江蘇省蘇州市吳江區(qū)震澤中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期階段性測(cè)試（一）高一數(shù)學(xué)（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列命題中，真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則2.已知，則（）A. B. C. D.23.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.在上的值域?yàn)?.已知函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，為筒車轉(zhuǎn)動(dòng)后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：），則（）A. B. C. D.7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，以圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.1或二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.偶函數(shù)B.的值域?yàn)镃.不存在，使得D.區(qū)間上單調(diào)遞減10.對(duì)于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的零點(diǎn) B.與有相同的最大值C.與最小正周期不相同 D.與的圖象存在相同的對(duì)稱軸11.在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)定義過下列兩種三角函數(shù)：為角的正矢，記作；為角的余矢，記作.則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.若，則C.若函數(shù)，則的最大值為D.三、填空題：本題共3小題，每小則5分，共15分．12.函數(shù)定義域?yàn)開_____．13.已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______．14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若在的圖象上存在一點(diǎn)列：，，滿足且，那么滿足條件的的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，且．（1）求，的值；（2）求的值；（3）已知，且，求的值．16.已知，（1）若，求值；（2）若，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，直線與函數(shù)的圖象分別交于，兩點(diǎn)，求的最大值.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，求解不等式；（3）當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)值．19.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上恰有8個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；（3）設(shè)函數(shù)證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期階段性測(cè)試（一）高一數(shù)學(xué)（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列命題中，真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正方形可判斷A,D項(xiàng)錯(cuò)誤；再根據(jù)向量既有大小又有方向的特征排除B項(xiàng)，利用相等向量的定義確定C項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于A，如圖正方形中，若，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比較大小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因兩向量相等包括長度相等，方向相同，故C正確；對(duì)于D，如上圖中，，但，故D錯(cuò)誤.故選：C.2已知，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來求得正確答案.【詳解】.故選：C3.已知，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊角的三角函數(shù)值比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，即，因?yàn)?，所?故選：B.4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，顯然不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤．由，得，則，即在上的值域?yàn)?，故D正確．故選：D5.已知函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合條件可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.6.如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，為筒車轉(zhuǎn)動(dòng)后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，令即可求解.【詳解】設(shè)盛水桶在轉(zhuǎn)動(dòng)中到水面的距離為，時(shí)間為，由圖可知筒車轉(zhuǎn)動(dòng)后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)的角度小于，又筒車的角速度為2rad/min，所以所需的時(shí)間為，故A錯(cuò)誤；由題意可得，盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如下：，令，即，解得，又，可得，，故D正確；，，故C錯(cuò)誤；又，解得，故B錯(cuò)誤；故選：D.7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，以圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)圖象平移規(guī)則得出的解析式，再由對(duì)稱性及面積求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得結(jié)果.【詳解】如圖，不妨取縱軸右側(cè)的連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)，周期也為，可得，由面積為及對(duì)稱性知，，進(jìn)而，代入結(jié)合，得.故選：B8.已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】由題意可得，從而可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，即得，代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，①分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，即，②由①+②，得，由①-②，得，又因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，即有唯一解，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，的圖象也關(guān)于軸對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，解得或.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于分析得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，從而得到，由此得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.的值域?yàn)镃.不存在，使得D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義判斷A；換元并利用余弦函數(shù)值域判斷B；舉例說明判斷C；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，因此為偶函數(shù)，A正確；對(duì)于B，令，函數(shù)是R上增函數(shù)，值域?yàn)镽，函數(shù)的值域?yàn)?，因此的值域?yàn)?，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，存在唯一使得，則，且，因此存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.故選：ABD10.對(duì)于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的零點(diǎn) B.與有相同的最大值C.與最小正周期不相同 D.與的圖象存在相同的對(duì)稱軸【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡兩個(gè)函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷AD選項(xiàng)；利用正弦型的最值可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷C選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，?duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，由，可得，對(duì)于函數(shù)，由，可得，故函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，函數(shù)、沒有相同的零點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，的最大值為，的最大值為，故與的最大值相同，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，這兩個(gè)函數(shù)的最小正周期不同，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，函?shù)與的圖象存在相同的對(duì)稱軸，D對(duì).故選：BCD.11.在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)定義過下列兩種三角函數(shù)：為角的正矢，記作；為角的余矢，記作.則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.若，則C.若函數(shù)，則的最大值為D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A求單調(diào)減區(qū)間即可判斷，對(duì)于B，代入即可判斷，對(duì)于C即可求出的最大值，對(duì)于D即可判斷.【詳解】由已知有，，對(duì)于A：，令，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則，故B正確；對(duì)于C：，則最大值為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小則5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】要使函數(shù)有意義只須，再解不等式可得答案.【詳解】由，得，解得故答案為：.13.已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，可得出，求出的取值范圍為，令，，利用導(dǎo)數(shù)即可求出在上的最大值，即為所求.【詳解】設(shè)，則，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，，則，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，．故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若在的圖象上存在一點(diǎn)列：，，滿足且，那么滿足條件的的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，根據(jù)的奇偶性求出，即可得到的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，優(yōu)先找使，即可確定，從而得解.【詳解】因．又因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，又，所以，所以．因?yàn)椋?，所以．要求滿足條件的的最小值，只需優(yōu)先找使的點(diǎn)即可．結(jié)合的圖象，可令．故滿足條件的最小整數(shù)為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，且．（1）求，的值；（2）求的值；（3）已知，且，求的值．【答案】（1）（2）;（3）.【解析】【分析】（1）利用同角平方公式及象限角確定符號(hào)來求值；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，即可求值；（3）利用變單角為雙角差，再用兩角差余弦公式求值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，且，所以，即；【小?詳解】由；【小問3詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，則.16.已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）值域?yàn)椋?【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，又，故；【小?詳解】因?yàn)椋?，所以的值域?yàn)椋?，解之得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，直線與函數(shù)的圖象分別交于，兩點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）整理可得，進(jìn)而可得的最小正周期及的值；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，所以的最小正周期為；.【小問2詳解】將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到，再向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)【小問3詳解】由題意可知：兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，因?yàn)?，則，可得，所以在時(shí)的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，求解不等式；（3）當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意得到，求得，得到，結(jié)合圖象的變換求得，由不等式，即，即可求解；（3）化簡得到，求得，轉(zhuǎn)化為，得到方程組，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)，時(shí)，可得函數(shù)，令，所以單調(diào)增區(qū)間為；【小問2詳解】解：當(dāng)，時(shí)，可得，其中，因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，可得，即，解得，所以，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，由，即，則解得，所以不等式的解集為；【小問3詳解】當(dāng)，，時(shí)，則，可得，則，于是，可化