2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第62講、隱圓問(wèn)題（學(xué)生版）

第62講隱圓問(wèn)題

必考題型全歸納

題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)

例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┢矫鎯?nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿

足|DA||DB||DC|2，且DADBDBDCDCDA2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|AP|1，PMMC，

則|BM|2的最大值為（）

3763372334349

A．B．C．D．

4444

例2．（2024·全國(guó)·高一階段練習(xí)）已知a,b是單位向量，ab0，若向量c滿足|cab|1，

則|cb|的取值范圍是（）

A．[21,21]B．[1,21]C．[0,2]D．[51,51]

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量a與向量b0,2垂直，若向量c滿足

r

abc1，則c的取值范圍為（）

313131

A．1,51B．,C．51,51D．,3

222

變式1．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果圓

(xa)2(ya)28上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．(3,3)B．(1,1)

C．(3,1)D．(3,1)(1,3)

變式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．22，00，22B．22，22

C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）

變式3．（2024·新疆·高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，

D滿足|DA||DB||DC|2，DABCDBACDCAB0，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|AP|1，

PMMC，則|BM|2的最大值為．

變式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)D與A、B、

C滿足|DA||DB||DC|，DADBDBDCDCDA8，動(dòng)點(diǎn)P、M滿足AP2，

PMMC，則|BM|2的最大值為．

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值

例4．（2024·四川廣元·高二四川省劍閣中學(xué)校校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

P(2，2),Q(4,0)為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在直線x=1上，動(dòng)點(diǎn)N滿足NO2NQ216，則

|PMPN|的最小值為．

例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A,B,C,D四點(diǎn)共面，BC2，AB2AC220，

CD3CA，則|BD|的最大值為．

22

例6．（2024·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知圓C:x1y21，點(diǎn)A1，0，B1，0.

22

設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令dPAPB，則d的最小值為．

變式5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）正方形ABCD與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為

222

1，且PAPBPC，則PD的取值范圍為.

變式6．（2024·上海閔行·高二校考期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在△ABC

uuruuruuur

所在的平面內(nèi)，且|PA|2|PB|2|PC|2a（a為常數(shù)），滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是．

變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在ABC所

在的平面內(nèi)，且PA|2PB|2|PC|2a（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是

A．當(dāng)0a1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

B．當(dāng)a1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)

C．當(dāng)a1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)

D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°

例7．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓

C:(x1)2(y3)210和點(diǎn)M5,t，若圓C上存在兩點(diǎn)A,B使得MAMB，則實(shí)數(shù)t的取

值范圍是．

例8．（2024·江蘇南京·金陵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點(diǎn)M(5，

t)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得MA⊥MB，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

例9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線mxy0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線

xmy4m30交于點(diǎn)P，則PAPB的取值范圍是（）

A．5,25B．25,5

C．5,52D．5,10

變式8．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線

xmy0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)Px,y，則PAPB的最大值是（）

A．5B．10C．5D．10

變式9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線

mxym30交于點(diǎn)P(x,y)，則|PA|2|PB|2的值為（）

10

A．5B．10C．D．17

2

變式10．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)mR，動(dòng)直線l1：xmy0過(guò)定點(diǎn)A，動(dòng)

直線l2：mxym30過(guò)定點(diǎn)B，且l1，l2交于點(diǎn)Px,y，則PAPB的最大值是（）

A．10B．25C．5D．10

1

變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量a，b，c滿足|a||b|1，ab，

2

(ac)(bc)0，則|c|的最小值是（）

3131

A．B．C．3D．1

22

變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1m,0)，B(1m,0)，若圓C：

x2y28x8y310上存在一點(diǎn)P，使得PAPB，則實(shí)數(shù)m的最大值是（）

A．4B．5C．6D．7

變式13．（2024·江西宜春·高一江西省萬(wàn)載中學(xué)?？计谀┮阎猘，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂

r

直的單位向量，若向量c滿足(ac)(2bc)0，則c的最大值是（）

5

A．2B．2C．5D．

2

變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c

r

滿足(ac)(bc)0，則c的最大值是（）

A．1B．2

2

C．2D．

2

變式15．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知a和b是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且a,b，

3

r

若向量c滿足acbc0，則c的最大值是（）

231

A．1B．C．2D．3

22

變式16．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎蛄縜，b是平面

內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足acb2c0，則c的最大值是（）

535

A．2B．C．D．

225

題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值

1

例10．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)向量a,b,c滿足a=b1，ab，ac,bc60，

2

則|c|的最大值等于.

例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為8正方形ABCD中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，N是

AD上一點(diǎn)，且DN3NA，若對(duì)于常數(shù)m，在正方形ABCD的邊上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)P，

uuuuruuur

使得PMPNm，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，連接對(duì)角線BD，已知CD9，

4

BD16，BDC=90，sinA，則對(duì)角線AC的最大值為（）

5

A．27B．16C．10D．25

變式17．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量a,b,c滿足ab2，ab2，ac,bc60，

v

則c的最大值等于

A．4B．2C．2D．1

變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi),設(shè)A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿

足:PAPBk2(k為實(shí)常數(shù))，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）

A．圓B．橢圓C．雙曲線D．不能確定

變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB2，CD4，

BCAD5,E和F分別為AD與BC的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)，在梯形ABCD的四條邊上恰

好有8個(gè)不同的點(diǎn)P，使得PEPF成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

59511

A．(,)B．(,)

42044

11191

C．(,)D．(,)

44204

變式20．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，

BC的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)，在正方形ABCD的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P，使

得PEPF成立，那么的取值范圍是（）

A．0,2B．0,2C．0,4D．0,4

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值

例13．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘

著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻

而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的

MQ

研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比(0,1)，那么點(diǎn)

MP

M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2y21，其

1

中，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為,0,3，若點(diǎn)B1,1，則3MPMB的

3

最小值為（）

A．10B．11C．15D．17

例14．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿

基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓

是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為(0,1)，

那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓O:x2y21、

11

點(diǎn)A,0和點(diǎn)B0,，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則2|MA||MB|的最大值為（）

22

51732

A．B．C．D．

2222

例15．（2024·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、

阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成

果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已

知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為(0,1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯

93

圓．如動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,0，B5,0的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為x2y29．下

55

面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓O:x2y24上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A1,0，

B1,1，則2MAMB的最小值為（）

A．210B．21C．26D．29

變式21．（2024·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)平面上兩點(diǎn)A、B，滿足

PA

1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名

PB

為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A，B是此圓的一對(duì)阿波羅點(diǎn)．不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此

圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這一對(duì)阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，

另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)只與阿波羅點(diǎn)相對(duì)于圓的位置有關(guān)．已知A(1,0)，B4,0，D0,3，

PA1

若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則2PDPB的最小值是．

PB2

變式22．（2024·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲

線論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)