2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第83講、統(tǒng)計（學(xué)生版）

第83講統(tǒng)計

知識梳理

知識點一、抽樣

1、抽樣調(diào)查

（1）總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱為總體．

（2）個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體．

（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體

的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．

2、簡單隨機抽樣

（1）定義

一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（nN），

如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽

樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．

（2）兩種常用的簡單隨機抽樣方法

①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號

簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量

為n的樣本．

②隨機數(shù)法：即利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣．這里僅介

紹隨機數(shù)表法．隨機數(shù)表由數(shù)字0，1，2，…，9組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置出

現(xiàn)的機會都是一樣的．

注意：為了保證所選數(shù)字的隨機性，需在查看隨機數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置．

（3）抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，但

是當(dāng)總體容量很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機數(shù)法抽取樣本仍不方便．

（4）簡單隨機抽樣的特征

①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體

進行分析．

②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作．

③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關(guān)的分析和計算．

④等可能性：簡單單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的

公平．

只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣．

3、分層抽樣

（1）定義

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽

取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．

（2）分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．

②已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例

式進行計算．

樣本容量

③分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝＝

總體容量

各層樣本數(shù)量

”

各層個體數(shù)量

N

注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取nni

iN

（i1,2,,k）個個體（其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數(shù)，

N是總體容量）．

知識點二、用樣本估計總體

1、頻率分布直方圖

（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法

頻率

①×組距＝頻率．

組距

頻數(shù)頻數(shù)

②＝頻率，＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．

樣本容量頻率

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1．

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為x，利用x左（右）

側(cè)矩形面積之和等于0.5，即可求出x．

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面

積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個小長

xx1p1x1p1xnpnxn

方形底邊的中點，pn為每個小長方形的面積．

3、百分位數(shù)

（1）定義

0

一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p0的數(shù)據(jù)小于或等

0

于這個值，且至少有100p0的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．

（2）計算一組n個數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．

0

②計算inp0．

③若i不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項與第i1項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

（3）四分位數(shù)

我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù)．在實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常

用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)

據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．

4、樣本的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平．

②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間

兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平．

xxx

③平均數(shù)：n個樣本數(shù)據(jù)x,x,,x的平均數(shù)為x12n，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的

12nn

n

平均水平，公式變形：．

xinx

i1

5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

（1）定義

①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)

是x1,x2,,xn，x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差

1

s[(xx)2(xx)2(xx)2]．

n12n

1

②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2[(xx)2(xx)2(xx)2]．顯然，

n12n

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實際問題時，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．

（2）數(shù)據(jù)特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)

的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。粗嗫捎呻x散程度的大小推

算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大?。?/p>

（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)

2

如果數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)為x，方差為s，那么

2

①一組新數(shù)據(jù)x1b,x2b,xnb的平均數(shù)為xb，方差是s．

22

②一組新數(shù)據(jù)ax1,ax2,,axn的平均數(shù)為ax，方差是as．

22

③一組新數(shù)據(jù)ax1b,ax2b,,axnb的平均數(shù)為axb，方差是as．

必考題型全歸納

題型一：隨機抽樣、分層抽樣

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某工廠為了對產(chǎn)品質(zhì)量進行嚴(yán)格把關(guān)，從500件產(chǎn)品

中隨機抽出50件進行檢驗，對這500件產(chǎn)品進行編號001，002，…，500，從下列隨機數(shù)

表的第二行第三組第一個數(shù)字開始，每次從左往右選取三個數(shù)字，則抽到第四件產(chǎn)品的編號

為（）

283931258395952472328995

721628843660107343667575

943661184479514096949592

601749514068751632414782

A．447B．366C．140D．118

例2．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某班共有學(xué)生46人，該班語文老師為了了解學(xué)

生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進行調(diào)查．將

46名學(xué)生按01，02，…，46進行編號．現(xiàn)提供隨機數(shù)表的第7行至第9行：

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，

則得到的第8個樣本編號是（）

A．07B．12C．39D．44

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要完成下列2項抽樣調(diào)查：

①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查；

②東方中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了

解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．

較為合理的抽樣方法是（）

A．①抽簽法，②分層隨機抽樣B．①隨機數(shù)法，②分層隨機抽樣

C．①隨機數(shù)法，②抽簽法D．①抽簽法，②隨機數(shù)法

變式1．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在二戰(zhàn)期間，技術(shù)先

進的德國坦克使德軍占據(jù)了戰(zhàn)場主動權(quán)，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對盟軍具有非常重要的戰(zhàn)

略意義，盟軍請統(tǒng)計學(xué)家參與情報的收集和分析工作．在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)每輛坦克都

有獨一無二的發(fā)動機序列號，前6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序開始的連續(xù)編

號．統(tǒng)計學(xué)家將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法推斷德軍每月生產(chǎn)

的坦克數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號從小到大為

L

x1，x2，，xn，繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機獲取的，繳獲坦克的編號x1，x2，

L,

，xn，相當(dāng)于從1N中隨機抽取的n個整數(shù)，這n個數(shù)將區(qū)間0,N分成n1個小區(qū)

xN

間（如圖）．可以用前n個區(qū)間的平均長度n估計所有n1個區(qū)間的平均長度，進而

nn1

得到N的估計．如果繳獲的坦克編號為：35，67，90，127，185，245，287．則可以估計

德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為（）

A．288B．308C．328D．348

變式2．（2024·江蘇·高三江蘇省梁豐高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了慶祝中國共產(chǎn)黨第

二十次全國代表大會，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從高一1002人，高二1002

人，高三1503人中抽取126人觀看“中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會”直播，那么高三年

級被抽取的人數(shù)為（）

A．36B．42C．50D．54

變式3．（2024·北京·高三強基計劃）某校共2017名學(xué)生，其中每名學(xué)生至少要選A，B

兩門課中的一門，也有些學(xué)生選了兩門課．已知選A的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在70%到

75%之間，選B的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在40%到45%之間．則下列結(jié)論中正確的是（）

A．同時選A，B的可能有200人B．同時選A，B的可能有300人

C．同時選A，B的可能有400人D．同時選A，B的可能有500人

變式4．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青

年人，從中按比例用分層隨機抽樣的方法抽取n人，若抽取的老年人與青年人共21名，則n

的值為（）

A．15B．30C．32D．36

【解題方法總結(jié)】

不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．

題型二：統(tǒng)計圖表

例4．（多選題）（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人

消費支出總額的比重，它在一定程度上可以用來反映人民生活水平．恩格爾系數(shù)的一般規(guī)律：

收入越低的家庭，恩格爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越?。畤H上一般認(rèn)

為，當(dāng)恩格爾系數(shù)大于0.6時，居民生活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生活水平處

于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達到小康；在0.3-0.4之間，居民生活水平處于

富裕狀態(tài)；當(dāng)小于0.3時，居民生活達到富有．下面是某地區(qū)2022年兩個統(tǒng)計圖，它們分

別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計圖，請你依據(jù)統(tǒng)計圖進

行分析判斷，下列結(jié)論錯誤的是（）

A．農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達到富有

B．近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年

C．城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年

D．2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)

例5．（多選題）（2024·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃?022年的夏季，全國多地

迎來罕見極端高溫天氣．某課外小組通過當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最

高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（）

A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25℃

B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差

C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃

D．七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差

例6．（多選題）（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）航海模型項目在我國已開展四十

余年，深受青少年的喜愛.該項目整合國防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識，主要

通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識，探究海洋奧秘，助

力培養(yǎng)未來海洋強國的建設(shè)者.某學(xué)樣為了解學(xué)生對航海模型項目的喜愛程度，用比例分配

的分層隨機抽樣法從某校高一、高二、高三年級所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查.已知

該學(xué)校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級學(xué)生有

32人，則下列說法正確的是（）

A．該校高一學(xué)生人數(shù)是2000

B．樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28

C．樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12

D．該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000

變式5．（多選題）（2024·湖南株洲·高三?？茧A段練習(xí)）某公司統(tǒng)計了2024年1月至6

月的月銷售額（單位：萬元），并與2022年比較，得到同比增長率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的

統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（）

注：同比增長率=（今年月銷售額一去年同期月銷售額）÷去年同期月銷售額100%．

A．2024年1月至6月的月銷售額的極差為8

B．2024年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為8

C．2024年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5

D．2022年5月的月銷售額為10萬元

變式6．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）某公司經(jīng)營五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對市場變化，

在五年前進行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤不斷增長，今年總利潤比五

年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是

（）

A．調(diào)整后傳媒的利潤增量小于雜志

B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤有所下降

C．調(diào)整后試卷的利潤增加不到一倍

D．調(diào)整后圖書的利潤增長了一倍以上

變式7．（多選題）（2024·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）某調(diào)查機構(gòu)對我國若干大型

科技公司進行調(diào)查統(tǒng)計，得到了從事芯片、軟件兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90

后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達圖，則下列說法中一定正確的是（）

A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過50%

B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的“90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的25%

C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多

D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多

變式8．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地環(huán)保部門公布了該地A,B兩個景區(qū)

2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的

散點圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）

A．景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254

B．景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280

C．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

大

D．這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的平均數(shù)

大

【解題方法總結(jié)】

統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用

扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；

折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢；

條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率．

題型三：頻率分布直方圖

例7．（2024·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）某區(qū)為了解全區(qū)12000名高二學(xué)生的

體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機抽取了1000名學(xué)生進行體能測試，并將這1000名的

體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，這1000名學(xué)生平均成

績的估計值為．

例8．（2024·云南·統(tǒng)考二模）某大學(xué)有男生2000名．為了解該校男生的身體體重情況，

隨機抽查了該校100名男生的體重，并將這100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：

54,58、58,62、62,66、66,70、70,74、74,78，繪制成如下的頻率分布直方圖：

該校體重（單位：kg）在區(qū)間70,78上的男生大約有人．

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2022年12月4日是第九個國家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)

宣傳貫徹黨的二十大精神，推動全面貫徹實施憲法”，某校由學(xué)生會同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問

卷，收獲了有效答卷2000份，先對其得分情況進行了統(tǒng)計，按照50,60、60,70、…、

90,100分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中x.

變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）從某小學(xué)所有學(xué)生中隨

機抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中

樣本數(shù)據(jù)分組[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，若要從身高在[120,130)，

[130,140)，[140,150)三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項活動，則從身

高在[130,140)內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為．

變式10．（2024·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自

習(xí)時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中

每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：．

變式11．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某蔬菜批發(fā)市場銷

售某種蔬菜.在一個銷售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，

每噸虧損100元.統(tǒng)計該蔬菜在過去的100個銷售周期內(nèi)的市場需求量所得頻率分布直方圖

如下：

(1)求圖中a的值并求100個銷售周期的平均市場需求量；

(2)若經(jīng)銷商在下一個銷售周期購入190噸該蔬菜，設(shè)y為銷售周期所得利潤（單位：元），

x為該銷售周期的市場需求量（單位：噸），求x，y的函數(shù)關(guān)系式，并估計銷售的利潤不少

于86000元的概率.

【解題方法總結(jié)】

（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)；

（2）利用頻率分布直方圖估計總體．

頻率

（3）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率．

組距

題型四：百分位數(shù)

例10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績（單位：

分），分?jǐn)?shù)從低到高依次：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,則這15人成績的第

80百分位數(shù)是．

例11．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校為了了解高三年級學(xué)

生的身體素質(zhì)狀況，在開學(xué)初舉行了一場身體素質(zhì)體能測試，以便對體能不達標(biāo)的學(xué)生進行

有針對性的訓(xùn)練，促進他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學(xué)生的測試成

績，并把測試成績分成40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六組，繪制成頻率

分布直方圖（如圖所示）.其中分?jǐn)?shù)在90,100這一組中的縱坐標(biāo)為a，則該次體能測試成績

的80%分位數(shù)約為分.

例12．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）國慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”為

主題的青少年學(xué)生演講比賽，其中10人比賽的成績從低到高依次為：85，86，88，88，89，

90，92，93，94，98（單位：分），則這10人成績的第75百分位數(shù)是.

變式12．（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谀┮阎唤M數(shù)據(jù)：24，

30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為.

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了養(yǎng)成良好的運動習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)

每天的運動時長（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80

百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則x（）

A．58或64B．59或64C．58D．59

【解題方法總結(jié)】

計算一組n個數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．

0

②計算inp0．

③若i不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項與第i1項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

題型五：樣本的數(shù)字特征

例13．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：x1,x2,,x8，

其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：x1,x2,,x8,2，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定

有相同的（）

A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．方差D．極差

例14．（多選題）（2024·吉林·高一榆樹市實驗高級中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)1：x1，

LL

x2，，xn，數(shù)據(jù)2：2x11，2x21，，2xn1，則下列統(tǒng)計量中，數(shù)據(jù)2不是數(shù)據(jù)1

的兩倍的有（）

A．平均數(shù)B．極差C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差

例15．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）“說文明話、辦文明事、做文明人，

樹立城市新風(fēng)尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強實驗中學(xué)高一（2）

班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時間在街道對市民進行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制

成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說法不．正．確．的為（）

A．甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù)B．乙的極差小于甲的極差

C．甲的方差大于乙的方差D．乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)

變式14．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）某學(xué)校對班級管理實行量化打分，每周一總

結(jié)，若一個班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級.下列能斷定該班為優(yōu)秀班級

的是（）

A．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，中位數(shù)為81

B．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差大于0

C．某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81，眾數(shù)為83

D．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差為1

變式15．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù)：2，3，4，6，m，則下列說法

不正確的是（）

A．若m＝7，則平均數(shù)為4.4B．若m＝4，則眾數(shù)為4

C．若m＝6，則中位數(shù)為4D．若m＝10，則方差為40

變式16．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，

連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)

都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：

①平均數(shù)x4；

②平均數(shù)x4且極差小于或等于3；

③平均數(shù)x4且標(biāo)準(zhǔn)差s4；

④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．

則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（）

A．1組B．2組C．3組D．4組

變式17．（2024·天津河?xùn)|·高一統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，

分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計結(jié)果如下：

甲同學(xué)：中位數(shù)為3，方差為2.8；乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4，方差為1.04；

丙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3；丁同學(xué)：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.

根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是同學(xué).

變式18．（2024·云南大理·高一?？茧A段練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均

氣溫低于10℃即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記

錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7，眾數(shù)為6；②乙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，極差為3；

③丙地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，中位數(shù)為4；④丁地：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差小于3.

則肯定進入冬季的地區(qū)是（）

A．甲地B．乙地

C．丙地D．丁地

變式19．（2024·河北滄州·高二肅寧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）氣象意義上的春季進入夏

季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于220C.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均氣溫

的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；

②乙地：5個數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27，總體均值為24；

③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8

則肯定進入夏季的地區(qū)有

A．①②③B．①③C．②③D．①

變式20．（2024·吉林長春·高一長春市第五中學(xué)校考期末）下列命題中是真命題的是（）

A．一組數(shù)據(jù)2，1，4，3，5，3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；

B．有A、B、C三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個體數(shù)為9，則

樣本容量為30；

C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的

是甲；

D．一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位數(shù)為4．

【解題方法總結(jié)】

（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大?。?/p>

（）方差的簡化計算公式：212222或?qū)懗?/p>

2s[x1x2xnnx]

n

212222，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．

sx1x2xnx

n

題型六：總體集中趨勢的估計

例16．（2024·湖北孝感·高二孝昌縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文明城市是反映城市

整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城

市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，

從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40

分的整數(shù)）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；

(3)已知落在50,60的平均成績是61，方差是7，落在60,70的平均成績?yōu)?0，方差是4，

求兩組成績的總平均數(shù)z和總方差s2.

例17．（2024·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）2022年入冬以來，為進一步做好疫情防控工作，

避免疫情的再度爆發(fā)，A地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將A地區(qū)

20000個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在6以上（含

6）的有14000人．

口罩使用數(shù)量2,44,66,88,1010,12

頻率0.2m0.3n0.1

(1)求m,n的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過程）

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計A地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的75%分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍五

入，精確到0.1）

(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計A地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差．（每組數(shù)據(jù)用

每組中點值代替）

例18．（2024·河北邯鄲·高二?？奸_學(xué)考試）某工廠在加大生產(chǎn)量的同時，狠抓質(zhì)量管理，

不定時抽查產(chǎn)品質(zhì)量．該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)

值分成以下六組：40,50,50,60,60,70,,90,100．得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出直方圖中m的值；

(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和60%分位

數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01）．

變式21．（2024·福建·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）小晟統(tǒng)計了他6月份的手機通話明細(xì)清單，

發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時間（單位：分鐘）按照0,4，4,8，

8,12，12,16，16,20，20,24分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值；

(2)求通話時間在區(qū)間4,12內(nèi)的通話次數(shù)；

(3)試估計小晟這100次通話的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

變式22．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）為了迎接新高考，某校舉

行物理和化學(xué)等選科考試，其中，600名學(xué)生化學(xué)成績（滿分100分）的頻率分布直方圖如

圖所示，其中成績分組區(qū)間是：第一組45,55，第二組55,65，第三組65,75，第四組

75,85，第五組85,95.已知圖中第三組頻率為0.45，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；

(2)估算高分（大于等于80分）人數(shù)；

(3)估計這600名學(xué)生化學(xué)成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和

中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）

變式23．（2024·湖北武漢·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校為了了解老師對“民法典”知識的認(rèn)

知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分（95分及以上為

認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：

[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布

直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人年齡的第75百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識的宣傳使者.

①若有甲（年齡23），乙（年齡43）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組被

抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲?乙兩人恰有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均

數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計這m人中35~45歲所有人的年齡的方差.

【解題方法總結(jié)】

頻率分布直方圖的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．

（2）中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．

（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和．

題型七：總體離散程度的估計

例19．（2024·高一課時練習(xí)）某學(xué)校高一100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績均在40分到100

分之間，學(xué)生成績的頻率分布直方圖如下圖：

(1)估計這100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；(精確到0.1)

(2)某老師抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：x1,x2,x3,,x10，已知這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x90，標(biāo)準(zhǔn)

差s6，若剔除其中的100和80兩個分?jǐn)?shù)，求剩余8個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．

n

x2nx2

(參考公式：i)

si1

n

例20．（2024·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？级＃?022年4月16日，神舟十三號載人飛船返

回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著

中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成．并將進入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的

興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的

有m人，這m人按年齡分成5組，其中第一組：20,25，第二組：25,30，第三組：30,35，

第四組：35,40，第五組：40,45，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的第80百分位數(shù)（中位數(shù)第50百分位數(shù)）；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．

①若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被

抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

5

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均

2

數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這m人中3545歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差．

例21．（2024·北京·高三?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，對高一、高

二兩個年級的學(xué)生進行體質(zhì)健康測試．現(xiàn)從兩個年級學(xué)生中各隨機抽取20人，將他們的測

試數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下：

高一高二

6439058

962381458

9852172339

9776464578

8305026

402

《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級標(biāo)準(zhǔn)如下表．規(guī)定：測試數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．

等級優(yōu)秀良好及格不及格

測試數(shù)據(jù)[90，100][80，89][60，79][0，59]

(1)從該校高二年級學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率；

(2)從兩個年級等級為優(yōu)秀的樣本中各隨機選取一名學(xué)生，求選取的兩名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)平

均數(shù)大于95的概率；

2

(3)設(shè)該校高一學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為x1,s1，高二學(xué)生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方

差分別為2，試比較與、2與2的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）

x2,s2x1x2s1s2

變式24．（2024·廣西·高一期末）某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競賽，根據(jù)男女學(xué)

生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分

成7組：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；

(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)在40,50的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；

(3)已知樣本中男生與女生的比例是3:1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均

值為80，方差為12，請計算出總體的方差．

變式25．（2024·湖北武漢·高一期末）某中學(xué)為了貫策教育部對學(xué)生的五項管理中的體質(zhì)

管理，對高一年級學(xué)生身高進行調(diào)查，在調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如

果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男34人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和15，抽取了女

生16人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和35．

(1)由這些數(shù)據(jù)計算總樣本的平均數(shù)；

(2)由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計．

參考數(shù)據(jù)：153.2234858.16,356.82161299.84

變式26．（2024·湖北武漢·高一期末）為了監(jiān)控某種裝件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗

員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．其中x元近似為樣

本平均數(shù)，s近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本平均數(shù)x和標(biāo)準(zhǔn)差s能夠反映數(shù)據(jù)取值的信息．根

據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就認(rèn)

為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．下

面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.910.110.210.29.99.810.110

10.210.39.110.19.99.910.110.2

經(jīng)計算得

161616

1121222

xxi10,sxixxi16x0.280,160.28

16i116i116i1

2

1.25,1510.061518.05,0.0260.16，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2,,16．

(1)利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？

(2)剔除(x3s,x3s)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計樣本平均數(shù)x和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s（精確到

0.01）．

變式27．（2024·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，

對高二年級的300名學(xué)生進行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)xii1,2,,300

全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：45,55,55,65,,85,95，整理

得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.

(1)求m的值，并估計此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值x；

(2)學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進行培訓(xùn)，試估計這30名學(xué)生的最低分

數(shù)；

2

(3)試估計這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)xii1,2,,300的方差s，并判斷此次得分為52分和94分

的兩名同學(xué)的成績是否進入到了[x2s,x2s]范圍內(nèi)？

n

212

（參考公式：sfixix，其中fi為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：12911.4）

ni1

變式28．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）4月23日是世界讀書日，樹人

中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學(xué)生中

抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男

生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間(單位：小

時)的頻率分布直方圖．(以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值)

男生一周課外閱讀時間頻數(shù)分布表

小時頻數(shù)

0,29

2,425

4,63

6,83

女生一周課外閱讀時間頻率分布直方圖

(1)從一周課外閱讀時間為4,6的學(xué)生中按比例分配抽取6人，再從這6名學(xué)生中選出2名

同學(xué)調(diào)查他們閱讀書目．求這兩人都是女生的概率；

(2)分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)x,y；

(3)估計總樣本的平均數(shù)z和方差s2．

22

參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為s男2.4和s女3，

4024060602

2122

sxix(xz)(yz)yiy，xi1i40和yi1i60分

100i1i1i1i1

別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中iZ．

【解題方法總結(jié)】

總體離散程度的估計

標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，

數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．

題型八：分層方差問題

例22．（2024