓圈中各填入一個(gè)自然數(shù)，使每條線段兩端的兩個(gè)數(shù)之和均為

奇數(shù)。請(qǐng)問這樣的填法存在嗎?如不存在，請(qǐng)說明理由；如存在，請(qǐng)寫出一種填法。

設(shè)所填的數(shù)分別是a,b,c,如圖所示。假設(shè)a+b=奇數(shù).a+c二奇數(shù),

b+c=奇數(shù)，左邊=2(a+b+c),是偶數(shù)，右邊=三個(gè)奇數(shù)相加，是奇數(shù)，偶效片奇數(shù)。

【例2】★小蝸牛不小心爬到一個(gè)三角形數(shù)陣圖中，必須將1?6六個(gè)自然數(shù)分別填入下圖

的。內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于11才能通過這個(gè)數(shù)陣圖，你能幫它嗎？

【解析】因?yàn)槊織l邊上的和都為11,那么三條邊上的數(shù)字之和為11X3=33,而1+2+…

+5+6=21,所以三個(gè)角的三個(gè)數(shù)之和等于33-21=12,在1?6中選3個(gè)和為12的數(shù)，且其中

任意兩個(gè)的和不等于11,這樣的組合有：12=2+4+6=3+4+5,經(jīng)試驗(yàn)，填法見右上圖.

【小試牛刀】把1,2,3,4,5,6,7,8八個(gè)數(shù)字填入下圖中的。內(nèi)，使正方形每條邊上

三個(gè)數(shù)的和都等于13.

0-0

【解析】囚為每邊上的和為13,那么四條邊上的數(shù)字之和為13X4=52,而1十2十…十7+8=36,

所以四個(gè)角上的四個(gè)數(shù)之和等于52-36=16.在1?8中選四個(gè)數(shù)，四數(shù)之和等于16,且其中

任意三個(gè)的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6.只有上圖的兩種填法.

【例3】★把1?7這七個(gè)自然數(shù)，分別填在下圖（D的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)的

和都相等。

【解析】為敘述方便，先在圓圈中標(biāo)上字母，如上圖(2)。

設(shè)a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,則(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=

3k

3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k

2a+(1+2+3+4+5+64-7)=3k2a+28=3ka為1、4或7。

若a=l,則k=10,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為9。在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+

6=4+5=9,因此得到一個(gè)解為：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5。

若a=4,則k=12,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為8。在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+

6=3十5=8,因此得到第二個(gè)解為：日=4,b=l,u=2,d=3,e=7,f=6?g=5?

若a=7,則k=14,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為7。在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+

5=34-4=7,因此得到第三個(gè)解為：a=7,b=l,c=2,d=3,c=6,f=5,g=40

共得到三個(gè)解，如下圖:

【小試牛刀】把1一8各數(shù)填入圖3的圓圈內(nèi)，使每個(gè)面上四數(shù)的和等于18。

【解析】此立方體圖形比較特殊，每個(gè)頂點(diǎn)位置的數(shù)字被重復(fù)的次數(shù)相同。因此找不到關(guān)鍵

數(shù)字。因此只能從每個(gè)面上四個(gè)數(shù)字的和為18入手。先將1填入其中任意一個(gè)位置，來找

到所有含有“1”，并且和為18的情況，有：1+2+7+8,1+3+6+8,1+4+5+8,1+4+6+7。將其

中任意一組的4個(gè)數(shù)放入其中一個(gè)面的四個(gè)圈中，再將其他的數(shù)字以此為基礎(chǔ)做出調(diào)整，即

可得出答案。

【例5】以內(nèi)共有10個(gè)奇數(shù)，去掉9和15還剩八個(gè)奇數(shù)。將這八個(gè)奇數(shù)填入圖4

的八個(gè)。中（其中“3”已填好），使得用箭頭連接起來的四個(gè)數(shù)之和都相等。

【例6】★小鳥歡歡和樂樂有1至6六個(gè)數(shù)字，它們想把1至6分別填入圖的各方格中，橫

行三個(gè)數(shù)字歡歡填，豎行四個(gè)數(shù)字樂樂填，并且使得橫行3個(gè)數(shù)的和與豎列4個(gè)數(shù)的和相

等，你能做到嗎？

【解析】數(shù)陣中左右兩個(gè)數(shù)與下邊三個(gè)數(shù)的和相等，所以這5個(gè)數(shù)和是偶數(shù)，這五個(gè)數(shù)的和

加上第一行中間的數(shù)和為1+2+…+5+6=21,所以第一行最中間的數(shù)是奇數(shù),即1、3、5,確

定中間的數(shù)后經(jīng)過嘗試可得解，如右上圖.

[例7]★★請(qǐng)?jiān)谙聢D中每個(gè)方格中填一個(gè)數(shù)，使橫行任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是

15,豎列任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18.

【解析】豎列任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18,從上至下第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和

是18-3=15,第二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)+第四個(gè)數(shù)=18,第四個(gè)數(shù)等于3,以此類推，從上至下第一

個(gè)數(shù)等于第四個(gè)數(shù)等于第七個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)等于第五個(gè)數(shù)等于第八個(gè)數(shù)，所以啜行從上至下

依次為3、8、7、3、8、7、3、8；同理，橫行任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,由

左至右第六個(gè)數(shù)是8,所以橫行由左至右依次為5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上圖

所示.

【例8】★★小白兔在森林里玩耍，突然發(fā)現(xiàn)一個(gè)發(fā)光的東西，走近一看是一個(gè)帶有奇妙數(shù)

陣圖的樹樁，上面寫著如果你能在下圖的六個(gè)。內(nèi)各填入一個(gè)質(zhì)數(shù)（可取相同的質(zhì)數(shù);，使

它們的和等于20,而且每個(gè)三角形（共5個(gè)）頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都相等，那么你就是一個(gè)

聰明人，小白兔很快得出答案，你能嗎？

5

325

【解析】因?yàn)榇笕切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)與中間倒三角形的三人頂點(diǎn)正好是圖中的六個(gè)。，又因?yàn)?/p>

每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，所以每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和為20+2=10.10分

為三個(gè)質(zhì)數(shù)之和只能是2+3+5,由此得到右上圖的填法.

【小試牛刀】將1-9填入圈中的9個(gè)方格內(nèi)，使得每條直線上的3個(gè)數(shù)字的和都相等.其中

b2,7已經(jīng)給出.

【解析】這個(gè)數(shù)陣中重復(fù)數(shù)無法確定，只能找突破口一一試驗(yàn).我們可以選擇的突破口有2

個(gè)，一個(gè)是2+7的這條線，另一個(gè)是1+7的這條線，試驗(yàn)后答案如右上圖.

幻方

【例9】★IF九個(gè)數(shù)字填在圖7內(nèi)九個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，使每一橫行、每一縱行

和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等。

【解析】1—9九個(gè)數(shù)字之和正好為三個(gè)縱行（或橫行）的數(shù)字之和，1+2+…+9=45。由題意

知每一橫行、縱行和對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等。則此三個(gè)數(shù)的和為45+3=15。找到所有

三個(gè)數(shù)和為15的情況:1+5+9,1+6+8,2+4+9,2+5+8,2+6+7,3+4+8,3+5+7,4+5+6。圖

中位于中心位置的數(shù)是關(guān)健數(shù)，有四條線通過它，因此要求它出現(xiàn)于4個(gè)算式中，容易找出

這個(gè)數(shù)是5。4個(gè)角上的數(shù)字有三條線通過，應(yīng)該在算式中出現(xiàn)三次，找到它們是2、4、6、

8。則其他位置的數(shù)通過簡(jiǎn)單計(jì)算可確定。

02

m

3JmL6J

【例10]★★★將「16這十六個(gè)數(shù)分別填在四階方陣的各個(gè)小格中，使其構(gòu)成一個(gè)四階幻

方。

【解析】先求出此幻方的幻和:（1+2+…+16）+4=136+4=34。將廣16這十六個(gè)數(shù)分別填在

四階方陣的各個(gè)小格內(nèi)，這時(shí)兩主對(duì)角線上四個(gè)數(shù)的和為34,正好等于四階幻方的幻和，

其他每行、每列四個(gè)數(shù)的和都不等于34。（如圖8）

保持兩主對(duì)角線上的數(shù)不動(dòng)，通過改變其他位置的數(shù)字來達(dá)到目的。先將一、四兩列和

二、三兩列中的其他數(shù)字互相交換。（如圖9）,再將一、四兩行與二、三兩行中非主對(duì)角線

上的數(shù)字交換，就得到一個(gè)四階幻方。也可將以上步驟歸納為：保持對(duì)角線上的數(shù)字不變,

【例11】★★請(qǐng)編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為24.

【解析】（1）根據(jù)題意，要求其三階幻方的幻和為24,所以中心數(shù)為24+3=8.

（2）既然8是中心數(shù)，那么與8在一條直線的各個(gè)組的其余兩數(shù)的和為16,想一想

哪兩個(gè)數(shù)相加為16呢？

1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16

（3）按上述條件進(jìn)行估算后填出，然后再進(jìn)行調(diào)整即可得正確的答案.

【小試牛刀】用11,13,15,17,19,21,23,25,27編制成一個(gè)三階幻方.

【解析】給出的九個(gè)數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，1?9也是一個(gè)等差數(shù)列.不難發(fā)現(xiàn)：中間方格里

的數(shù)字應(yīng)填等差數(shù)列的第五個(gè)數(shù)，即應(yīng)填19；填在四個(gè)用上方格中的數(shù)是位于偶數(shù)項(xiàng)的數(shù),

即13,17,21,25,而且對(duì)角兩數(shù)的和相等,即13+25=17+21；余下各數(shù)就不難填寫了（見

下圖）.

與幻方相反的問題是反幻方.將九個(gè)數(shù)填入3義3(三行三列)的九個(gè)方格中，使得任一

行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方.

【例12】★★★在下圖中的A、B、C、D處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下圖成為一個(gè)三階幻方.

【解析】(1)從1行和3列得:A+12+D=D+20+ll,A+12=20+ll,A=19.

(2)觀察對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的總和，實(shí)際上它即為每行、每列的三個(gè)數(shù)的和.對(duì)角線

上的三個(gè)數(shù)的和：A+的+11=19+15+11=45.

(3)B=45-(16+19)=10.

(4)D=45-(20+11)=14.

(5)C=45-(16+11)=18.

???A=19、B=10、018、D=14.

【小試牛刀】在圖中的每個(gè)空格內(nèi)填入一個(gè)數(shù)，使得每行、每列及兩條對(duì)角線上的3個(gè)方

格中的各數(shù)之和都等于19.95.那么，標(biāo)有*的格內(nèi)所填的數(shù)是多少？

【解析】設(shè)中間的數(shù)為X,可以此確定上邊、右上角、右下角、左下角、左邊、右邊所填數(shù)

的代數(shù)式，由于3X=19.95,X=6.65,最后得到,標(biāo)有*的格內(nèi)所填的數(shù)是H.12.

【例13】★★在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5,第二行第一列位置上填6,如下圖.

請(qǐng)你在其他方格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個(gè)方向的三個(gè)數(shù)之和均為27?

【解析】為了敘述方便，我們將其余方格用字母表示，如上右圖所示.根據(jù)題意可知:

A+B+5=27(1)

5+C+E=27(2)

5+D+G=27(3)

6+C+D=27(4)

A+6+E=27(5)

A+C+G=27(6)

B+C+F=27(7)

E+F+G=27(8)

由(2)+(4)+(6)-(3)-(5)得知：3C=27C=9.

將C=9代入(4),D=12代入(2),則E=13.

將D=12代入(3),則G=10.將E=13代入(5),貝］A=8.將A=8代入(1),則B=14.

將B=I4、C=9代入(7),則F=4.

由分析可知，中心方格必須填數(shù)字9,其他方格中也只有一種填法.見右上圖.

【小試牛刀】如圖所示，在3X3方格表內(nèi)己填好了兩個(gè)數(shù)19和95,在其余的空格中填上

適當(dāng)?shù)臄?shù),可以使得每行、每列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等.(1)求x：(2)如果

中間的空格內(nèi)填入100,試在上一小題的基礎(chǔ)上，完成填圖.

X24171105

191001918110019

95959529176

【解析】(1)設(shè)中間的數(shù)為Y,則各行各列的和為3Y,求出各個(gè)方格中每個(gè)數(shù)的代數(shù)式，左

上角為Y-X+95,右上角為2Y-95,右下角為：Y+X-95,最下面一行中間的數(shù)為：2Y-X,根據(jù)每

行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,

解得X=171.

(由此引出三階幻方性質(zhì)：角上的數(shù)等于不相鄰邊上數(shù)的平均數(shù))

(2)根據(jù)(1)所得的每個(gè)方格中的代數(shù)式可得右上圖.

【例14】★★將白然數(shù)1至9分別填在如下圖所示的3X3方格表內(nèi)，使得每行、每列及兩

條對(duì)角線上的數(shù)滿足：兩端的兩個(gè)數(shù)之和減去中間的數(shù)，結(jié)果都等于5.

【解析】中間的數(shù)只能為5,這樣才能保證有4組數(shù)對(duì)分別填寫「方格四周，相對(duì)位置兩數(shù)

和相等并且比中心所填的數(shù)大5.

412

753

896

【例15】★★★將1?16分別填入下圖（1）中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和及中間

正方形的四個(gè)數(shù)之和都為34,圖中已填好八個(gè)數(shù)，請(qǐng)將其余的數(shù)填完整。

【解析】為了敘述方便，將圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示。

9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,

7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,

c+d+e+f=34,

化簡(jiǎn)得：a+c=104+6=10。

e+g=193+16=19,6+13=19

b+d=131+12=13,

f+h=152+13=15,3+12=15。

a,b,c,d,e,f,g,h應(yīng)分別從1,2,3,4,6,12,13,16中選取。因?yàn)閍+c=

10,所以只能選a+c=4+6；b+d=13,只能選b+d=13：e+g=19,只能選e+g=3+

16；f+h=15,只能選f+h=2+13

若d=l,c=4,則e+f=34—1—4=29,有e=16,f=13。

若d=l,c=6,則e+f=34—1—6=27,那么c、f無值可取，使其和為27。

若d=12,c=4,則e+f=34-12-4=18,有e=16,f=2o

若d=12,c=6,Wi]e+f=34-12-6=16,有e=3,f=13。

共有三個(gè)解：

61

.叁

、課后作業(yè)

1.將1?6六個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于10.

00

/J/\

00?0

//\

o—oC①——0—?

【解析】因?yàn)槊窟吷系暮蜑?0,那么三條邊上的數(shù)字之和為10X3=30,而1+2+…+5+6=21,

所以三個(gè)角的三個(gè)數(shù)之和等于30-21=9,在1?6中選3個(gè)和為9的數(shù)，而且任意兩個(gè)數(shù)的

和大于或等于10-6=4,這樣的組合有：9=1+3+5=2+3+4,經(jīng)試驗(yàn)，填法見右上圖.

2.如圖，大三角形被分成了9個(gè)小三角形.試將1,2,3,4,5,6,7,8,9分別填入這9

個(gè)小三角形內(nèi)，每個(gè)小三角形內(nèi)填一個(gè)數(shù)，要求靠近大三角形3條邊的每5個(gè)數(shù)相加的和

相等，問這5個(gè)數(shù)的和最大可能是多少？

【解析】計(jì)算三條邊和的和，這個(gè)和一定是3的倍數(shù)，其中有6個(gè)角上數(shù)被重復(fù)計(jì)算了2

遍,邊上的三個(gè)數(shù)分別計(jì)算了兩遍，因此（1十2十3十4十5十6十7十8十9）X2再減去三個(gè)邊上的數(shù)，

所得應(yīng)該為3的倍數(shù)，當(dāng)三條邊上的三角形中分別填入1、2、3時(shí)，這個(gè)和取得最大值，各

條邊上的和也取得最大值28.

3.在下圖的空格中填人適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使任意三個(gè)相鄰格子中的數(shù)字之和都等于20.

56956956

【解析】任意三個(gè)相鄰格子中的數(shù)之和都為20,說明第一個(gè)格與第三個(gè)格中的和是20-6:14,

第三個(gè)格與第四個(gè)格中數(shù)的和也是14,所以，第一個(gè)格中的數(shù)等于第四個(gè)格中的數(shù)，以此

類推，第四個(gè)格中的數(shù)等于第七個(gè)格中的數(shù)，第7個(gè)格中的數(shù)為5,此時(shí)可以填出表內(nèi)的所

有數(shù)，如右上圖.

4.將1?5填入右圖的。中，使得橫、豎、大圓周上的幾個(gè)數(shù)之和都相等.

【解析】將橫、豎、大圓周上的所有數(shù)相加，所有的數(shù)都被加了兩次，所以每個(gè)和為：

(1+2+3+4+5)4-3=10,

四個(gè)數(shù)的和為10只有一種情況：1+2+3+4,所以中間的數(shù)為5.

5.在下列各圖中，分別從1?8中選擇六個(gè)數(shù)填入口內(nèi)，使得按順時(shí)針方向計(jì)算的各關(guān)系式

成立:

團(tuán)

回0m

□□於*

4?

?--U■

=U+

+由

K回

2口22

XXH

X由

”SK

□□口?0=0

=-二J]-

【解析】能被2和4整除的數(shù)有4與8,左上角的數(shù)為4或8,如果為8,為一種情況，如

果是4是另一種情況，答案見右上圖.

6.7個(gè)圓內(nèi)填入7個(gè)連續(xù)自然數(shù)，使得每?jī)蓚€(gè)相鄰圓內(nèi)所填數(shù)的和都等于連線上的已知數(shù),

那么標(biāo)有支的圓內(nèi)填的數(shù)是多少？

【解析】所有和相加得14+11+8+12+9+6+10=70.每個(gè)數(shù)相加兩次，所以7個(gè)連

續(xù)數(shù)和為70+2=35,所以7個(gè)連續(xù)數(shù)為：2,3,4,5,6,7,8.

從最大和或最小和處開始嘗試，14只有唯一分解14=8+6假設(shè)★為8,嘗試發(fā)現(xiàn)不能完

成，所以★為6,逐一計(jì)算完成如圖：

7.將「12這十二個(gè)數(shù)分別填入圖5中的各個(gè)圈內(nèi)，使每條線段上五個(gè)圈內(nèi)數(shù)的和相等,

并且兩個(gè)六邊形六個(gè)頂點(diǎn)上圈內(nèi)數(shù)的和也相等。

【解析】結(jié)果如圖6所示。

圖6

8.將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖(1)所示的圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓圈上的三個(gè)數(shù)

之和與每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。

【解析】為了敘述方便，將各圓圈內(nèi)先填上字母，如圖(2)所示。

設(shè)A+B4-C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k

(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,

3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,

2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k。

因?yàn)?6+A為5的倍數(shù)，得A=4,進(jìn)而推出k=12。

因?yàn)樵?、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨設(shè)B=l,F=5,D=6,則

C=12-(4+1)=7,G=12-(44-5)=3,E=12—(4+6)=2。

得到一個(gè)基本的解為：

9.將4、5、6、7、8、9六個(gè)數(shù)，填在圖10的空格里，使每條線上的三個(gè)數(shù)的和都是18。

圖10

【解析】由已知條件，每條線上三個(gè)數(shù)的和是18,那么三條線上9個(gè)數(shù)的和為18X3=54,

且六個(gè)數(shù)的和4+5+6+7+8+9=39,三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)是重復(fù)相加的，所以三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)

字和為54-39=15。六個(gè)數(shù)字中和為15的數(shù)為4、5、6。則三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字分別為4、5、6。

其他數(shù)字易求。結(jié)果如圖1所示。

⑥

/\

⑦⑧

/\

⑤----⑨----④

答圖1

10.圖11中有10個(gè)小三角形、4個(gè)大三角形，請(qǐng)把0~9填入圖中的小三角形內(nèi)，每格填一

個(gè)數(shù)，使4個(gè)大三角形內(nèi)的數(shù)字和相等.

【解析】每個(gè)大三角形內(nèi)有4個(gè)小三角形，中心位置的小三角形用到的次數(shù)最多，有4次。

則它一定為0