小學(xué)奧數(shù)之幾何五大模型

一、等積變換模型

⑴等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;

其它常見(jiàn)的面積相等的情況

⑵兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比；

兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比。

如上圖&I?=a:b

⑶夾在一組平行線之間的等積變形，如下圖=S,\BCD；

反之，如果S,sm=S“D，則可知直線平行于CDo

⑷正方形的面積等于對(duì)流線長(zhǎng)度平方的一半；

<5）三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

二、鳥(niǎo)頭定理（共角定理）模型

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。

共角二角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。

如圖，在AABC中，。,七分別是上的點(diǎn)（如圖I）或。在84的延長(zhǎng)線上，E在AC上（如

圖2），則%

三、蝴蝶定理模型

任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:

①百：52=54：身或者S|XS3=S2

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑.通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不

規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例

關(guān)系。

梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）

①55=/：//

22

②S[:S5:S2:S4=a:b:ab:ab；

③梯形S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（〃+/，『。

2

四、相似模型

相似三角形性質(zhì):

金字塔模型沙漏模型

石、ADAEDEAF

①---=---=---=---

ABACBCAG

②S2DE：SAABC二人尸~:AG~。

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它

們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：

⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S—:SziAg=：Sd匕5=BE:EC

S^BGA：S"BGC=S^AGF：S△尸GC=A"：FC

S&4GC：S&8CG=S^ADC：S&/XJB=A。：DB

典型例題精講

例1，一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積是長(zhǎng)方形面積的0.15倍，黃色三角形的面積是

二一，21平方厘米。問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是平方厘米。

例1圖

Q⑹專

如圖，將三角形A3c的A4邊延長(zhǎng)1倍到。，3c邊延長(zhǎng)2倍到E,CA邊延長(zhǎng)3倍到幾如果三角

ABC的面積等于1,那么三角形?！?"勺面積是o

例3圖

例4如圖，在△A8C中，已知例、N分別在邊AC、8c上，8/W與AN相交于O,若△AOM、△A8O和

.'△80N的面積分別是3、2、1,則△MNC的面積是。

例4圖

如圖，四邊形EFG”的面積是66平方米，EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四邊形A8CQ

?的面積。

例5圖

例6如石圖長(zhǎng)方形ABCD中，EF=16,尸=9,求4G的長(zhǎng)。

【鋪墊】圖中四邊形ABC7）是邊長(zhǎng)為12cm的正方形，從G到正方形頂點(diǎn)C、D連成一個(gè)三角形，已知

這個(gè)三角形在A8上截得的E尸長(zhǎng)度為4cm,那么三角形GQC的面積是多少？

6

例7如圖，長(zhǎng)方形A8CQ中，E為AQ中點(diǎn)，AF與BE、BD分別I交于G?H,已知人”=5cm,〃尸=3cm,

求AG。

例8J如右圖，三角形A8C中，BD：DC=4：9,CE：EA=4：3,求4/：尸8。

例8圖

如右圖，/XABC中，G是AC的中點(diǎn)，。、E、F是4c邊上的四等分點(diǎn)，AD與BG交于M,人產(chǎn)與

8G交于N,已知△A8M的面積比四邊形尸CGN的面積大7.2平方厘米，則△A8C的面積是多少平

?方厘米？

例9圖

如圖，在正方形ABCD中，E、尸分別在BC與CO上，且CE=2BE,CF=2