高中數(shù)學(xué)題型講義(直線與圓)

直線與圓題型庫（1）

學(xué)問精髓

■直線方程

令二個概念（斜率、傾斜

角）

令三個距離（點點、點線、

重點難點：

平行線間）

直線間關(guān)系

令四組關(guān)系（相交、平行、

難點：對稱關(guān)系；直線旋轉(zhuǎn)肯定角度后的斜率計算，如過圓外固定

垂直、對稱）

點的兩條切線或割線斜率計算。

令五種形式（點斜（標(biāo)

直線與圓間關(guān)系

準(zhǔn)）、斜截、兩點、截

圓與圓間關(guān)系

距、一般）

溫馨提示：時刻不要遺忘斜率不存在狀況的探討

■圓方程

令兩種形式（標(biāo)準(zhǔn)、一般）

令三種關(guān)系（點圓、線圓、

圓圓）

主干題型思維路徑

?傾斜角范圍探討

T1***已知（ze[—,—）,求直線

62

2xcosa+3y+1的傾斜角范圍？T1:左=一2。；，,cosae（0,#],n上￡[-^-,0）,=>彳頃斜角aG[著,"）

T2（10）****xcosa+V3y+2=0,求

T2：k=一co",因為一1<COSQ<1n一正《人

百33

其傾斜角范圍？

如圖：直線越靠近y軸，斜率肯定值越大，反之亦然

溫馨提示：傾斜角范圍一般由斜率范

本題中=一4<左<4,其肯定值網(wǎng)《4，直線越靠近X軸，所

圍反演，有兩種情形：兩邊和中間，

即：以傾斜角是[0,芻3學(xué)㈤

66

①上2%或％<k0；②k\Gk&k,

斜率逆時針增大：0+8,跨過y軸

后，-80正切函數(shù)在[0段)和(]/)

上單增

斜率肯定值越大，直線越靠近y軸，

肯定值越小，直線越靠近X軸。

T1:求直線斜率范圍，要重點分析動直線是否存在“垂直狀態(tài)”情

?斜率范圍探討

形，若存在，則分兩類：＞0和＜0,若不存在，則要么是在.＞0類范

T1***直線/過點尸(-1,2),且與以

圍，要么在＜0類范圍。

A(-2,-3),(3,0)為端點的線段相交,求

通過圖形可知本題動直線存在“垂直狀態(tài)”的狀況，因此分兩類

直線/的斜率范圍？

探討。

?求直線方程(求斜率和過點，點

斜式是根本)T1：這種類型的題高考不會考，屬于基本功題型；但必需嫻熟駕

T1***直線經(jīng)點P(2,3),且兩坐標(biāo)上的馭，為高考題打下基礎(chǔ)；

截距相等，求直線方程？T2：這類題屬于條件約束下的直線方程問題，通解思路就是依據(jù)

T2****過點尸(2,1)的直線/交兩軸于條件選擇合適直線方程形式，寫出含參的直線方程形式，依據(jù)約

兩點，求(1)當(dāng)AAOfi面積最小時直束條件建立參數(shù)方程，進而求出參數(shù)即可。這也是全部這類題型

線方程？(2)最小時直線方的通用解法。

程？

直線與圓題型庫(2)

主干題型思維路徑

快捷提示：只要涉與到直線問題，就得單拎出

?兩條直線的平行與垂直斜率不存在的狀況進行分析

T1***(10)過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行(垂直)TK略。

的直線方程是？T2：先分析①特別情形：/Jx軸：sin8=0,此

T2****已知兩條直線時：匕不存在；k2=-2sin0

/1:x+ysin^-l=l:2xsin6+y+l=0,試求兩直線平再分析②一般情形：匕=-」一;N=-2sin6

2sin。-

行、垂直時。的值。然后再以上的兩種狀況下分別從平行和垂直約

束下求參數(shù)值

?兩直線交點問題

T1***直線/過兩直線3x+2y-1=0和

5x+2y+l=0的交點，且垂直于直線3x-5y+6=0的直線TK求出交點和斜率，點斜式寫出即可。

方程？T2：可通過圖象分析求得。

T2****(10)直線y=與直線x+y-l=0的交點位于

第一象限，則左范圍？

T1：分特別狀況和一般狀況進行分類分析；

?距離問題

T2：圖上形如圖：f「

T1****求過點(-2,2)且與點(-1,1)的距離為1的直

線方程？

T2****直線/：3x-y-1=0與點A(4,1),B(0,4),C(2,0)

求(1)在直線/上求一點P,使得最小；(2)在直線/上

同側(cè)

求一點Q,使得肯定值最大。

兩側(cè)

?中點問題

T1：中點問題一般是設(shè)中點線段坐標(biāo)，然后中

T1****過點p(3,0)作直線/使它被兩條直線

點公式表示中點，如本題：可設(shè)線段的一個端

2x-y-2=0和x+y+3=0所截得線段恰好被P點平分，求

點是(再,%),另一個端點區(qū)，，則可列出四個

直線/方程？

方程(斜率和中點：2+2),然后只要求出一個

端點，則就能把中點線段方程寫出，

直線與圓題型庫(3)

主干題型思維路徑

T：思路1：軌跡法：所求直線上任一點(x,y)關(guān)于對

?點對稱問題稱點(2,3)的對稱點(中點關(guān)系)在已知直線上，

T***直線/:y=4x+l關(guān)于點(2,3)對稱的直線方因止匕：2x3-y=4(2x2—x)+l

程？思路2：點對稱直線平行且對稱點到兩直線距離相

等。利用這個幾何關(guān)系列方程也可。

T：思路1：軌跡法：直線4上任一點(x,y)關(guān)于直線/

的對稱點肯定在已知直線4上，

其中軸對稱點關(guān)系：連線垂直對稱軸+中點在對稱軸

?軸對稱問題

T****直線/:3》+4y-l=0,直線4:2x+y-4=0,直上

思路2：詳細點：在已知直線上取一詳細點(0,4),

線4與直線4關(guān)于直線/對稱，求直線4方程？

然后求出其關(guān)于對稱對稱的點(%,%),然后與對稱

軸和已知直線交點用兩點式寫出直線方程。

總而言之就是|等腰三角形|關(guān)系

主干題型思維路徑

?求圓方程

圓就抓圓心。因此本類題關(guān)鍵是要把圓心的坐標(biāo)求

T1***圓半徑為，圓心在直線y=2x上，圓被直

出，見弦就垂徑！，垂徑后解直角三角形！

線y=X截得弦長為4應(yīng)，求圓標(biāo)準(zhǔn)方程？

解略。

T2****圓心在x軸上，半徑為6的圓0位于y軸左

側(cè)，且與直線x+2y=0相切，則圓方程？

T3****(10L)過點(1,4)的圓C與直線x-y-1=0

相切于點B(2,1)則圓C的方程為？

T1：已知方程/(x,y)=0是一條幾何曲線，所求表達

?與圓有關(guān)的最值問題也是一種幾何度量，綜合兩者求出其范圍。所求表

T1****已矢口方程f+/一4；(；+1=0,求(1)y—無范達一般有三種形式結(jié)構(gòu)：①4=依+分，直線平移中

圍；(2)求Y+y2的范圍；(3)求上的范圍？的截距范圍(如：線性規(guī)劃)；②〃=(x-4+(i)2：

丁2****(11)在圓/+/—2乙-6丁=0內(nèi),過點E(0,1)以點(“,6)為圓心的圓半徑范圍；③〃=~：曲線

x-a

的最長弦和最短弦分別為、，則四邊形的面積為？上點與點①力)連線的斜率范圍。

T2：最長弦：直徑；最短弦：中點弦。

直線與圓題型庫(4)

主干題型思維路徑

?與圓有關(guān)的軌跡問題T1：(1)求軌跡方程首先把軌跡點的坐標(biāo)設(shè)為(x,y),然

T1(11****設(shè)圓C與兩圓后依據(jù)題目約束條件求出方程/(x,y)=0即可。

(x+6)2+y2=4,(x一6)2+y2=4中的一個內(nèi)切，題目約束關(guān)系為：

另一個外切，(1)求圓C的圓心軌跡方程(2)［圓C與一圓圓心距離=它們半徑之差(內(nèi)切)一

《或

［圓C與另一圓圓心距離=它們半徑之和(外切)

已知點M(半，竽),尸(石,0)且P為L上動點，

'圓C與一圓圓心距離=它們半徑之和(外切)處后依據(jù)

〔圓C與另一圓圓心距離=它們半徑之差(內(nèi)切)'后后

求’研-3日的最大值與此時點P的坐標(biāo)。

題目條件求方程關(guān)系。

(2)由(1)可知軌跡L是一組焦點在x軸上的雙曲線，

已知點M、F分布于一支雙曲線的兩側(cè)，連線與雙曲線

的交點即為所求。(2,(竿,—半)

T：圓的一般方程中參數(shù)的范圍核心約束就是“半徑表

達”>0且二次項系數(shù)/0

?圓的一般方程應(yīng)用

因此首先"0,然表達半徑

T(10M)****若方程ax?+ay2-4(a-l)x+4y=0表

/=》十上_4/=應(yīng)/+2)>0

示圓，求參數(shù)。取值范圍，并求出其半徑最小的a

圓方程.r2=⑹?一產(chǎn)+2)="(I—2+N)>0,轉(zhuǎn)化為二次反比例

aaa

復(fù)合函數(shù)的值域問題

?綜合求圓方程

T(10M)****依據(jù)下列條件求圓方程：

(1)過點尸(1,1)和坐標(biāo)原點，且圓心在直線

T：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程

2x+3y+1=0上；

(2)思維1：標(biāo)準(zhǔn)方程，思維2：切線關(guān)系。

(2)圓心在直線

(3)思維L一般方程；思維2：兩條線段中垂線交點

y=-4x上，且與直線/:x+y-1=0相切于

為圓心

點P(3,-2)

(3)過三點41,12),3(7,10),C(—9,2)

直線與圓題型庫(5)

直線與圓關(guān)系學(xué)問精髓

令兩個問題：切線和弦長

2

切線方程：圓方程（工-。）?+（y-8）2=/,過點尸（如K）的切線方程為：（x0-?）（a:-a）+（y0-b）（y-b）=r

2222

特別情形：x+y=r,過點POo，%）的切線方程為：xox+yoy=r

以上公式推理邏輯：幾何法：圓心切點連線垂直切線，切點在切線和圓上；代數(shù)法：斜截

式直線斜率滿意相交方程A=0關(guān)系。當(dāng)然也可以利用導(dǎo)數(shù)工具。

留意：不要遺忘斜率不存直線的探討！

弦長問題：圓截直線弦：幾何法和代數(shù)法。幾何法（垂徑關(guān)系下的勾股定理）在圓中首選，代數(shù)法通

用于全部曲線弦問題。|=&1+左2）［（石+々）2—

令三種直線與圓的關(guān)系：相交、相切、相離（代數(shù)法：相交二次方程A;幾何法：圓心到直線的距離與

半徑關(guān)系）

令四種圓與圓的關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、相離（外離、內(nèi)含）幾何法：圓心和（差）與半徑和（差）

關(guān)系）

令圓系方程：

同心圓系：x2+y2+Dx+Ey+A=O^（x-a）2+（y-b）2=r2過兩圓交點圓系：7j（x,y）+2力（x,y）=0,

（2*0,不包括圓2）

兩圓公共弦直線方程：（。-2）x+（g-E2）y+f；-招=0

溫馨提示：遇到圓的問題時，多用幾何關(guān)系，輔以代數(shù)處理。

主干題型思維路徑

?直線與圓的關(guān)系T1：遇到參數(shù)直線形式，肯定要找到變中的不變，

T1（11）***直線/:y=-x+g）與圓d+y?=1的位置要不過定點（繞定點轉(zhuǎn)動），要不斜率不變（傾斜

關(guān)系是什么？肯定平移），本題直線過定點（-L。），然后再考察

2

T2（11）****將圓/+丁=1沿*軸正方向平移1個定點與圓的關(guān)系，代入計算知：在圓內(nèi)，因此直線

單位后得圓C,若過點（3,0）的直線/和圓C相切，與圓相交。

則直線/的斜率=?當(dāng)然也可以計算圓心到直線距離表達后與半徑比

T3（09L）***圓C與直線x—y=0與x—y—4=0都相較；或者計算相交二次方程的△

切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為？T2：幾何法：畫出切線直角三角形，并依據(jù)直角三

T4（11L）****若曲線Q-.x2+y2-2x=0與曲線角形三邊長計算切線斜率。

C2：y（y-祖）=0有四個不同交點，則參數(shù)機取值代數(shù)法：圓心（1,0）到直線y=3）的距離=半

范圍？徑，求出左。

丁5（12）***圓（3：x2+y2-4x=0,/過點（3,0）,則T3：畫圖從幾何關(guān)系入手分析。（X-1）2+4+1）2=2

/與C的關(guān)系為？T4：曲線是由直線y=。和y=/。+1）【過定點

（先推斷定點與圓c的關(guān)系：內(nèi)部，因此相交）（T,0）】組成，畫圖后可知，兩條臨界直線是斜

率為士害，旋轉(zhuǎn)過程中不能與0重合（四個交點）。

直線與圓題型庫（6）

主干題型思維路徑

T1：（1）垂徑直角關(guān)系求之

?弦長與中點弦問題

聞

T1****圓x2+y2=8內(nèi)一點P（-l,2）,過點P的直線/（2）思維1：設(shè)出A、B兩點坐標(biāo)，列出在圓上的方

的傾斜角為直線/交圓于A、B兩點，（1）當(dāng)程，兩式相減求出斜率。

&=紅時，的長為？（2）當(dāng)弦被點P平分時，求思維2：挖掘幾何關(guān)系：圓心與弦中點P連線后垂直

4

弦，中點又在弦上。直線方程可求。

直線/方程。?

T2：幾何法：如圖：過圓外肯定點固定弦長

T2（10）****直線y=fcc+3與圓（x-3>+（y-2>=4

定點P與圓心連線斜率=治，

相交于M、N兩點，若|MN七2百，則左取值范圍？

利用垂徑定理可算出上下對稱角的正切值《

（過圓外肯定點的定值弦長問題）

上切線的斜率％=4*

1_kgk'

T3****直線y=x+l上一點向圓（X-3）2+y2=1引切

下切線的斜率左=4。傾斜角的和差關(guān)系（正切

線，則切線長最小為？

l+kok

T4（11M）****過點P（3,4）作圓/+；/=］的兩條和差公式）

代數(shù)法：表達出MN=/（A）,然后滿意了⑹2

切線，切點為A、B,則線段長為？

T3：遇到切線連圓心和切點，然后解切心直角三角形：

T5（12L）