廣西壯族自治區(qū)北海市七中2024-2025學(xué)年第一高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁絕密★啟用前2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三12月考試數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解絕對值不等式求出集合，利用交集的定義可求.【詳解】因為，，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法計算化簡，然后利用虛部概念求解即可.【詳解】，的虛部是故選：C3.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)概念，求出分位數(shù)，也求出平均值，構(gòu)造方程計算即可．【詳解】因為該組數(shù)據(jù)共7個，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第4個數(shù)，即6，又組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，解得.故選：C.4.若的三個頂點坐標分別為，，，則外接圓的圓心坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題得是直角三角形，且，即可得到答案。【詳解】由題得是直角三角形，且．所以的外接圓的圓心就是線段的中點，由中點坐標公式得，．故選：A5.設(shè)是無窮數(shù)列，，則“是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義，判斷出是等差數(shù)列則也是等差數(shù)列，而也是等差數(shù)列不一定是等差數(shù)列，可得答案.【詳解】若是等差數(shù)列，設(shè)公差為,則，則，所以是等差數(shù)列；若是等差數(shù)列，設(shè)公差為,則，即的奇數(shù)項是等差數(shù)列，偶數(shù)項是等差數(shù)列，則不一定是等差數(shù)列，所以“是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.6.設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若，則（）A.3 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)周期即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，則.因為為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線軸對稱.由，得，所以①，則，則，，又由①知，則，故選：A.7.如圖，一艘客船在處測得燈塔在它的南偏東方向，測得燈塔在它的南偏東方向.該客船向正東方向行駛后到達處，此時客船測得燈塔在它的南偏西方向，測得燈塔在它的南偏西方向，則燈塔與燈塔之間的距離（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角和與差的正弦、余弦公式結(jié)合正弦定理、余弦定理求解即可.【詳解】由題意可知，，所以在中，因為，，由正弦定理可得：，則，解得：，在中，所以，所以在，由余弦定理可得：，所以.故選：A.8.已知分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在兩點使得梯形的高為（為該橢圓的半焦距），且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，可得，則，為梯形兩條底邊，作于點P，所以，則可求得，再結(jié)合，建立的關(guān)系即可得出答案.【詳解】如圖，由，得，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，則，由梯形的高為，得，在中，，則有，，在中，設(shè)，則，，即，解得，在中，，同理，又，所以，即，所以離心率.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞增B.在區(qū)間有兩個極值點C.的圖象關(guān)于點中心對稱D.直線是函數(shù)的切線【答案】ACD【解析】【分析】對于A,B兩項，只需將看成整體角，利用正弦函數(shù)的圖象即可判斷，對于C，只需將代入解析式，根據(jù)函數(shù)值即可檢驗，對于D，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程進行判斷.【詳解】對于A，令，由可得，，因在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間單調(diào)遞增，即A正確；對于B，令，由可得，因在上有一個極小值點，所以在區(qū)間有一個極小值點，故B錯誤；對于C，當時，，因，故的圖象關(guān)于點中心對稱，即C正確；對于D，由求導(dǎo)得，令，解得或，，則，又，故曲線在處的切線方程為，即，故D正確.故選：ACD.10.已知正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為分別是中點，過點的截面將四面體的體積平分，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.直線與直線異面C.正四棱錐外接球表面積為D.截面不可能為等邊三角形【答案】AC【解析】【分析】由得四點共面，且根據(jù)線面平行的判定可得平面，判斷A正確、B不正確；通過勾股定理計算得及外接球的半徑，進而得球的表面積即可判斷C；通過求截面最大的頂角可判斷D.【詳解】對于A，∵分別是中點，∴，又平面，平面，故直線平面，故A正確；對于B，由得四點共面，所以，直線與直線不異面，故B不正確；對于C，設(shè)是正四棱錐底面的中心，正四棱錐外接球的球心為，半徑為，根據(jù)對稱性，在上，因為底面邊長為1，側(cè)棱長為，則，由得，解得，外接球表面積，故C正確；對于D，∵過點的截面將四面體的體積平分，所以截面必過，且截面為等腰三角形，設(shè)其頂角為.當截面過時，截面的頂角最大，且，，故，所以截面不可能為等邊三角形，故D不正確.故選：AC.11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得：過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知O為坐標原點，分別為雙曲線的左、右焦點，過C右支上一點作雙曲線的切線交x軸于點，則（）A.B.平面上點的最小值為C.若經(jīng)過左焦點的入射光線經(jīng)過點A，且，則入射光線與反射光線的夾角為D.過點作，垂足為H，則【答案】ABD【解析】【分析】求出直線的方程，即可求得，從而利用求解，判斷A項；利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為可得解，即可判斷B項；求出點的坐標，研究的大小，即可判斷C項；根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推得，點為的中點.進而得出，結(jié)合雙曲線的定義，即可判斷D項.【詳解】解：對于A項，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，即，又因為，所以上式可化簡整理得，所以，所以直線的方程為，即，所以，因為，所以，故A項正確；對于B項，由雙曲線定義得，且，則，所以的最小值為.故B項正確；對于C項，根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知反射光線所在直線即直線，因為且，所以，若，則，所以直線直線；同理可知當也可判斷直線直線，所以入射光線與反射光線的夾角為，故C項錯誤；對于D項，如圖，為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點.則垂直平分，即點為的中點.又是的中點，所以，，故D項正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：D項中，結(jié)合已知中，給出的雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即可推出.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)為拋物線的焦點，若上的點到焦點距離為3，則的準線方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式求出的值，求出拋物線方程，即可求出準線方程.【詳解】拋物線上一點到焦點距離為3，即，解得，所以拋物線方程，焦點，所以的準線方程為.故答案為：13.已知，且，則____________.【答案】【解析】【分析】由題可得，由此可得，又，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則，得.則故答案為：14.設(shè)函數(shù)，．若函數(shù)有兩個零點，，則滿足條件的最小正整數(shù)的值為______．【答案】3【解析】【分析】求導(dǎo)，分，兩種情況討論，當時，不存在兩個零點，當時，有兩個零點時，需，進而求解即可.【詳解】由題，所以，當時，對恒成立，則在單調(diào)遞增，故不存在兩個零點，當時，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)有兩個零點，則的最小值，所以即，因，所以，令，顯然在上為增函數(shù)，且，，所以存在，使得，當時，，當時，，所以滿足條件的最小正整數(shù)，又當時，，，所以時，有兩個零點，綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.故答案為：3.【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得出，并對分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合根的存在性原理得，進而將問題轉(zhuǎn)化為求的最小正整數(shù)的值即可求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)在切點處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最大值.【小問1詳解】因為，故，即切點坐標為，，故曲線在點處的切線斜率為2，切線方程為.【小問2詳解】易得當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以時，，又時恒成立，所以的最大值為.16.平面四邊形中，，（1）求的值；（2）和面積分別為和，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在兩個三角形和中，利用公共邊列出余弦定理方程即可；（2）利用三角形的面積公式表示出，然后結(jié)合上一問條件求解.【小問1詳解】在中，由余弦定理：.在中，由余弦定理：，所以，即..【小問2詳解】依題意，.所以當時取等號（此時，該四邊形符合題意），即的最大值為.17.甲、乙、丙三位同學(xué)參加一項知識競賽活動，每人需回答一個問題，已知甲、乙、丙三位同學(xué)答對題目的概率分別為，，，且他們答對與否互不影響．（1）已知三人中恰有兩人答對題目，求甲答對題目的概率；（2）若答對題目得2分，答錯題目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同學(xué)的得分之和，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）甲、乙、丙答對題目分別記為事件，三人中恰有兩人答對題目記為事件，利用相互獨立事件的概率乘法公式分別求得，，再由條件概率公式計算；（2）確定的所有可能取值為，0，3，6，分別計算出概率得分布列，然后由期望公式計算出期望．【小問1詳解】甲、乙、丙答對題目分別記為事件，三人中恰有兩人答對題目記為事件，，，所以．【小問2詳解】由題意可知，的所有可能取值為，0，3，6，則，，，．所以的分布列為036故．18.如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點．將沿折起，連接與，如圖2．（1）當為何值時，平面平面?（2）設(shè)，當時，是否存在實數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）當三棱錐的體積最大時，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．【答案】（1）（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）先探索面面垂直的必要條件，再證明充分性即可.（2）由（1）得面面垂直、線面垂直關(guān)系，建立空間直角坐標系，用向量方法表示線面角的正弦值，建立關(guān)于的方程求解即可（3）借助體積公式可得當平面時，三棱錐的體積最大，借助等體積法計算可得內(nèi)切球半徑.【小問1詳解】連接，由題意得，，則為等邊三角形，，在中，，由余弦定理得，所以，由，則，故.若平面平面，由平面平面，平面，，則平面，平面，則，所以.下面證明當時，平面平面.證明：由，則，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故當時，平面平面；【小問2詳解】由（1）知，，則平面平面.在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面，則平面，平面，則.如圖，以點為坐標原點，以所在直線分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，由，，因為軸垂直平面，故可取平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，化簡得，解得或（舍去），故當時，存在，使直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)點到平面的距離為，由，其中為定值，則要使三棱錐的體積最大時，則點到平面的距離取最大，取中點，連接，則，當平面時，點到平面的距離最大，此時，由平面，則平面平面，由（1）知，，為直角三角形，.則，，，在中，，取中點，則，且，所以，設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，其中，，故，故當三棱錐的體積最大時，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為.【點睛】方法點睛：空間幾何體的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出或找到截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑；三是建立空間直角坐標系，設(shè)出球心坐標，利用有關(guān)半徑等的等量關(guān)系解方程組可得.19.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，以的四個頂點為頂點的平行四邊形的面積為.（1）求的標準方程；（2）我們把各邊與橢圓的對稱軸垂直或平行的內(nèi)接四邊形叫做橢圓的內(nèi)接矩形，設(shè)四邊形是橢圓的一個內(nèi)接矩形，求矩形的周長的最大值；（3）過點的動直線與橢圓交于兩點（不與橢圓的頂點重合）.點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸的交點為，求面積的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積和離心率得和，即可求解；（2）設(shè)，，所以矩形的周長為，其中，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到矩形的周長最大值；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得到韋達定理，根據(jù)三點共線可得，即，化簡可得為定點，即可利用三角形面積關(guān)系得表達式，結(jié)合基本不等式求解最值.小問1詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為.由已知，，即，又，所以，由可得：，所以，因為的焦點在軸上，所以的標準方程是；【小問2詳解】如圖，設(shè)，，由對稱性可知，，所以矩形的周長為，其中，故當時，矩形的周長取得最大值，最大值為.【小問3詳解】設(shè)直線的方程為，代入橢