8.6.3第2課時(shí) 平面與平面垂直的性質(zhì)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

8.6.3平面與平面垂直第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)

第八章

8．6空間直線(xiàn)、平面的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀(guān)感知，歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．2.能用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單的空間線(xiàn)面位置關(guān)系問(wèn)題，培養(yǎng)直觀(guān)想象核心素養(yǎng)．問(wèn)題導(dǎo)思問(wèn)題1.教室黑板所在平面與地面垂直．(1)黑板所在平面內(nèi)的直線(xiàn)是否都垂直于地面？提示：不都垂直于地面．(2)黑板上任意畫(huà)一條線(xiàn)與地面垂直嗎？提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直).(3)怎樣畫(huà)才能保證所畫(huà)直線(xiàn)與地面垂直？提示：只要保證所畫(huà)的線(xiàn)與兩面的交線(xiàn)垂直即可．新知構(gòu)建平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線(xiàn)垂直于這兩個(gè)平面的______，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面______符號(hào)語(yǔ)言α⊥β，α∩β＝a，______，______?b⊥α圖形語(yǔ)言交線(xiàn)垂直b?βb⊥a微提醒對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的再理解(1)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線(xiàn)面垂直，故可用來(lái)證明線(xiàn)面垂直．(2)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，再轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直．例1

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：(1)BG⊥平面PAD；證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.證明：由(1)可知BG⊥AD，因?yàn)椤鱌AD為正三角形，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.規(guī)律方法利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面垂直的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)1．兩個(gè)平面垂直．2．直線(xiàn)必須在其中一個(gè)平面內(nèi)．3．直線(xiàn)必須垂直于兩平面的交線(xiàn)．

對(duì)點(diǎn)練1．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BCC1B1為平行四邊形，因?yàn)锽C＝CC1，所以四邊形BCC1B1為菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C?平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因?yàn)锽1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.返回綜合應(yīng)用例2應(yīng)用一空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA?平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；證明：因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.證明：因?yàn)锳B⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.規(guī)律方法1．線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解垂直關(guān)系綜合問(wèn)題的常規(guī)思路．2．垂直關(guān)系證明的核心是線(xiàn)面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線(xiàn)是關(guān)鍵，再利用線(xiàn)線(xiàn)垂直證明．

對(duì)點(diǎn)練2．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；證明：因?yàn)槠矫鍭CDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACDE.又AM?平面ACDE，所以BC⊥AM.由四邊形ACDE是正方形，得AM⊥CE，又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)求直線(xiàn)EC與平面ABE所成角的正切值．解：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF.因?yàn)镋A⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，EA?平面ACDE，所以EA⊥平面ABC，因?yàn)镃F?平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因?yàn)镋A∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即為直線(xiàn)EC與平面ABE所成的角．應(yīng)用二空間位置關(guān)系的探索性問(wèn)題

已知△A′BC為正三角形，CD是A′B邊上的高，E，F(xiàn)分別是A′C，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△A′DC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如圖所示．(1)試判斷翻折后直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB，又AB?平面DEF，EF?平面DEF，所以AB∥平面DEF.例3(2)在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得BP⊥DF？若存在，求出

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：在線(xiàn)段AC上存在一點(diǎn)P，使得BP⊥DF.理由如下：易知△BDF為正三角形，過(guò)B作BK⊥DF交DC于點(diǎn)K，連接KF，過(guò)K作KP∥DA交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，連接BP，如圖．因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面BDC，平面ADC∩平面BDC＝DC，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，因?yàn)镵P∥AD，所以KP⊥平面BCD，所以KP⊥DF.又BK⊥DF，KP∩BK＝K，所以DF⊥平面PKB，所以DF⊥BP.又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，規(guī)律方法解決命題成立條件的探索性問(wèn)題有三種方法1．先猜后證，即先觀(guān)察與嘗試給出條件再證明．2．先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性．3．把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，探索命題成立的條件.

對(duì)點(diǎn)練3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，在棱PD上是否存在點(diǎn)E，使得BP∥平面ACE？若存在，指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：存在，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)．連接AE，連接BD，交AC于點(diǎn)F，連接EF，如圖所示．因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)．在△PBD中，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PD，BD的中點(diǎn)，所以BP∥EF，且EF＝

BP.又因?yàn)锽P?平面ACE，EF?平面ACE，所以BP∥平面ACE.返回課堂小結(jié)知識(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)定理．方法轉(zhuǎn)化法易錯(cuò)誤區(qū)面面垂直性質(zhì)定理中在其中一個(gè)面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，與另一個(gè)平面垂直．隨堂演練1．已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于點(diǎn)E，則A．ME⊥平面ABCDB．ME?平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能√因?yàn)镸E?平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.故選A.2．已知直線(xiàn)l⊥平面α，直線(xiàn)m∥平面β，若α⊥β，則下列結(jié)論正確的是A．l∥β或l?β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m√直線(xiàn)l⊥平面α，α⊥β，則l∥β或l?β，故A正確；直線(xiàn)l⊥平面α，直線(xiàn)m∥平面β，且α⊥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，故B，D錯(cuò)誤；直線(xiàn)l⊥平面α，直線(xiàn)m∥平面β，且α⊥β，則m⊥α或m與α相交(不包含垂直)或m?α或m∥α，故C錯(cuò)誤．故選A.3．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影點(diǎn)H必在A．直線(xiàn)AB上B．直線(xiàn)BC上C．直線(xiàn)AC上D．△ABC內(nèi)部(不包括邊界)√連接AC1(圖略).因?yàn)?/p>