高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義專題強化訓(xùn)練(十八)

專題強化訓(xùn)練(十八)

一、單項選擇題

1.已知點P(l,2),則當(dāng)點P到直線2ax+y-4=0的距離最大時,

a=(B)

A.1B.-i

4

C.iD.V5

4

解析:因為直線恒過定點A(0,4),則當(dāng)PA與直線2ax+y-4=0垂直時,

點P到該直線的距離最大，此時過點P,A的直線的斜率為-2,所以直線

2ax+y-4=0的斜率為泉即-2a=1,所以a=-i.故選B.

2.(2022?山東濟南模擬)已知a>0,b>0,直線11:x+(a-4)y+l=0,

k：2bx+y-2=0,且則」a+1T+三2b的最小值為(D)

A.2B.4

C.-D.-

35

解析：已知a>0,b>0,直線li：x+(a-4)y+l=0,l2:2bx+y-2=0,且li±l2,

所以lX2b+(a-4)X1=0,即a+2b=4,

則工(工+工)J(i+也+￡±l+i)泉(2+2/也?山)),

a+l2b5a+12b5a+12b5\]a+12b5

當(dāng)且僅當(dāng)2b=a+1,即冶時,取等號,故七+5的最小值為去

24a+12b5

故選D.

3.(2022?浙江臨海模擬預(yù)測)已知M為直線y=x+l上的動點,N為圓

x2+y2+2x+4y+4=0上的動點，則|MN|的最小值是(D)

A.V2B.2-V2

C.1D.V2-1

解析：由圓x2+y2+2x+4y+4=0,得(x+l)z+(y+2)2=l,可得圓心的坐標(biāo)為

半徑為1,

圓心到直線x-y+l=O的距V離2而M為直線尸x+1上的動

點,N為圓x2+y2+2x+4y+4=0上的動點，則|MN|的最小值是或-L故

選D.

4.從直線l:3x+4y=15上的動點P作圓x2+y2=l的兩條切線,切點分別

為C,D,則NCPD最大時，四邊形OCPD(O為坐標(biāo)原點)的面積是(B)

A.V3B.2V2

C.2V3D.2

解析：圓x2+y2=l的圓心為坐標(biāo)原點0,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則

Z0PC=Z0PD,

設(shè)N0PC=N0PD=0,貝ijZCPD=20,0C_LPC,則sin0二第二%,

當(dāng)IOPI取最小值時,0P±l,此時10P|力翼^3,

V32+42

因為|PC|二|PD|二J|OP『-12二2/,|0C|二|0D|,|OP|=|OP|,故△OPC0

△OPD,此時S四邊形OCPD=2S&P產(chǎn)|0C|?|PC|二1X2A/2=2V2.故選B.

5.（2022?安徽合肥二模）已知直線L：mx-y=0（m￡R）過定點A,直線

l2:x+my+4-2m=0過定點B,L與b的交點為C,則AABC面積的最大值

為（C）

A.VioB.2V5

C.5D.10

解析:直線L:mx-y=0(m￡R)過定點A(0,0),直線b:x+my+4-2m=0過定

點B(-4,2),

聯(lián)立一2巾=。，消去m得(x+2)2+(yT)、5,又A(0,0),

B(-4,2)在圓(x+2)2+(y-l)2=5上,且線段AB為圓的直徑，

故心|2+|03|2=2022仆|0|,所以3||CB|^10,

當(dāng)且僅當(dāng)ICAUICB31U時，取等號,AABC面積S^ICA?|CB|的最

大值為5.故選c.

6.(2022?甘肅二模)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與阿基米德、

歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn):如果一個動

點p到兩個定點的距離之比為常數(shù)入(入＞0,且入W1),那么點p的軌

跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點C到A(-1,O),B(1,O)的距

離之比為百，則點C到直線x-2y+8=0的距離的最小值為(A)

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2A/5D.V3

解析:設(shè)C(x,y),貝■=V3,B|J.==V3,化簡得(x-2)2+y2=3,

所以點C的軌跡為以D(2,0)為圓心，廠通的圓，則圓心D到直線

x-2y+8=0的距離匕產(chǎn)+8|二2心所以點c到直線x-2y+8=0的距離

Jl2+(-2)2

的最小值為2V5-V3.故選A.

7.(2022?江西模擬預(yù)測)設(shè)A(-2,0),B(2,0),0為坐標(biāo)原點，點P滿足

|PA|2+|PB|2^16,若直線kx-y+6=0上存在點Q使得/PQ04,則實數(shù)k

6

的取值范圍為(C)

A.[-4^/2,4亞

B.(-oo,-4V2]U[4V2,+8)

C.(-8,一爭U[y,+8)

D.中,李

解析:設(shè)P(x,y),因為|PA12+1PB12W16,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2<解

BPx2+y2^4,

所以點P的軌跡為以原點為圓心,2為半徑的圓面.若直線kx-y+6=0

則PQ為圓x2+yM的切線時NPQ0最大,所以sinNPQO二黑二焉21

即|0Q|W4,

所以圓心到直線kx-y+6=0的距離d;備＜4,所以苧或k等.

故選C.

8.(2022?廣東鐵一中學(xué)高三期末)己知mWR,過定點A的動直線

mx+y=0和過定點B的動直線x-my-m+3=0交于點P,則|PA|+g|PB|的

取值范圍是(D)

A.(V10,2A/10]B.(J1U,V30]

C.V30)D.[V10;2A/10]

解析:動直線mx+y=O過定點A(0,0),動直線x-my-m+3=0,

即x+3-m(y+l)=0過定點B(-3,-1),且兩條直線垂直，

所以點P在以AB為直徑的圓上，|AB|=Vl2+32=V10,

設(shè)NABP=。，則iPAlWIUsin0,|PB|=V10cos。，?！闧0,發(fā)，

所以|PA|+B|PB|="Usin0+V30cos0=2V10sin(0+-),

因為0e[0,9所以0+善耳爭，所以$打(09)e1],

所以2V10sin(*)WhM2VT0].故選D.

二、多項選擇題

9.(2022?山東淄博三模)己知圓01:x2+y2-2x-3=0和圓02：x2+y-2y-l=0

的交點為A,B,貝ij(ABD)

A.圓a和圓O2有兩條公切線

B.直線AB的方程為x-y+l=0

C.圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|>|AB|

D.圓0i上的點到直線AB的最大距離為2+V2

解析:對于A,因為兩個圓相交,所以有兩條公切線,故A正確；

對于B,將兩圓方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程為

x-y+l=0,故B正確；

對于C,直線AB經(jīng)過圓。2的圓心（0,1）,所以線段AB是圓。2的直徑，

故圓Oz中不存在比線段AB長的弦,故C錯誤；

對于D,圓的圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑為2,圓Ch的圓心到直線

AB:x-y+l=0的距離為空-二位,所以圓G上的點到直線AB的最大距離

為2+V2,故D正確.故選ABD.

10.（2022?江蘇通州高三期末）已知點A（4,3）在以原點0為圓心的圓

上,B,C為該圓上的兩點,滿足血＞&,則（ABD）

A.直線BC的斜率為；

4

B.ZA0C=60°

C.AABC的面積為25V3

D.B,C兩點在同一象限

解析:BC=OA則BC,0A平行且相等,kmc=k°d，A正確;

t4

因為10B|=10A|,所以四邊形OACB是菱形,且△AOC,AB0C都是正三角

形，即NA0C=60。，B正確,

10A|=V42+32=5,S^BC=1X52Xsin120°二竽,C錯誤，

24

設(shè)BC所在直線方程為y^x+b,即3x-4y+4b=0,

4

因為|BC|=5,所以0到BC的距離為尊,則蜷『二等解得b二士萼，

當(dāng)b巨務(wù)5時,由y-x+—,取y=0,可得x=--＜-5,

8486

則B,C均在第二象限；

當(dāng)b=-等＜-5時，由y1x-萼,取y=0,可得X二等＞5,

8486

則B,C均在第四象限.綜上,B,C兩點在同一象限,D正確.故選ABD.

11.（2022?湖北恩施高三期末）已知圓M:x?+（y-2）2=1,點P為x軸上

的一個動點,過點P作圓M的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與MP

交于點C,則下列結(jié)論正確的是（ACD）

A.四邊形PAMB周長的最小值為2+2V3

B.|AB|的最大值為2

C.直線AB過定點

D.存在點N使使N|為定值

解析:如圖所示.

設(shè)|MP|=t,則AP|二|BP|八仔五,所以四邊形PAMB的周長為2VFn+2,

當(dāng)點P位于原點時,t取最小值2,故當(dāng)t取最小值2時，四邊形PAMB

的周長取最小值為2V3+2,故A正確；

由S四邊形PAMB二2s△PAM可得:?|MP|?|AB|=2X|X|PA|XI,

則|ABI座號二2后,而122,則8W|AB|<2,故B錯誤；

tyj

設(shè)P(x0,0),A(xbyi),B(X2,y2),則PA的方程為Xix+(y-2)(y-2)=l,PB

的方程為x2x+(y2-2)(y~2)=l,

而P(x0,0)在切線PA,PB上，故x1Xo+(y-2)X(-2)=1,

-

x2xo+(y22)X(-2)=1,故AB的直線方程為xxo+(y~2)X(-2)=1,

當(dāng)x=0時,y=|,即AB過定點(0,|),故C正確；

由圓的切線性質(zhì)可知MP1AB,設(shè)AB過定點0(0,|),則點C位于以MD

為直徑的圓上,設(shè)MD的中點為N,則N(0,今，則|CN|為定值，故D正確.

故選ACD.

22

12.(2022?山東臨沂高三期末)已知圓C：x2+y2=l,圓C2:x+y=4,

P(x|,yI)在圓G上,Q(x2,y2)在圓C2上，則(ABD)

A.|PQ|的取值范圍是[1,3]

B.直線x1x+y1y=l是圓G在點P處的切線

C.直線xix+y1y=4與圓C2相交

D.直線x2x+y2y=l與圓x2+y2q相切

解析：圓G：x2+y2=l的圓心為G(0,0),半徑為1,圓C2：x?+y2=4的圓心

為C2(0,0),半徑為2,

觀察圖象可得2-1W|PQ|W2+1,所以|PQ|的取值范圍是[1,3],

A正確；

因為XiXi+yiyFl,所以點P(xby)在直線Xix+y1y=l上，

又G(0,0)到直線xix+yu=1的距離山二下^=1,又圓G的半徑為1,

所以直線x1X+yiy=l是圓C在點P處的切線,B正確;

因為點P(xby)在圓G上,所以優(yōu)+資=1,

所以C2(0,0)到直線x1X+yiy=4的距離d2=-=^=4,又圓C2的半徑為2,

丫2」,2

所以直線xix+yiy=4與圓C2相離,C錯誤;

圓x?+y2=的圓心為(0,0),半徑為點點(0,0)到直線x2x+y2y=l的距離

□—1」

32,

所以直線x2x+y2y=l與圓一+產(chǎn)4相切,D正確.故選ABD.

4

三、填空題

13.過點P(2,2)的直線L與圓(x-l)2+y2=l相切,則直線11的方程

為.

解析:當(dāng)過P(2,2)的直線L斜率不存在時,方程為x=2,

與圓(x-l)2+y2=l相切，滿足題意;

當(dāng)過P(2,2)的直線L斜率存在時,設(shè)方程為y-2=k(x-2),

即kx-y-2k+2=0,

所以圓-1)廿1的圓心(1,0)到L的距離d*瑞組1,解得嚀

所以l1：Hx-y4-i=0,即3x-4y+2=0,所以直線11的方程為3x-4y+2=0或

42

x=2.

答案：3x-4y+2=0或x=2

14.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(-l,0),B(2,1),在aABC中,BC邊

上的高所在直線的斜率為aAC邊上的中線所在直線的方程為y=l,則

直線BC的一般式方程為,以AC為直徑的圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程為

解析：因為BC邊上的高所在直線的斜率為a所以直線BC的斜率為-2,

直線BC的方程為y-l=-2(x-2),即2x+y-5=0.

設(shè)C(x°,y。)，因為AC邊上的中線所在直線的方程為尸1,所以養(yǎng)1,

即yo=2,

因為直線BC的方程為2x+y-5=0,所以2xo+yo-5=O,

則Xo=1,C(1,2),AC的中點為?1),白(1+62+1哼,所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)

224416

方程為(x-；)2+(yT)2哼.

416

答案：2x+y-5=0(x-i)2+(y-D2=^

15.(2021?浙江模擬預(yù)測)已知直線l:mx-尸1,若直線1與直線

x-my-l=0平行,則實數(shù)m