高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)高分突破講義：專題17 數(shù)列綜合應(yīng)用【藝體生專供-選擇填空搶分專題】2023年高考高頻考點(diǎn)題型精講+精練

【藝體生專供一選擇填空搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考高頻考點(diǎn)題型精講+精練（新高考通用）

專題17數(shù)列綜合

一、考向解讀

考向：數(shù)列部分高考題一般是中等難度，分?jǐn)?shù)在10-17分，一般以等差、等比數(shù)列的定

義、性質(zhì)或以通項公式、前n項和公式為基礎(chǔ)考點(diǎn)，結(jié)合數(shù)列的遞推公式進(jìn)行命題，側(cè)

重于數(shù)列的基本量運(yùn)算、數(shù)列的概念及表示法的理解。

考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及前n項和公式、數(shù)列求和、

構(gòu)造新數(shù)列求通項、求和、數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題。

導(dǎo)師建議：新文化題主要是讀題抓住題眼，同時找到a1和d、a1和q的式子也是解決問題

的關(guān)鍵！

二、知識點(diǎn)匯總

I.數(shù)列的第n項與前n項的和的關(guān)系

s.,〃=1

、個（數(shù)列｛《｝的前n項的和為《=4+。2+…+?！埃?

2.等差數(shù)列的通項公式

an=%+（〃-l）d=dn+。[一d[neN*）；

3.等差中項：若dA8成等差數(shù)列，則A叫做。與〃的等差中項，且4=等。

4.等差數(shù)列前n項和公式為4=獨(dú)押=〃4+3/，=5〃2+（4一：4）九

5.等比數(shù)列的通項公式4=。0"二色4（〃￡.）；

q

6.等比中項：若a,成等比數(shù)列，則A叫做。與〃的等差中項，且A2=ab。

7.等比數(shù)歹U前n項的和公式為力=或s.=\-q.

na],q=\[〃4，g=]

【常用結(jié)論】

\,p+q=m+n=>ap+aq=am+n,p,qwN、

2.p+q=2m=>ap+%=2am(m,p.qeN、;

3.5,Sm-Sm.Ssm-S2Ms.-S3n，…構(gòu)成等差數(shù)歹Ij.

4.1=g〃+(4-g)是關(guān)于〃的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列｛2｝也是等差數(shù)列.

n22n

5.在等差數(shù)列｛凡｝,｛"｝中，它們的前〃項和分別記為&,7；則?=萍.

Dnl2n-\

64=?！?〃7,〃￡叱).

7.若機(jī)+〃=〃+",則。,”?an=ap-4(皿〃,p,q€N")

8.公比4工一1時,5“,％,-5“,53"-52°,54“-$3」一成等比數(shù)列(〃€").

三、題型專項訓(xùn)練

目錄一覽

①等差等比綜合

②數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

③求數(shù)列的通項公式

④數(shù)列求和

⑤數(shù)列的新文化題

高考題及模擬題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①等差等比數(shù)列的綜合

一、單選題

1.在遞增等比數(shù)列｛/｝中，冬-4,且3a$是4和%的等差中項，則%一（）

A.256B.512C.1024D,2048

【答案】B

【分析】運(yùn)用等差中項及等比數(shù)列通項公式計算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為外

因?yàn)?%是此和％的等差中項，所以&?=4+%，即64=〃?+%夕二

又因?yàn)榘?。（），所以?g—6=0,解得<7=2或4=一3.

又因?yàn)榈缺葦?shù)列｛q｝是遞增數(shù)列，所以g=2.又因?yàn)?=4,所以q°=%d=4x27=5l2.

故選：B.

2.已知等比數(shù)列｛《,｝中，若4=2,且44仆24成等差數(shù)列，則%=（）

A.2B.2或32C.2或-32D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，列出方程可得q的值，可得知的值.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q（qw。），

4q,%,2a2成等差數(shù)列，=2.+4%,。產(chǎn)0,

24

:.q-q-2=0,解得：q=2?J<q=-l,.-.a5=a,q,a$=2或32,故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，熟悉其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.己知各項均為正數(shù)的數(shù)列也｝為等比數(shù)列，S”是它的前〃項和，若$3=7%,且生與4的等差中項為5,

則S$=（）

A.29B.31C.33D.35

【答案】B

【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，解方程求得夕，根據(jù)等差中項列方程，由此解得q.進(jìn)而求得5的

值.

【詳解】由&=7%，得4+生+0,=?小，所以6a3-（4+生）=。，即6/-g-l=0,

所以。=；,。=一：（舍去）.依題意得生+%=10，即％（g+d）=10,所以q=16.

i6n-（-）5i

所以&=------?=31.故選:B.

J；

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差中項的性質(zhì)，考查等比數(shù)列前〃項和，

屬于基礎(chǔ)題.

4.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛““｝的前〃項和為S；.若2’,S一邑成等差數(shù)列，則數(shù)列｛q｝的公比為（

）

A.!B.!C.2D.3

32

【答案】B

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為玳，/＞。），運(yùn)用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛凡｝的公比設(shè)為9,

因?yàn)?S，Sn邑成等差數(shù)列，所以可得2s3=25+§2，

即為2（q+a聞+44?）=24+%+4夕，化為2/+q-l=0,解得g或q=T（舍去），故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和等差中項性質(zhì)，考查方程思想，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握

與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知｛4｝是各項不相等的等差數(shù)列，若6=4,且。2,4,4成等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝的前6項和S?=（）

A.84B,144C.288D.110

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項以及等比中項的性質(zhì)，建立方程，解得公差，利用等差數(shù)列的求和公式，可

得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由小，/，%成等比數(shù)列，貝

即（4+34『=（4+4）（4+7”）,整理可得4,一4"=0,

由數(shù)列國｝各項不相等，解得4=4,即/=4〃，S“=（4+：〃）"=2〃（l+〃）,故S6=2X6X（1+6）=84.

故選：A.

6.已知遞增等差數(shù)列伍/中，4=18且生是4,%的等比中項，則它的第4項到第11項的和為（）

A.180B.198C.189D.168

【答案】A

【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及等比中項的定義列方程求數(shù)列的公差和首項.再利用求和公式

求它的第4項到第11項的和.

【詳解】設(shè)遞增等差數(shù)列｛《J的公差為d,則，/>0,

18=4+5d

M8且％是％,4的等比中項，.../士/』（,小）'解得4=4=3,

??.第4項到第11項的和為Su-S3=（llq+竽@-（34+號d）

所以S”-S、=8%+52d=60d=180,

即數(shù)列｛七｝的第4項到第11項的和為180.

故選：A.

7.E項等比數(shù)列｛，“｝中，4%是%與-24的等差中項，若/=；，則。必=（）

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【分析】依題意4%是為與-2%的等差中項，可求出公比夕，進(jìn)而由生=g求出根據(jù)等比中項求出4出

的值.

【詳解】由題意可知，4%是牝與-24的等差中項,

所以%-2a$=8%,即4H-2a3。=86，所以d-2g-8=0,q=4或勺=一2（舍），

所以4=癡=8,=64，

故選：D.

8.各項不為零的等差數(shù)列｛〃“｝中，十4%=0,數(shù)列｛紇｝是等比數(shù)列，且〃7=勺，則卬&=

A.4B.8C.16D.64

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得的，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得：46一府+41H=4（%+%）-裙=叫一^=。

又｛?！埃黜棽粸榱?，%=8,即&=8由等比數(shù)列性質(zhì)可得：仄&=氏=64

本題正確選項：D

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

②數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)〉

9.下列通項公式中，對應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是()

A.%=*B.q=1-"

a

c.n=\r-\n＞2D.a?=2n--5n+\

【答案】I)

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性作差比較與勺的大小即可判斷.

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，4=*'有4+「q=表-/=,＜°，是遞減數(shù)列，不符合題意，

對于B,?！?1-〃，有可+「(=1-5+1)-1+〃=-1＜0,是遞減數(shù)列，不符合題意，

M+3,/?＜2,

對于C,4=2.T；＞2，則叼=5,。…，不是遞增數(shù)列，不符合題意，

2

對于D,an=2n-5??+1,有一?！?2(〃+1尸一5(〃+1)+1-2〃？+5〃-1=4〃-3,由于1,則

?！?「4,=4〃-3＞。恒成立，是遞增數(shù)列，符合題意.

故選：D.

10.設(shè)S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.己知&=-3,q=2,則()

A.?/“｝為遞減數(shù)列B.%=。

c.S”有最大值D.56=0

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式及求和公式求得其首項和公差，再依次判斷各選項.

【詳解】???數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，*=-3,%=2,

4+4d=26=-2

*.a=-2+(n-l)xl=n-3,

‘34+34=-3d=\n

對于A,?.?d=l＞。，..?數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列，故A錯誤；

對于B,???%=3-3=0,故B正確：

對于C,?..數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，，工無最大值，故C錯誤；

6xS

對于D,VS6=6x(-2)+^xl=3,故D錯誤.

故選；B.

11.已知S/〃wN?)是等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和，且%＞。，6+4。＜0,則下列選項正確的是()

A.數(shù)列｛/｝為遞增數(shù)列D.%＜0

C.S”的最大值為S.D.SI4＞0

【答案】B

【分析】由己知條件得出6＜0和公差d＜0,進(jìn)而得出各項與0的大小關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.

【詳解】由題意，〃eNZ

在數(shù)列｛4｝中，〃7＞。，且%+/=為+4o＜O,

；?%〈（）,故B正確；工公差d=《-4＜0,

數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，A錯誤：.??當(dāng)1W〃W7時，?！埃?,

當(dāng)〃28時，%＜0,S.的最大值為邑，故C錯誤；

幾=14（a；q4）=7Q+4）＜0,故D錯誤.

故選：B.

12.等差數(shù)列｛6｝的前〃項的和為S”，已知S10＞0,則等差數(shù)列的前〃項的和中，最小值為（）.

A.S5B.S6C.S7D.S8

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，確定等差數(shù)列｛q｝的所有負(fù)數(shù)項即可推理作答.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝的前〃項的和為S"，由Sg＜。，得號=駕型=96＜0,則見＜。，

由S1,）＞0,得品」-「=5（4+幻＜0,4＞一%＞。，

等差數(shù)列｛4｝的公差〃=&-織＞0,即數(shù)列｛4｝是遞增的，前5項均為負(fù)數(shù)，從第6項起均為正數(shù)，

所以等差數(shù)列｛4｝的前5項的和最小，即最小值為其.

故選：A

13.在數(shù)列｛叫中，“|（」＞*'是"數(shù)列也｝為嚴(yán)格遞增數(shù)列”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，|凡等價于%”＞可或-外討＞4，進(jìn)而判斷即可求解.

【詳解】由同/>%可得。向>4或M…”，所以充分性不成立,

若數(shù)列｛凡｝為嚴(yán)格遞增數(shù)列，貝用》4,成立，必要性成立,

所以“舊」>4”是“數(shù)列｛4｝為嚴(yán)格遞增數(shù)列”的必要非充分條件，

故選：B.

9

14.己知等比數(shù)列｛叫的前〃項和為S.，若4+2七=0,5,=-,且”4S”4a+2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

O

（）

A.卜別B.[44]二強(qiáng)D,[叫

【答案】B

Q

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的公比為9,由6+2/=0,耳=列方程求出外4,進(jìn)而可求出S.，結(jié)合指

O

數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最大、小值，列不等式組即可求出〃的取值范圍

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列血｝的公比為4,

9回―3i

因?yàn)?+2%=0,所以2、9,解得闖=-7,

8q（l+q+g-）=G22

to

當(dāng)X為正整數(shù)且奇數(shù)時，函數(shù)y=（：）.+1單調(diào)遞減，

當(dāng)x為正整數(shù)且偶數(shù)時，函數(shù)），=-（》*+1單調(diào)遞增,

所以〃=1時，s,取得最大值,，當(dāng),7=2時，5”取得最小值;，所以，4,解得一

2

4a+2>-24

2

故選：B.

③求數(shù)列的通項公式

15.已知數(shù)列｛（｝中，％=1.%=4"3=9,且｛4“-嗎是等差數(shù)列，則4=（）

A.36B.37C.38D.39

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出｛。川-凡｝的通項公式,再利用累加法求4.

【詳解】因?yàn)椤兑?=3,%-%=5,所以（見一生）一（七一4）=2,

又｛%L4｝是等差數(shù)列，故首項為3,公差為2,所以--2=3+2（〃-1）=2〃+1,

所以4=(4-4)+3-。4)++(%-《)+4=2(5+4+3+24-1)+5+1=36.

故選：A.

,、1

16.在數(shù)列血｝中,4=1,“向=q+而刑，則4等于（）

1c2”1廠〃-1C1

A.-B.-----C.---D.—

nnn2n

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得〃「4='-一二，結(jié)合累加法，即可求解.

nn+1

111

【詳解】由題意可得叫「％=而4=；；一；71，

所以當(dāng)〃22時,％-4=1一;，%一。2=:一:，…，

223n-ln

上式累力口可得，an-a}=(a2-a])+(a3-a2)+...+(an-an_i)=\-^+^-^+...+-^—-^=\-^,

zz3//-1ftn

又4=1,所以q=2-2

nn

9,2-1

當(dāng)〃=|時，4=1滿足上式，所以q=三」.故選：B.

n

17.數(shù)列｛q｝中,4=1,（〃為正整數(shù)），則聯(lián)2的值為（)

202[2022

A.----B.D.

20222021*20222021

【答案】A

【分析】結(jié)合遞推式特征，利用累乘法算出進(jìn)而可得答案.

n

3211…1

【詳解】因?yàn)?=1，所以?！?-4—二=—x--x所以限小醞

an〃+1an-an-2%%6〃〃一1

故選：A

18.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和邑=1甘上，旦4=1,則S,=（）

A.14B.28C.56D.112

【答案】B

【分析】4SS.?f/7=/1〃W,，又由S°.=—（〃+l）a“Sn=門〃+l后由累乘法可得答案.

S，n=1

【詳解】注意到4='c-，則當(dāng)心2時,

S「S“T，〃之2

S”呼=2S_(〃+gF)=—=**

Zx?=28.

故W…7.…±…，士

'S；S2S61256

故選：B

19.在數(shù)列｛4｝中，4=2,0向=2《-1,若%>513,貝M的最小值是（）

A.9B.10C.IID.12

【答案】C

【解析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列｛4-1｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可

得%=2小+1,即求.

【詳解】因?yàn)?，?2/一1,所以,*一1=2（4-1）,即"三二2,

%1

所以數(shù)歹是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.

則凡-l=2"T,即勺=2"，1.因?yàn)?>513,所以2"、1>513,所以2,>512,所以〃>10.

故選：C

20.已知數(shù)列｛4｝中，4=4,。==44-6,則%等于（）

A.22n+,+2B.22n+,-2

C.22"-'+2D.22"-1-2

【答案】C

【分析】分析得到數(shù)列也-2｝是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列｛《「2｝的通項即得

解.

【詳解】Q%=4%-6,%-2=火％-2）,

Q-2

所以笠3=4所以數(shù)列M，「2｝是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)歹！J,

/I-

所以a“—2=2x4i,...%=22z+2

故選：C

21.已知數(shù)列｛&｝中，4=1且則46為（）

【答案】A

【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到%，代入〃=16即可.

【詳解】由勺+1=/"得：—=^T-^=-+T,又'=1,

4+33%an36

?.數(shù)列是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，?.?,=1+：5-1)=彳，??"”=一三，二46=4?

〃十

、a*n*43a”3J26

故選：A.

22.在數(shù)列｛?“｝中，4=1,5向=4q+2,則/。⑷的值為()

A.757X22020B.757X22019C.757X22018D.無法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，利用前n項和公式與通項公式之間的關(guān)系求數(shù)列的遞推公式，根據(jù)遞推公式構(gòu)造

等比數(shù)列｛--〃｝,求出一、4的關(guān)系，再構(gòu)造等差數(shù)列數(shù)列[畀即可求出％,從而求得八.

【詳解】丁4=1,S?i=4a“+2,52=q+°2=4q+2,解得弓=5.

:S向=44”+2,???5?2=44川+2,兩式相減得，。“+2=4。向一4〃,，

???4件2-2?向=2(。,出一為J,

???｛4,「MJ是以電-2《=3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

2aa=3x2i,兩邊同除以2"“，則黑■-箓=]

???｛畀是以:為公差，為首項的等差數(shù)列，???祟=；+5-1年=亨，.??

2072020

an2"=(3〃-1)x2'T,.??/再=(3x2019—1)x2'=757x2.

故選：A.

④數(shù)列求和

23.若?個數(shù)列的后項與其相鄰的前項的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二

階等差數(shù)列：2,3,5,8,12,17,23,…,設(shè)此數(shù)列為｛4｝,若數(shù)列也｝滿足仇=一下,則數(shù)列他｝的

前〃項和S“=()

n+\2（〃+l）

A.------D.-----------

nn

n-In

C.------D.------

,,2+1〃+1

【答案】D

【分析】利用二階等差數(shù)列的定義，結(jié)合累加法求得明八，利用裂項求和法求得S“?

【詳解】由題可知，數(shù)列｛。向-。“｝（〃￡1<）是以生-4=1為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以*一q=1+（〃-1）x1=

所以（電一《）+（&-生）++（凡+1一凡）=。同-4=1+2++〃.所以

所以C,i="（7D+2.故”"an+i-2〃（〃+1）?22〃（〃+】）2（〃q+1），

2

24.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,（2q+1）4+[=?！?令…則數(shù)列低｝的前2022項和S占（）

、40442022―4043n2024

C.-------D.-------

,4045404540454045

【答案】B

【分析】化簡（24+1”7=4，得;-：=2,可得-L是等差數(shù)列，求出通項公式，再用裂項相消的

an-\an4

方法求數(shù)列也J的前2022項和即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛?,｝滿足（24+1）%]=4，即2a”q+|+c*=4，即=-一二~=2,；=1,

所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以則勺=4，

磯an2n-1

,11zI1、

因?yàn)?=4%，則”=（2〃+D（2”1）=5（罰-罰），

數(shù)歹!1｛5｝的前2022項和Sw2=，（|_，+，_」+.,+——1----------1——）=-（1----------1——）=—.

I202223352x2022-12x2022+122x2022+14045

故選：B

【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被

消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

2021

25.記⑶表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，記a.=[log2〃]/wN?，則W>”=（）

n-l

A.18154B.18164C.18174D.前二個選項都不對

【答案】C

2021

【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的性質(zhì)%的形式，再利用錯位相減法可求

【詳解】由于1024=2"><2021<2"=2048,于是可（〃eN’且〃42021）的取值范圍是｛0，,9,10｝,且

20219

取值為k的項有2A個伙=。，1，⑼，因此?>”=Z（h2*）+10x（2021-1024+l）,

JI=I1=0

而數(shù)列卜?2"｝的前n項和為（2〃-2）?2"+2,

于是所求之和為(2x9-2)x2。+2+9980=18174.

故選：C.

26.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為：q=羅，〃eN"則數(shù)列也｝的前HX）項之和為（）

201宜/203廠10000C10100

A.rB.6-干C.D,

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用錯位相減法求和作答.

【詳解】令數(shù)列｛凡｝的前n項和為工，因?yàn)閝=當(dāng)

則5，，=1+1/++符，

e+1c135In-3In-1

貝1有1尹=-+^-+^7++-^r+—^-

c1」CC

兩式相減得：入=1+1+1+1+…+-13-3111=1+—=-

r71j64b?之"2222”"2〃12〃2“

1—

2

因此S”=6-等，有5心=6-挈，所以數(shù)列｛q｝的前100項之和為6-筆.

故選：B

27.已知數(shù)列｛q｝的前“項和為S”，4=1，當(dāng)〃22時，a“+2Sz=%則S即等于（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

【答案】D

【分析】由，△2時，《+22=〃得到—+250=〃+1,兩式作差，整理可得：％+4=1,結(jié)合并項求

和，即可求解.

【詳解】解：由題意可得，當(dāng)，整2時，a”+2S,“=〃，j+2S,=〃+l,

兩式作差可得-—勺+2q=l,

即%+q=l（〃22）?即當(dāng)">2時,數(shù)列任意連續(xù)兩項之和為1.又因?yàn)?=1.

所以S刈］=4+（生+6）+（〃4+“5）++（々2020十^2021）=1^~=1011,

故選：D.

⑤數(shù)列的新文化題

28.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2019中被3除余1且被

5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成歹U，構(gòu)成數(shù)列何｝,則此數(shù)列的項數(shù)為（）

A.134B.135C.136D.137

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到數(shù)列｛〃“｝通項公式，由題意解出不等式即可判斷項數(shù).

【詳解】由題意知，被3除余1且被5除余1的數(shù)即為被15除余1的數(shù)，

故q=15〃-14,〃eN?.由4=15"-1412019,得“4135.5,又因?yàn)椤╡V,所以此數(shù)列的項數(shù)為135.

故選：B

29.我們都聽說過一個著名的關(guān)于指數(shù)增長的故事：古希臘著名的數(shù)學(xué)家、思想家阿基米德與國王下棋.國

王輸了，問阿基米德要什么獎賞？阿基米德說：“我只要在棋盤上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三

格放四粒，第四格放八?！创朔椒ǚ诺竭@棋盤的第64個格子就行了通過計算，國王要給阿基米德

1+2+4+…+2二=21-1粒米，這是一個天文數(shù)字.100年后，又一個數(shù)學(xué)家小明與當(dāng)時的國王下棋，也提出

了與阿基米德一樣的要求，由于當(dāng)時的國土已經(jīng)聽說過阿基米德的故事，所以沒有同意小明的請求.這時候，

小明做出了部分妥協(xié)“他提出每一個格子放的米的個數(shù)按照如下方法計算，首先按照阿基米德的方法，先

把米的個數(shù)變?yōu)榍耙粋€格子的兩倍，但從第三個格子起，每次都?xì)w還給國王一粒米，并由此計算出每個格

子實(shí)際放置的米的個數(shù).這樣一來，第一個格子有一粒米，第二個格子有兩粒米.第三個格子如果按照阿基米

德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于歸還給國王一粒米，就剩下二粒米：第四個格子按照

阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩卜五粒米.“聰明”的國王一看，每個格子上放的

米的個數(shù)都比阿基米德的方案顯著減少廣,就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，請你計算64個格子

一共能得到<）粒米.

A.262+1B.26,+1C.262+62D.2^+63

【答案】D

【分析】按照小明的方案，設(shè)第〃個格子放的米粒數(shù)為勺，其中〃GN\分析可知數(shù)列也｝滿足:

%=2,??=2??,,l(/i>3),求出數(shù)列｛4｝的通項公式，利用分組求和法可求得結(jié)果.

【詳解】按照小明的方案，設(shè)第八個格子放的米粒數(shù)為4,其中〃eN.,

則數(shù)列｛〃“｝滿足：4=1,勺=2,1(心3),所以，當(dāng)〃之3時,=

故數(shù)列｛??-1(是從第2項開始成以2為公比的等比數(shù)列，且%-1=1,

所以，氏-1=1x2"“，則%=2"“+1,所以，數(shù)列｛q｝的前64項和為幾=l+2+（2i+l）+（2?+l）++（262+1）

2（1-262）公

34（2+22++20）+62=--------i+65=2^+63?

1-2

故選：D.

30.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每

2!，］，L為成數(shù)列｛《｝,其前八項和為S“，則§2。=()

一行的第三個數(shù)1,

3610

1

11

171

1771

11111

I464I

,I1I11

13TO1051

39「40「41卜419

I.—B.—C.—D.------

202121210

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列｛4｝的前4項，歸納出數(shù)列的通項4=而用，即可用裂項相消法求其前n項和為S.,

即可得52。的值.

【詳解】由題意可知,

,2

?.=I=-----

11x2

a,=-1=-2-

'32x3

12

/=—=----

63x4

a.=—1=-2-

104x5

則?"=扁士｝

所以其前n項和為：

故選：B.

31.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問題：”今有垣厚十六尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，

大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”，意思是：今有土墻厚16尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第

一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是

前一天的一半，問兩鼠相逢需要的最少天數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】設(shè)大鼠第〃天打洞4尺，小鼠第〃天打洞"尺，其中分析可知兩數(shù)列均為等比數(shù)列，確

定這兩個數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式以及數(shù)列的單調(diào)性可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)大鼠第〃天打洞4尺，小鼠第〃天打洞么尺，其中〃eN,

則數(shù)列｛勺｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，《,=1x2。"=2",

數(shù)列但｝是首項為9公比為g的等比數(shù)列，r1

2"

設(shè)數(shù)列（??十4｝的前〃項和為S”，則5“=公+=2"-泉

1--

2

因?yàn)?+勿=2R+￡>0,故數(shù)列｛，｝單調(diào)遞增，

因?yàn)?4=16-4<16<條=32-3，故兩鼠相遇至少需要5天.

1632

故選：C.

32.大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前10項依次為0,2,4,8,12,18,

24,32,40,50,現(xiàn)將大衍數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個數(shù)表，則該數(shù)表中第8行第3個數(shù)是（）

0第1行

24第2行

81218第3行

24324050第4行

…第〃行

A.152B.480C.512D.840

【答案】B

【分析】首先求得大衍數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)表的形式，求得第8行第3個數(shù)的序號，代入通項公式，

即可求解.

【詳解】由已知條件將大衍數(shù)列前10項按奇數(shù)項排列前5個數(shù)依次為0,4,12,24,40,按偶數(shù)項排列前

=1.〃為奇數(shù)，

5個數(shù)依次為2,8,18,32,50,可得大衍數(shù)列通項為q=,

〃為偈數(shù)，

2

數(shù)表前7行共有1+2+3+4+5+6+7=28個數(shù)，第8行第3個數(shù)字是大衍數(shù)列中第31項，

該數(shù)為—+1）（3一）二..

22

故選：B.

33.大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前10項為：0、2、4、

匕二,〃為奇數(shù)

2,若把這個數(shù)列｛〃“｝排成下側(cè)形狀，并

8、12、18、24、32、40、50,通項公式為q=2

二?,〃為偶數(shù)

2

記表示第帆行中從左向右第〃個數(shù)，則八（9,5）的值為（）

0

248

1218243240

50...........

A.2520B.2312

C.2450D.2380

【答案】D

【分析】確定49,5）在數(shù)列｛q｝中的項數(shù)，結(jié)合數(shù)列｛4｝的通項公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，設(shè)數(shù)陣第〃行的項數(shù)為2,則數(shù)列他,｝是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列,

Q7

數(shù)列色｝的前8項和為1x8+號xx2=64,

所以，A（。,5）是數(shù)列｛%｝的第64+5-69項，因此，A（9,5）="片=2380.

故選：D.

34.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函

數(shù)”為：設(shè)xeR,用印表示不超過x的最大整數(shù)，則，，=[幻稱為“高斯函數(shù)”，例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.己

知數(shù)列｛。“｝滿足4=1,=3,4+2+2a”=3a，若a=[log24.』，Sn為數(shù)列，—^―山勺前n項和，則S2K產(chǎn)

（）

2022202420232025

'2023"2023"2024'2024

【答案】C

【分析】運(yùn)用構(gòu)造法可得在*-4｝為等比數(shù)列，再運(yùn)用累加法可得包｝通項公式，進(jìn)而求得｛d｝通項公式,

再運(yùn)用裂項相消求和可得結(jié)果.

【詳解】由％+2+2，=3。向，得q+2-4+1=2（。山-4,）.又〃2-6=2,所以數(shù)列｛1「叫構(gòu)成以2為首項，

2為公比的等比數(shù)列，

所以4“一〃"=2".

2

又出一%=2,a3-a2=2,a,

疊加可得(4―?)+(%—用)+…+(a“—4T)=2i+22+~+2"T5N2),

即〃“-6=21+22+…+2”\

所以a=20+2\22+…+2”T=1~2'-2=2;,-1Q/>2).

IC

又因?yàn)?=1滿足上式，所以=2"-1（〃GN）.所以可+尸24+,-1.

因?yàn)?"<2-'-1<2"所以2"<log2(227)<log22向，

n+,n+,

即〃<log2（2-1）<//+1,所以以=[log2%]=[log2（2-l）]=n.

故包%一〃（“+l）-G為?所以"LC+15-5尸…+（2023—2024J―_2024-2024,

故選：C.

35.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生

原理，數(shù)列中的每?項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的

世界數(shù)學(xué)史上第?道數(shù)列題.己知該數(shù)列｛%｝的前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,記

〃wN，則數(shù)列｛4｝的前20項和是()

A.110B.100C.90D.80

【答案】A

【分析】根據(jù)所給數(shù)列的項歸納出通項公式，利用分組求和法求和即可.

【詳解】觀察此數(shù)列可知，當(dāng)〃為偶數(shù)時，為=4，當(dāng)〃為奇數(shù)時，4=一，

-為奇數(shù)

因?yàn)槲?(-1)"?q=2，所以數(shù)列也｝的前20項和為：

史，〃為偶數(shù)

2

(0+2)+(-4+8)+(-12+18)++(-1^!+手)=2+4+6++20=10x(^+20-=110,

故選：A

四、高考真題及模擬題精選

一、單選題

1.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)｛4｝是公差不為。的無窮等差數(shù)列，則”｛4｝為遞增數(shù)歹/是“存在正整數(shù)必，

當(dāng)〃>乂時，可>0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C