2025年高考數(shù)學必刷題分類：第33講、解三角形圖形問題 （教師版）

第33講解三角形圖形問題

知識梳理

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉化為更為

簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例

關系的不錯選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量

的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；

方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性

質(zhì)使得問題更加直觀化.

必考題型全歸納

題型一：妙用兩次正弦定理

例1．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四邊形ABCD中BAC90，ABC30，ADCD，

設ACD.

（1）若ABC面積是ACD面積的4倍，求sin2；

（2）若ADB，求tan.

6

【解析】（1）設ACa，則AB3a，ADasin，CDacos，由題意SABC4SACD，

113

則a3a4acosasin，所以sin2.

222

BD3a

BDAB

（2）由正弦定理，ABD中，，即①

sinBADsinADBsinsin

6

BD2a

BDBC

BCD中，，即②

sinBCDsinCDBsinsin

33

①÷②得：2sin3sin，化簡得

3

3

3cos2sin，所以tan.

2

例2．（2024·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形

ABCD中BAC=90，

ABC

=60，

ADCD，設

ACD=．

（1）若ABC面積是ACD面積的4倍，求

sin2;

1

（2）若

tanADB=，求

tan.

2

【解析】（1）設ABa，

則AC3a，AD3asin，CD3acos，

由題意SABC4SACD，

11

則a3a43acos3asin，

22

3

所以sin2.

6

BDAB

（2）由正弦定理，在△ABD中，，

sinBADsinADB

BDa

即①

sinsinADB

BDBC

在△BCD中，，

sinBCDsinCDB

BD2a

即②

sinsin（ADB)

62

sin

2tanADB1

②÷①得：，

sin

6

sinsin，化簡得cos(23)sin，

6

所以tan2+3.

例3．（2024·全國·高三專題練習）在①AB2AD，②sinACB2sinACD，③

SABC2SACD這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形ABCD中，ABCADCπ，BCCD2，且______.

(1)證明：tanABC3tanBAC；

(2)若AC3，求四邊形ABCD的面積.

【解析】（1）方案一：選條件①.

ACBCAB

在ABC中，由正弦定理得，，

sinABCsinBACsinACB

ACCDAD

在ACD中，由正弦定理得，，

sinADCsinDACsinACD

因為ABCADCπ，所以sinABCsinADC，

因為BCCD，所以sinBACsinDAC，

因為BACDACπ，所以BACDAC，

因為AB2AD，所以sinACB2sinACD.

因為sinACBsinABCBAC，

sinACDsinCADADCsinBACπABCsinABCBAC，

所以sinABCBAC2sinABCBAC，

即sinABCcosBACcosABCsinBAC2sinABCcosBACcosABCsinBAC，

所以sinABCcosBAC3cosABCsinBAC，

所以tanABC3tanBAC.

方案二：選條件②.

ACBC

在ABC中，由正弦定理得，，

sinABCsinBAC

ACCD

在ACD中，由正弦定理得，，

sinADCsinDAC

因為ABCADCπ，所以sinABCsinADC，

因為BCCD，所以sinBACsinDAC.

因為BACDACπ，所以BACDAC.

因為sinACBsinABCBAC，

sinACDsinCADADCsinBACπABCsinABCBAC，

sinACB2sinACD，

所以sinABCBAC2sinABCBAC，

即sinABCcosBACcosABCsinBAC2sinABCcosBACcosABCsinBAC，

所以sinABCcosBAC3cosABCsinBAC，

所以tanABC3tanBAC.

方案三：選條件③.

11

因為SBCACsinACB，SCDACsinACD，且BCCD，S2S，

△ABC2△ACD2ABCACD

所以sinACB2sinACD

ACBC

在ABC中，由正弦定理得，，

sinABCsinBAC

ACCD

在ACD中，由正弦定理得，，

sinADCsinDAC

因為ABCADCπ，所以sinABCsinADC，

因為BCCD，所以sinBACsinDAC，

因為BACDACπ，所以BACDAC.

因為sinACBsinABCBAC，

sinACDsinCADADCsinBACπABCsinABCBAC，

所以sinABCBAC2sinABCBAC，

即sinABCcosBACcosABCsinBAC2sinABCcosBACcosABCsinBAC，

所以sinABCcosBAC3cosABCsinBAC，

所以tanABC3tanBAC.

（2）選擇①②③，答案均相同，

由（1）可設ADx，則AB2x，

在ABC中，由余弦定理得，

AB2BC2AC24x25

cosABC，

2ABBC8x

在ACD中，由余弦定理得，

AD2CD2AC2x25

cosADC，

2ADCD4x

因為cosABCcosπADCcosADC，

4x25x251010

所以，解得x或x（舍去），

8x4x22

10

所以cosABC，

8

2

所以1036，

sinABCsinADC1

88

3915

所以四邊形ABCD的面積S3SADCDsinADC.

△ACD28

變式1．（2024·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學?？计谥校┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，

π3π

BCD,AB1,ABC.

24

(1)當BC2,CD7時，求ACD的面積.

π

(2)當ADC,AD2時，求tanACB.

6

3π

【解析】（1）當BC2時，在ABC中，AB1,ABC，

4

由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC，

3π

即AC2322cos5，解得AC5，

4

AC2BC2AB26310

所以cosACB，

2ACBC21010

π310

因為BCD，則sinACDcosACB，

210

又CD7，

113103

所以ACD的面積是SACCDsinACD5714.

ACD22104

ABAC

（2）在ABC中，由正弦定理得，

sinACBsinABC

3π

ABsin

即2，

AC4

sinACB2cosACD

π

ADACADsin

在ACD中，由正弦定理得，即61，

sinACDsinADCAC

sinACDsinACD

21

則，整理得sinACD2cosACD，

2cosACDsinACD

π

因為ACD，

2

所以tanACD2，

π

因為BCD，所以

2

π

sinACD

π2cosACD12

tanACBtanACD.

2πsinACDtanACD2

cosACD

2

變式2．（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，

2

BCD,AB1,ABC．

23

(1)若BC2,CD7，求ACD的面積；

(2)若ADC,AD2，求cosACD．

6

2

【解析】（1）因為AB1,ABC,BC2，

3

2

由余弦定理得AC2AB2BC22ABACcos7，即AC7，

3

AC2BC2AB257

由余弦定理得cosACB，

2ACBC14

57

所以sinACDsinACBcosACB，

214

157

所以ACD的面積SACCDsinACD

24

2AC

ADAC

（2）在△ADC中，由正弦定理得，即sinACD1①，

sinACDsinADC

2

11AC

ABAC

在ABC中，由正弦定理得，即cosACD3②，

sinACBsinABCsinACD

22

sinACD23

①②聯(lián)立可得tanACD，

cosACD3

21

因為ACD0,，所以cosACD

27

變式3．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預測）在平面四邊形ABCD中，ABDBCD90，

DAB45.

（1）若AB2，DBC30，求AC的長；

3

（2）若tanBAC，求tanDBC的值.

4

【解析】（1）在Rt△ABD中，因為DAB45，所以DB2，

在RtBCD中，BC2cos303，

在ABC中，由余弦定理得

AC2AB2BC22ABBCcosABC43223cos120723，

所以AC723.

（2）設DBC，在RtBCD中，BCBDcos2cos，

sinBAC34

因為tanBAC，所以cosBACsinBAC，

cosBAC43

25

于是cos2BACsin2BACsin2BAC1，

9

因為0BAC90，

34

所以sinBAC，cosBAC，

55

ABCB

在ABC中，由正弦定理得，

sinACBsinBAC

22cos

所以sin90CAB3，

5

3

于是coscosCAB，

5

即4cos23sincos3，

4cos23sincos43tan

所以3，

cos2sin21tan2

213

因為090，所以tanDBCtan.

6

sinA2a2

變式4．（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②

cosBcosCa2c2b2

2ba

sinBcosB，③ABC的面積

c

2

SbbsinCctanCcosB這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.

4

在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知______.

(1)求角C；

5

(2)若點D在邊AB上，且BD2AD，cosB，求tanBCD.

13

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

sinA2a2a2c2b2

【解析】（1）若選擇①：因為，結合余弦定理cosB，

cosBcosCa2c2b22ac

sinA2a2sinAa

得，即，

cosBcosC2accosBcosCc

asinAsinAsinA

由正弦定理可得，所以，

csinCcosCsinC

11

又A0,π，所以sinA0，所以，即tanC1，

cosCsinC

π

又C0,π，所以C；

4

2ba

若選擇②：因為sinBcosB，

c

2sinBsinA

結合正弦定理可得sinBcosB，

sinC

即sinBsinCcosBsinC2sinBsinA2sinBsinπBC，

2sinBsinBC2sinBsinBcosCcosBsinC，

即sinBsinC2sinBsinBcosC，

又B0,π，sinB0，故sinC2cosC，即sinCcosC2，

ππ

所以2sinC2，即sinC1，

44

ππ5ππππ

因為C0,π，C,，所以C，得C；

444424

2sinCcosB

若選擇③：條件即sinCsinAsinBsinCsinC，

2cosC

又C0,π，sinC0，

22

所以sinAcosCsinBcosCsinCcosBsinBC，

22

22

即sinπAsinAcosC，所以sinAsinAcosC，

22

2

又因為A0,π，則sinA0，所以cosC，

2

π

又因為C0,π，所以C.

4

π

（2）設BCD，則ACD.

4

2

52512

因為cosB，B0,π，故sinB1cosB1，

131313

32217

所以sinAsinπBCsinπBcosBsinB2，

42226

17

2

CDADCD26

在ACD中，由正弦定理可得，即，

sinAsinACDADπ

sin

4

12

在△中，同理可得，CD，

BCD13

BDsin

1712

21712

26132

因為BD2AD，所以，即2613，

πsin

2sin2cos2sinsin

4

2424

整理得tan，即tanBCD.

4141

變式5．（2024·廣東深圳·深圳市高級中學校考模擬預測）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊

分別為a、b、c，已知bcosAacosBbc.

(1)求A；

3

(2)若點D在BC邊上，且CD2BD，cosB，求tanBAD.

3

【解析】（1）因為bcosAacosBbc，

b2c2a2a2c2b2

由余弦定理可得babc，

2bc2ac

b2c2a21

化簡可得b2c2a2bc，由余弦定理可得cosA，

2bc2

π

因為0Aπ，所以，A.

3

2

（）因為3，則為銳角，所以，236，

2cosBBsinB1cosB1

333

2π

因為ABCπ，所以，CB，

3

2π2π2π331616

所以，sinCsinBsincosBcossinB，

333232326

2π

設BAD，則CAD，

3

CDAD6AD

BDAD3AD

在△ABD和ACD中，由正弦定理得，πsinC36，

sinsinB6sin

3

π

因為CD2BD，上面兩個等式相除可得6sin36sin，

3

31

得6cossin36sin，即2cos26sin，

22

2

所以，tanBADtan32.

26

變式6．（2024·廣東揭陽·高三校考階段練習）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為

a，b，c，且2cosA(ccosBbcosC)a.

(1)求角A；

(2)若O是ABC內(nèi)一點，AOB120，AOC150，b1，c3，求tanABO．

【解析】（1）因為2cosA(ccosBbcosC)a，

所以由正弦定理得2cosAsinCcosBsinBcosC2cosAsinBC2sinAcosAsinA；

1

0A180，sinA0，cosA，則A60；

2

（2）

OACOABBAC60，OABABO180AOB60，OACABO；

ABsinABO3sinABO

在△ABO中，由正弦定理得：AO23sinABO；

sinAOBsin120

ACsinACOsin30ABO

在VACO中，由正弦定理得：AO2sin30ABO；

sinAOCsin150

23sinABO2sin30ABOcosABO3sinABO，

13

即cosABO33sinABO，tanABO

339

題型二：兩角使用余弦定理

1

例4．（2024·全國·高一專題練習）如圖，四邊形ABCD中，cosBAD，ACAB3AD．

3

(1)求sinABD；

(2)若BCD90，求tanCBD．

2

13tt2BD2

【解析】（1）△ABD中，設ACAB3AD3tt0，則cosBAD，

323tt

解得BD22t

AD1

BD2AD2AB2，sinABD；

AB3

（2）設ACAB3AD3tt0，則BD22t

設BCxt，CDytx0,y0，

222

3txt3tx

ABC中，cosBCA

23txt6

22

13tytt2y28

△ADC中，cosDCA

323tyt6y

2

πy28x

BCADCABCD，cosDCAsinBCA，可得1，化簡得

26y6

222

y8x2242

1，即xyy6420y

6y6

2222222

又BC2CD2BD2，xtyt8t，即xy8

168

8y2y2y46420y2，解得y2,x28y2

33

16

CDyt

tanCBD32

BCxt8

3

例5．（2024·全國·高一專題練習）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD3BC3．

(1)求證：sinC3sinA；

(2)若C2A，AB2CD，求梯形ABCD的面積．

【解析】（1）連接BD．

因為AB//CD，所以ABDBDC．

ADBD

在△ABD中，由正弦定理得，①

sinABDsinA

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得，②

sinBDCsinC

由AD3BC，ABDBDC，結合①②可得sinC3sinA．

（2）由（1）知sinC3sinA，sinCsin2A2sinAcosA3sinA，

3ππ

cosA，又0Aπ，所以A，則C2A．

263

連接BD，

23

在△ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcosA3AB223AB

2

AB23AB34CD26CD3；

1

在△BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosC12CD221CD

2

CD2CD1，

2

所以4CD26CD3CD2CD1，解得CD1或．

3

25π

當CD時，連接AC，在ACD中，由余弦定理，得AC2AD2CD22ADCDcos

36

42349

323，

9329

7472

所以AC，而此時ABBC1，故CD不滿足題意，經(jīng)檢驗CD1滿足題意，

3333

π3

此時梯形ABCD的高hADsin，

62

133

當CD1時，梯形ABCD的面積SABCDh；

24

33

所以梯形ABCD的面積為．

4

例6．（2024·河北·校聯(lián)考一模）在ABC中，AB4，AC22，點D為BC的中點，連

接AD并延長到點E，使AE3DE.

(1)若DE1，求BAC的余弦值；

π

(2)若ABC，求線段BE的長.

4

【解析】（1）因為DE1，AE3DE，所以AD2，

因為ADBADCπ，所以cosADBcosADC0，

BD2AD2AB2CD2AD2AC2x2416x248

設BDDCx，則0，即0，

2BDAD2CDAD2x22x2

解得x22，所以BC2BD42，

AB2AC2BC2168322

在ABC中，由余弦定理知，cosBAC.

2ABAC24224

（2）在ABC中，由余弦定理知，AC2AB2BC22ABBCcosABC，

2

所以816BC224BC，化簡得BC242BC80，解得BC22，

2

1

因為D是BC的中點，所以BDBC2，

2

在△ABD中，由余弦定理知，

2

AD2AB2BD22ABBDcosABC16224210，

2

所以AD10，

3310

因為AE3DE，所以AEAD，

22

在△ABD中，由余弦定理知，

AB2AD2BD2161023

cosBAE，

2ABAD241010

連接BE，在ABE中，由余弦定理知，

3

31031035

222，

BEABAE2ABAEcosBAE1624

22102

10

所以BE.

2

變式7．（2024·全國·模擬預測）在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

223

2cos2C35cos2C.

2

(1)求角C；

AC

(2)若點D在AB上，BD2AD，BDCD，求的值.

BC

【解析】（1）因為

223π

2cos2C35cos2C35cos23π2C=35cosπ2C=35cos2C，

2

1

所以2cos22C5cos2C30，解得cos2C或cos2C3（舍去），

2

11

所以2cos2C1，即cosC，

22

π

因為0C，所以C.

23

（2）如圖，因為BD2AD，BDCD，設ADm，BDCD2m，

在ABC中，由余弦定理得9m2AC2BC2ACBC，

在△BCD中，由余弦定理得

BD2CD2BC2(2m)2(2m)2BC28m2BC2

cosBDC，

2BDCD22m2m8m2

AD2CD2AC2m2(2m)2AC25m2AC2

在△ADC中，由余弦定理得cosADC，

2ADCD2m2m4m2

因為BDCADC，所以cosBDCcosADC0，

8m2BC25m2AC2

即0，所以18m2BC22AC20，

8m24m2

所以2AC2BC2ACBCBC22AC20，

因為BC0，所以BC2AC，

AC1

所以.

BC2

變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學?？茧A段練習）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，

ADsinD2CDsinB.

(1)求證：BC2CD；

(2)若ADBC2，ADC120，求AB的長度.

ADAC

【解析】（1）證明：在ACD中，由正弦定理得，

sinACDsinD

即ADsinDACsinACD，

因為AB//CD，所以ACDCAB，所以ADsinDACsinCAB，

ACBC

在ABC中，由正弦定理得，

sinBsinCAB

即ACsinCABBCsinB，所以ADsinDBCsinB.

又ADsinD2CDsinB，所以BCsinB2CDsinB，即BC2CD.

1

（2）由（1）知CDBC1.

2

在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC

221

212217，故AC7.

2

CD2AC2AD21272227

所以cosCABcosACD.

2CDAC2177

在ABC中，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosCAB，

27

即227AB227AB，整理可得AB24AB30，解得AB1或3.

7

又因為ABCD為梯形，所以AB3.

題型三：張角定理與等面積法

例7．（2024·全國·高三專題練習）已知△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且

2asinA2bcsinB2cbsinC.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)設點D為BC上一點，AD是ABC的角平分線，且AD2，b3，求ABC的面積.

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及2asinA2bcsinB2cbsinC得：

a2b2bcc2，..

b2c2a21

由余弦定理得cosA，

2bc2

2π

又0Aπ，所以A

3

π

（2）AD是ABC的角平分線，BADDAC，

3

12π1π1π

由SSS可得bcsincADsinbADsin

ABCABDCAD232323

因為b3，AD2，即有3c2c6，c6，

11393

故SbcsinA36

ABC2222

例8．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，

b，c，且2asinA2bcsinB2cbsinC．

(1)求A的大??；

(2)設點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且AD4，AC6，求△ABC的面積．

【解析】（1）因為2asinA2bcsinB2cbsinC

所以根據(jù)正弦定理得：2a22bcb2cbc

即a2b2c2bc

由余弦定理得：a2c2b22bccosA

1

故cosA

2