高中數(shù)學算法初步統(tǒng)計統(tǒng)計案例教案人教版（理科）

_____________________第十章

算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)訐翻

1V111111U

第一節(jié)算法初步

程序框圖與算法語句

I.算法的含義、程序框圖

(1)了解算法的含義，了解算法的思想.

(2)理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、

循環(huán)結構.

2.基本算法語句

理解幾種基本算法語句——輸入語句、諭出語句、賦值語句、

條件語句、循環(huán)語句的含義.

ZH6HIHUIGU...............

抓主干?知識回顧,穩(wěn)固根基

知識點一算法與程序框圖

1.算法

(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.

(2)應用：算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序,計計算機執(zhí)行并解決問題.

2.程序框圖

定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及駐逸明來表示算法的圖形.

易誤提醒易混清處理框與輸入框，處理框主要是賦值、計算，而輸入框只是表示一

個算法榆入的信息.

［自測練習］

1.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，愉入工=-12,那么其輸出的結果是

)

A.9

B.3

C.小

解析：依題意得，執(zhí)行完第1次循環(huán)后，人=一12十3=-9W0;執(zhí)行完笫2次循環(huán)后，

x=-9+3=-6W0:執(zhí)行完第3次循環(huán)后，x=-6+3=—3W0;執(zhí)行完第4次循環(huán)后，x

=-3+3=OWO;執(zhí)行完第5次循環(huán)后，x=0+3=3>0,程序結束.結合題中的程序框圖可

知，最后輸出的結果是小.

答案：C

2.如圖，按如下程序框圖，若輸出結果為170,則判斷框內應補充的條件為（）

A.Z>7?B.Z>9?

C.>10?D./>11?

解析：???2i+23+25+27=170,J.判斷框內應補充的條件為>7或J29,故選A.

答案：A

WHILE條件

當型循

循環(huán)體

環(huán)結構

WEND

易誤提醒易忽視循環(huán)結構中必有選擇結構，其作用是控制循環(huán)進程，避免進入“死

循環(huán)“，是循環(huán)結構必不可少的一部分.

易混淆當型循環(huán)與直到型循式.

直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；而當型循環(huán)則是“先判斷，后

循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)“；兩者的判斷框內的條件表述在解決同一問題時是不同的，它

們恰好相反.

［自測練習］

3.如圖是?個程序框圖，則輸出的〃的值是

解析：該程序框圖共運行5次，各次2”的值分別是2,4,8,16,32,所以輸出的〃的值是

5.

答案：5

4.當a=l,b=3時，執(zhí)行完下面一段過程后x的值是

解析：Va<b,；.x=a+/?=4.

答案：4

KAODiANYANMJ..........

?考點研究>強技提能

考去、一算出的基本結構I導z恚然壬

［題組訓練］

1.（2015?高考天津卷）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序,

則輸出的S的值為（）

A.-10

B.6

C.14

D.18

解析：執(zhí)行程序框圖可知，i=2,5=18;/=4,S=14;i=8,S=

6.故輸出S的值為6.

答案：B

2.（2016?威海一模）根據給出的程序框圖，計算4-1）+42）=（)

西刈|危）=2"

/輸氣加）/

醺

A.0B.1

C.2D.4

解析：輸入一1,滿足xWO,所以/（-1）=4X（-1）=-4;

輸入2,不滿足％W0,所以＜2）=22=4,

即1-1）+汽2）=0.故選A.

答案：A

3.（2015?高考重慶卷）執(zhí)行如弱所示的程序框圖，若輸出上的值

為8,則判斷框內可填入的條件是（）

3

A.

B.V

C.

D.5嗡

I113

解析：第一1次循環(huán)，得k=2,s=￡；第二次循環(huán)，得k=4,5=/+4=不第三次循環(huán),

得k=6,S=T4-7=75?第四次循環(huán)，得攵=8,S=9+!=符，此時退出循環(huán)，輸出攵=8,

■VJ1乙I4O4f

所以判斷框內可填入的條件是5＜告，故選C.

答案：C

》規(guī)律方法

1.解決程序框圖問題要注意幾個常用變量：

（1）計數(shù)變量：用來記錄某個事件發(fā)生的次數(shù)，to/=/+l.

（2）累加變量：用來計算數(shù)據之和，如5=5+上

（3）累乘變量：用來計算數(shù)據之積，tlUp=pXi.

2.處理循環(huán)結構的框圖問題，關鍵是理解并認清終止循環(huán)結構的條件及循環(huán)次數(shù).

考點二再次的交匯性間^$.1善°舞罷Z氣

算法是高考熱點內容之一，算法的交匯性問題是新課標高考的一大亮點，歸納起來常見

的探究角度有：

1.與統(tǒng)計的交匯問題.

2.與函數(shù)的交匯問題.

3.與不等式的交匯問題.

4.與數(shù)列求和的交匯問題.

探究一與統(tǒng)計的交匯問題

I.如圖是某縣參加2016年高考的學生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的學生

人數(shù)依次記為Ai，A2，…，4o（如A?表示身高（單位：cm）在“50,155）內的學生人數(shù)）.圖（2）

是統(tǒng)計圖⑴中身高在一定范圍內學生人數(shù)的一個程序框圖.現(xiàn)要統(tǒng)計身高在160?180

cm（含160cm,不含180cm）的學生人數(shù)，則在流程圖中的判斷框內應填寫（）

A./<6?B.z<7?

C.iv8?D./<9?

解析：統(tǒng)計身高在160?180cm的學生人數(shù)，即求4+4+4+4的值.當4WiW7

時，符合要求.

答案：C

探究二與函數(shù)的交匯問題

2.(2015?高考山東卷)執(zhí)行如織所示的程序框圖，輸出的丁

的值為.

解析：開始〃=1,7=1,因為1V3,所以丁=l+/：x%x=

I=1+^X12=^,n=1+1=2;因為2<3,所以T=/+工

2]3]11

x2</x=5+^斗&=5+§X13=不，n=2+l=3.因為3<3不成立，

所以輸出T,即輸出的T的值為日.

答案”

探究三與不等式的交匯問題

x,l<x<4,

3.關于函數(shù)f(x)=-VW1的程序框圖如圖所示,現(xiàn)輸入區(qū)間⑶斗則輸

cosX?

出的區(qū)間是

解析：由程序框圖的第一個判斷條件為f(x)>0,當f(x)=cosx,xE[-Ll]時滿足.然后

進入第二個判斷框，需要解不等式f'(x)=-s加x〈0,即OWxWl.故輸出區(qū)間為[0,1].

答案：。1]

/輸入網/窣

/輸入區(qū)間&切/

/輸出區(qū)間小囚/

/輸？s/

耐毒

第3題圖第4題圖

探究四與數(shù)列求和的交匯問題

4.(2015?高考湖南卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入〃=3,則輸出的S=()

A.yB.y

1D&

解析：第一次循環(huán)，S=C，

此時i=2,不滿足條件，

繼續(xù)第二次循環(huán)，5=忐+2，

此時i=3,不滿足條件，

繼續(xù)第三次循環(huán)，S==+&+士

1AJJA3DA/

=av)+(H)+(HH,

3

此時i=4>3,退出循環(huán)，輸出S的值為亍選B.

答案：B

》規(guī)律方法

解決算法交匯問題的三個關鍵點

(1)讀懂程序框圖，明確交匯知識；

(2)根據給出問題與程序框圖處理問題;

⑶注意框圖中結構的判斷.

考點三算法基本語句|吊z隹然需

［典題悟法］

典您按照如圖程序運行，則輸出K的值是

X=2]

［解析］第一次循環(huán)，X=7,K=l：

第二次循環(huán)，X=I5,K=2：

第三次循環(huán)，X=31,K=3：

終止循環(huán)，輸出K的值是3.

［答案］3

算法語句應用的關注點

(1)輸入語句、輸出語句和賦值語句基本對應于算法的順序結構.

(2)在循環(huán)語句中也可以嵌套條件語句，甚至是循環(huán)語句，此時需要注意嵌套格式，這

些語句需要保證算法的完整性，否則就會造成程序無法執(zhí)行.

［演練沖關］

(2015?高考江蘇卷)根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果S為

解析：該偽代碼運行3次，故輸出的S為7.

答案：7

V易錯防范系列|

1ICUOFANGFANXILIEI25.變量的含義理解不準致誤

【典例】(2015?高考全國卷I)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的/=0.01,則輸

出的〃=()

A.5

B.6

C.7

D.8

［易錯點析］(I)讀不懂程序框圖，把執(zhí)行循環(huán)體的次數(shù)〃誤認為是變量S的值，沒有注

意到n的初始值為0.

(2)對循環(huán)結構：①判斷條件把握不準；②循環(huán)次數(shù)搞不清楚；③初始條件容易代錯.

［解析］由程序框圖可知，

S=1~2=29m=4';

w=|,〃=2,1>U.O1;

5=諱一交=司機飛〃=5,交>0.01；

S=32~64=W片春,〃=6,^>0,01；

S==一森=七，W=256?〃=7,春<0.01,輸出〃=7,故選C.

［答案］C

［方法點評］(1)要分清是當型循環(huán)結構還是直到型循環(huán)結構；要理解循環(huán)結構中各變量

的具體含義以及變化規(guī)律.

(2)在處理含有循環(huán)結構的算法問題時，關鍵是確定循環(huán)的次數(shù)，循環(huán)中有哪些變量,

且每一次循環(huán)之后的變量S、〃值都要被新的S、〃值所替換.

［跟蹤練習］執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為()

A.3B.-6

C.10D.-15

解析：第一次執(zhí)行程序，得到5=0—12=一］,，=2；

第二次執(zhí)行程序，得到S=-l+22=3,i=3;

第三次執(zhí)行程序，得到S=3-32=-6,i=4:

第四次執(zhí)行程序，得到5=-6+42=10,j=5;

第五次執(zhí)行程序，得到5=1(1—52=-15,i=6,到此結束循環(huán)，輸出的S=-15.

答案：D

G€NZONGXANCE

時?跟蹤檢測，查漏補缺

A組考點能力演練

1.定義運算於匕為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的S值，則的值為

)

［開始〕

/輸入a,b/

|S=a(aZ^'l|S=b(a+1)|

/輸出S/

［結束1

A.4B.3

C.2D.-1

a(a—b),a》b,

解析：由程序框圖可知，S=

b(a~\~1),a<b,

2cos?y=l,2tanm=2,1<2,

(2cos引?2tan竽)

所以I=2(1+1)=4.

答案：A

2.（2016?貴州模擬）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出s的值等于（）

S3

A=(U=1

k=k+\s=2s-k

八出J

［結束］

A.-3B.-10

C.0D.-2

解析：第一次循環(huán)女=0+1=1,5=2X1-1=1,滿足上4：第二次循環(huán)女=1+1=2,s

=2X1—2=0,滿足&<4;第三次循環(huán)&=2+1=3,s=2X0—3=—3,滿足左<4;第四次

循環(huán)&=3+1=4,不滿足Av4,輸出的s=-3,故選A.

答案：A

3.（2016.長春模擬）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的

程序.若輸出的S為患，則判斷框中填寫的內容可以是（）

A.〃=6?

B.麻6?

C.后6?

D.后8?

解析：嗎+；+1=!^,???〃=6時滿足條件，而〃=8時不滿

足條件，?"W6,故選C.

答案：C

4.某程序框圖如圖所示，若輸出的5=120,則判斷框內為（）

1開資〕

|s=i*=T']

|S=2S+k|

/輸出s/

~JL

［結束）

A.Q4?B.k>52

C.A>6?D.k>72

解析：依題意，進行第一次循環(huán)時，&=1+1=2,S=2X1+2=4;進行第二次循環(huán)時，

&=2+1=3,5=2X44-3=11;進行第三次循環(huán)時，2=3+1=4,5=2X114-4=26;進行

第四次循環(huán)時，氏=4+1=5,5=2X26+5=57;進行第五次循環(huán)時，上=5+1=6,5=2X57

+6=120,此時結束循環(huán)，因此判斷框內應為“上>5?”，選B.

答案：B

5.某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)窣

6A—e~x/輸出函數(shù)/㈤/

C.人幻=晟不丁

1+sinx+cosx

D，^)=l+sinA—cosx

解析：由框圖可知榆出函數(shù)為奪圖數(shù)且存在零點，依次判斷各選項，A為偶函數(shù)，B不

—y_x

存在零點，不符合，對于C,由于人一此=|"屋=-/（x）,即函數(shù)為奇函數(shù)，且存在零點為

x=0,對于D,由于其定義域不關于原點對稱，故其為非奇非偶函數(shù)，故選C.

答案：C

6.（2016?南京模擬）根據如圖所示的偽代碼，最后輸出的S的值為.

s=o

ForIFrom1To10

S=S+I

EndFor

PrintS

解析：這是一個1+2+3+??+10的求和，所以輸出的S的值為55.

答案：55

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為

|S=O；n=1|

S=S+：in竽|國1百

T"二+1I(結束］

54_LIXn,2X71,3XTT,4XK

解析：S=sin3+sin+sin3+sin3

5Xn,6X7t2013Xn

+sin3+sm3+(,,,+(sin-------

(lX7t,2XTI3Xi,4X7t

(sin3+sin3+(sin3+sin3

5X允6X_nIXTT

sin3+sin3X335+sin^—

+si尋+.3Xn

~T~=小.

答案：小

8.(2016?黃岡模擬)隨機抽取某中學甲、乙兩個班各10名同學，測量它們的身高獲得身

高數(shù)據的莖葉圖如左下圖，在樣本的20人中，記身高在[150,160),[160,170),[170,180),

口80/90)的人數(shù)依次為4,A2fA3,A4.右下圖是統(tǒng)計樣本中身高在一定范圍內的人數(shù)的算

法框圖.若圖中輸出的S=18,則判斷框應填.

解析：本題考查程序框圖與統(tǒng)計交匯問題.由于，從2開始，也就是統(tǒng)計大于或等于160

的所有人數(shù)，于是就要計算A2+A3+A4,因此，判斷框應填i<5或iW4.

答案：i<5或iW4

9.給出以下10個數(shù)：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于40的數(shù)找出來并輸出.試

畫出該問題的算法程序框圖.

解：程序框圖如下：

統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖如上圖所示.

(1)試在判斷框內填上條件；

(2)求輸出的s的值.

解：(1)依題意，程序框圖是統(tǒng)計6名隊員投進的三分球的總數(shù).

???判斷框內應填條件“運6?”.

(2)6名隊員投進的三分球數(shù)分別為41,42,的，"4,?5,.故輸出的$=41+。2~1---Ffl6.

B組高考題型專練

1.(2014?高考江西卷)閱讀如下程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果

為()

畫卡國1甘：甯

A.7B.9

C.10D.11

解析：執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)：i=l,s=lg|>-l,否；執(zhí)行第二次循環(huán)：i=3,S

=lg|4-lg|=lg1>—1,否;執(zhí)行第三次循環(huán)：i=5,S=lg|+lgy=lgy>—1,否；執(zhí)行第四

次循環(huán)：i=7,S=lg^+lg^=lg1>—1,否：執(zhí)行第五次循環(huán)：i=9,S=lg|+lgV=lg*一

1,是，結束循環(huán)，輸出i為9,故選B.

答案：B

2.（2014?高考新課標全國卷）執(zhí)行下面的程序框圖，若輸入的“，b,k分別為1,2,3,

)

20

A4T

c.單

33838

解析：第一次循環(huán)，Af=2?a=2,/?=2?〃=2;第二次循環(huán)，M=g,ci=~2,〃

=3;第三次循環(huán)，M=竽，/?=竽，〃=4,退出循環(huán)，輸出M為號，故選D.

答案：D

3.（2015?高考全國卷II）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的

“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的小6分別為14,18,則輸出的〃=（）

A.0B.2

C.4D.14

解析：第一次執(zhí)行，輸入。=14,6=18,因為a。，所以〃=18—14=4;第二次執(zhí)行，

因為a=14,b=4,a>b,所以“=14—4=10;第三次執(zhí)行，因為。=10,力=4,a>b,所以

。=10—4=6;第四次執(zhí)行，因為。=6,b=4,a>bf所以。=6—4=2:第五次執(zhí)行,因為

a=2,b=4,a<h,所以b=4—2=2,此時〃=b=2,故選B.

答案：B嘩

4.根據框圖，當輸入x為2016時，輸出的y=()

AM/

A.2B.4

C.10D.28

否

解析：由題意可得，k依次為2016,2014,2012,0,-2,執(zhí)行)，1尸3、1|

=3-(-2)+1=10,故輸出的y=10,選C.7出〃

第二節(jié)隨機抽樣

抽樣方法

(1)理解隨機抽樣的必要性和重要性.

(2)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本.

(3)了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.

■MBPgpgZH6HIHU1GU...............

如曰知識回回?穩(wěn)固根基

知識點抽樣方法

類別各自特點相互聯(lián)系適用范圍共同點

簡單隨機

從總體中逐個抽取最基本的抽樣方法總體中的個體數(shù)較少抽樣過

抽樣

程中每

將總體平均分成幾部

個個體

分，按事先確定的規(guī)在起始部分抽樣時，

系統(tǒng)抽樣總體中的個體數(shù)較多被抽到

則分別在各部分中抽采用簡單隨機抽樣

的可能

取

性相等

分層抽樣將總體分成幾層，按各層抽樣時采用簡單總體由差異明顯的幾

各層個體數(shù)之比抽取隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣部分組成

易誤提醒（1）簡單隨機抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個抽取，是不放回抽樣，且

每個個體被抽到的概率相等.

（2）系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù)，當:不是整數(shù)時，注意剔除，

剔除的個體是隨機的，各段入樣的個體編號成等差數(shù)列.

（3）分層抽樣中，易忽視每層抽取的個體的比例是相同的，即都等于

思:林體個數(shù)N

［自測練習］

1.為了了解參加知識競賽的1252名學生的成績，決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個

容量為50的樣本，那么總體中應隨機剔除的個體數(shù)目是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：因為1252=50X25+2,所以應隨機剔除2個個體，應選A.

答案：A

2.從300名學生（其中男生180人，女生120人）中按性別用分層抽樣的方法抽取50人

參加比賽，則應該抽取男生人數(shù)為（）

A.27B.30

C.33D.36

解析：本題考查分層抽樣等基礎知識.因為男生與女生的比例為180：120=3：2,所

3

以應該抽取男生人數(shù)為50乂弄］=30.

答案：B

3.已知某商場新進3000袋奶粉，為檢查其三聚鼠胺是否達標，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方

法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號碼是11,則第六十一組抽出的號碼為.

解析：每組袋數(shù)：1=皆=20,

由題意知這些號碼是以11為首項,20為公差的等差數(shù)列.461=11+60X20=1211.

答案：1211

■■■MMKAODiANYANJIU-------------------------------------

您曾回》考點研究》強技提能

簡單的隨加抽樣|良恚T堡星

考支一

1.下列抽取樣本的方式是簡單隨機抽樣的有（）

①從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本；

②箱子里有100支鉛筆，今從中選取10支進行檢驗，在抽樣操作時，從中任意拿出一

支檢測后再放回箱子里；

③從50個個體中一次性抽取5個個體作為樣本.

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析：①不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點；②不滿足不放回抽取的特點；③不滿足逐個

抽取的特點.

答案：A

2.（2015?唐山二模）用簡單隨機抽樣的方法從含有100個個體的總體中抽取一個容量為

5的樣本，則個體M被抽到的概電為（）

A，B，

AI（X）D99

c,20u-50

解析：一個總體含有100個個體，某個個體被抽到的概率為去，用簡單隨機抽樣方式

從該總體中抽取容量為5的樣本，則某個個體被抽到的概率為5=*.

答案：C

》規(guī)律方法

一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點

一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可

用抽簽法.

考點二條統(tǒng)獨樣|屐卑

［典題悟法］

典創(chuàng)1（2015?黑龍江哈爾濱六中模擬）哈六中2015屆有840名學生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方

法，抽取42人做問卷調查,將840人按1,2,…，840隨機編號,則抽取的42人中,編號

落入區(qū)間［481,720］的人數(shù)為（?

A.11B.12

C.13D.14

［解析］使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人.所以從編號

1—480的人中，恰好抽取嗡=24（人），接著從編號481?720共240人中抽取怨=12人.故

選B.

［答案］B

》規(guī)律方法

解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個關鍵步驟

(1)分組的方法應依據抽取比例而定，即根據定義每組抽取一個樣本.

(2)起始編號的確定應用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確

定了.

［演練沖關］

1.(2015?陜西師大附中模擬)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此

將他們隨機編號為1,2,…，960.分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為

9.抽到的32人中，編號落入區(qū)間［1,450］的人做問卷A,編號落入區(qū)間［451750］的人做問卷8,

其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為.

解析：設〃抽到的號碼為期，

則詼=9+30(〃-1)=30〃-21,由750V30〃一21W960,

得25.74W32.7,

所以〃的取值為26,27,28,29,30,31,32,共7個，

因此做問卷。的人數(shù)為7.

答案：7

考，玄三分層抽樣|HEZim琵光

［典題悟法］

典例2(1)(2015?高考福建卷)某校高一年級有900名學生，其中女生400名.按男女比

例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數(shù)為

x45

［解析］設應抽取的男生人數(shù)為X,則onn—解得x=25.

［答案］25

(2)(2015?鄭州二檢)最新高考改革方案已在上海和浙江實施，某教育機構為了解我省廣

大師生對新高考改革方案的看法，對某市部分學校500名師生進行調查，統(tǒng)計結果如下：

贊成改革不贊成改革無所謂

教師120y40

學生XZ130

在全體師生中隨機抽取1名“贊成改革”的人是學生的概率為0.3,且z=2y.

①現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調查，則應抽取“不贊

成改革”的教師和學生人數(shù)各是多少？

②在①中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機選出3人進行座談，求至少有1名教師

被選出的概率.

［解］①由題意知肅=0.3,所以工=150,所以y+z=60,

因為z=2y,所以y=20,z=40,

則應抽取教師人數(shù)為普義20=2,應抽取學生人數(shù)為磊義40=4.

②所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a,b,4名學生記為123,4,隨機選出3人

的不同選法有3,b,l),3,6,2),(%加3),3,M),3,1,2),3,1,3),(0,1,4),3,2,3),(。,2,4),

3,3,4),(也1,2),S,l,3),(41,4),Q23),仍,2,4),0,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),

共20種，

至少有1名教師的選法有(a,b,l),(a,b,2),(a,b,3),{a,-4),(4,1,2),(a,1,3),31,4),

(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(加1,2),(6,1,3),(b,1,4),3,2,3),0,2,4),(a3,4),共16種，

164

故至少有1名教師被選出的概率戶=/=亍

》規(guī)律方法

進行分層抽樣的相關計算時，常用到的關系式

樣本容量〃該層抽取的個體數(shù)

(D總體的個數(shù)N—該層的個體數(shù).

(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.

［演練沖關］

2.(2016.撫順模擬)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬

類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若

采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()

A.4B.5

C.6D.7

解析：四類食品的每一種被抽到的概率為

20_1

40+10+30+20=予

???植物油類和果蔬類食品被抽到的種數(shù)之和為(10+20)X1=6.

答案：C

V易錯防范系列|

XICUOFANGFANXILIEI26.系統(tǒng)抽樣中的易錯點

【典例】某班運動隊由足球運動員18人、籃球運動員12人、乒乓球運動員6人組成

（每人只參加一項），現(xiàn)從這些運動員中抽取一個容量為〃的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽樣法和

分層抽樣法，則都不用剔除個體；當樣本容量為〃+1時，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除

1個個體，那么樣本容量〃為.

［解析］總體容量為6+12+18=36.當樣本容量為〃時，由題意可知，系統(tǒng)抽樣的抽樣

距為學分層抽樣的抽樣比是熱則采用分層抽樣法抽取的乒乓球運動員人數(shù)為6X卷=看，

籃球運動員人數(shù)為足球運動員人數(shù)為18Xa=*可知〃應是6的倍數(shù)，36的

約數(shù)，故〃=6』2』8.當樣本容量為〃+1時，剔除1個個體，此時總體容量為35,系統(tǒng)抽樣

的抽樣距為47，因為丹7必須是整數(shù)，所以〃只能取6,即樣本容量〃為6.

〃十1〃十1

［答案］6

［易錯點評］解題易忽視系統(tǒng)抽樣的抽樣距必須是整數(shù)導致失誤.

［防范措施］系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù)，當辭不是整數(shù)時，

注意剔除，剔除的個體是隨機的，各段入樣的個體編號成等差數(shù)列.

［跟蹤練習］某中學采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學生中抽50名學

生做牙齒健康檢查.現(xiàn)將800名學生從1到800進行編號.已知從33?48這16個數(shù)中取的

數(shù)是39,則在第1小組1?16中隨機抽到的數(shù)是（）

A.5B.7

C.11D.13

800

解析：間隔數(shù)2=而=16,即每16人抽取一個人.由于39=2X16+7,所以第1小組

中抽取的數(shù)為7.

答案：B

而E0tMz0M0AAMcE

圖回》跟蹤檢涌?查漏補缺

A組考點能力演練

1.（2016?蘭州質檢）從一個容量為N的總體中抽取一個容量為〃的樣本，當選取簡單隨

機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別

為Pl、P2、P3,貝！1（）

A.P1=P2Vp3B.P2=P3Vpi

C.pi=p3Vp2D.P1=P2="3

解析：根據簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義可知，無論哪種抽樣，每個個體

被抽中的概率都是相等的，所以閉=〃2=P3,故選D.

答案：D

2.某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否

存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（）

A.抽簽法B.隨機數(shù)法

C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣法

解析：從全體學生中抽取100名應用分層抽樣法，按男、女學生所占的比例抽取，故選

D.

答案：D

3.（2016?石家莊模擬）某學校高三年級一班共有60名學生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中

抽取6名學生做“早餐與健康”的調查，為此將學生編號為1,2,…，60.選取的這6名學生

的編號可能是（）

A.1,2,3,456B.6,16,26,36,46,56

C.1,2,4,8,16,32D.3,9,13,27,36,54

解析：系統(tǒng)抽樣是等間隔抽樣，只有B選項符合.

答案：B

4.某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數(shù)量之比為3：5：7,現(xiàn)用分層抽樣

的方法抽出容量為〃的樣本，其中甲種產品有18件，則樣本容量〃=（）

A.54B.90

C.45D.126

3

解析：依題意得3+5+7乂〃=18,解得〃=90,即樣本容量為90.

答案：B

5.某工廠的三個車間在12月份共生產了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產品的質

量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若第一、二、三車間抽取的產品數(shù)分別為小b,c,

且小力，。構成等差數(shù)列，則第二車間生產的產品數(shù)為（）

A.800B.1000

C.1200D.1500

解析：因為〃，/?,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c.

因為c=b,所以第二車間抽取的產品數(shù)占抽樣產品數(shù)的小根據分層抽樣的性質，

可知第二車間生產的產品數(shù)占總教的/即為：X3600=1200.

答案：C

6.某學校共有師生3200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160

的樣本，已知從學生中抽取的人數(shù)為150,那么該學校的教師人數(shù)是.

解析：本題屬于分層抽樣，設該學校的教師人數(shù)為x,所以六次=-Z—,所以X=

200.

答案：200

7.（2016?武夷模擬）用系統(tǒng)抽樣法要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學

生隨機地從1?160編號，按編號順序平均分成20組（1?8號，9?16號，…，153?160號），

若第16組抽出的號碼為126,則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是.

解析：設第1組抽取的號碼為6,則第〃組抽取的號碼為8（〃一l）+b,???8X（16—1）+力

=126,:.b=6,故第1組抽取的號碼為6.

答案：6

8.（2016.濰坊模擬）某高中在校學生有2000人.為了響應“陽光體育運動”的號召，

學校開展了跑步和登山比賽活動.每人都參與而且只參與其中一項比賽，各年級參與比賽的

人數(shù)情況如下表：

高一年級高二年級高三年級

跑步abC

登山XyZ

其中a：b：c=2：3：5,全校參與登山的人數(shù)占總人數(shù)的2?為了了解學生對本次活動的

滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調查，則從高二年級參與跑步的學生中應抽取

解析：根據題意可知樣本中參與跑步的人數(shù)為200X^=120,所以從高二年級參與跑步

3

的學生中應抽取的人數(shù)為120><2+3+5=36?

答案：36

9.一次數(shù)學模擬考試，共12道選擇題，每題5分，共計60分，每道題有四個可供選

擇的答案，僅有一個是正確的.學生小張只能確定其中10道題的正確答案，其余2道題完

全靠猜測回答.

小張所在班級共有40人，此次考試選擇題得分情況統(tǒng)計表如下：

得分（分）4045505560