山東省齊魯名校2025屆高三第六次聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)（沖刺二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025屆高三沖刺卷（二）數(shù)學(xué)試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，計(jì)算即可.詳解】由題意，，則，即.故選：C.2.已知平面向量，，，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用坐標(biāo)表示向量共線可得.【詳解】，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以設(shè)，即.故選：B3.已知集合，或，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)分和分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)滿足題意，此時(shí)m?1>?2m+5?m>2，當(dāng)時(shí)，要滿足題意，則有綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A.58 B.63 C.75 D.84【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)及求和公式計(jì)算即可.【詳解】由，所以，又，所以，設(shè)該等差數(shù)列公差為d，則由題意可知，所以.故選：D5.已知三棱錐內(nèi)接于半徑的球，平面ABC，，，，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先結(jié)合圖形，根據(jù)題意判斷出球心的位置，建立方程求出；再利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)球心為，取線段的中點(diǎn)記為.因?yàn)椋?，，所以在中，由余弦定理可得，?則有，即是以線段為斜邊的直角三角形.所以點(diǎn)是截面ABC的圓心，半徑為則平面ABC.又因?yàn)槠矫鍭BC，且三棱錐內(nèi)接于半徑的球，所以球心在線段的垂直平分線上，所以，由，,解得.所以三棱錐的體積為.故選：C.6.已知圓，直線.若過(guò)直線上任意一點(diǎn)都能作圓的兩條切線，切點(diǎn)為P，Q，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得圓心到直線l的距離，解該不等式即可得解.【詳解】因?yàn)閳A的半徑為，且過(guò)直線上任意一點(diǎn)都能作圓的兩條切線，切點(diǎn)為P，Q，且，所以圓心到直線l的距離，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與軸相交于點(diǎn)，與雙曲線在第一象限部分的交點(diǎn)為，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角形與相似結(jié)合雙曲線定義依次求出，再在焦三角形中由勾股定理列出方程即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以與相似，所以，所以，則，所以由得，所以，解得（舍去）或.所以雙曲線的離心率為.故選：D8.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由題設(shè)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，接著研究函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值，再將不等式等價(jià)變形為或即可求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，都有成立，不妨令，則都有成立，即對(duì)任意，且，都有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以不等式或或，解得或.所以不等式的解集為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)值：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性依次計(jì)算各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10.某小區(qū)共有2000名20~60歲的居民進(jìn)行消防知識(shí)有獎(jiǎng)答題，滿分100分.答題完成后，工作人員從中隨機(jī)抽取100人的答卷，并根據(jù)成績(jī)繪制了頻率分布直方圖（如圖），則下列結(jié)論正確的是（）A.頻率分布直方圖中B.小區(qū)2000名20~60歲居民答題成績(jī)的平均數(shù)約為70.5，極差約為60C.估計(jì)這100名居民答題成績(jī)的第60百分位數(shù)為70D.被抽取的100人中答題成績(jī)?cè)诘募s有45人【答案】ABD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算可判定AD，利用頻率分布直方圖平均數(shù)、百分位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算可判定BC.【詳解】由圖可知，所以，故A正確；記平均數(shù)為，則，極差約為，故B正確；設(shè)第60百分位數(shù)為，所以，故C錯(cuò)誤；成績(jī)?cè)诘恼急葹椋约s有人，故D正確.故選：ABD11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面平面C.點(diǎn)到平面的距離為定值D.存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為【答案】AB【解析】【分析】由線面平行的判定可判斷A，線面垂直可判斷B，等體積法可判斷C，由線面角的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由正方體易知，又不平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面，正確；對(duì)于B：由正方體易知平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面，正確；對(duì)于C，在正方體中，易知，又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面，又為上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離距離，，由等體積可得：即，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故錯(cuò)誤；連接，由正方體易知直線與平面所成角,所以，若存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，即需滿足，，也即，而在等腰直角三角形中，，顯然不能成立，所以不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，D錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式通項(xiàng)公式求出即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以由展開式通項(xiàng)公式得，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，求得極值點(diǎn)，結(jié)合區(qū)間構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】由，可知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，存在唯一極值點(diǎn)2，所以，解得：，又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個(gè)根，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由題意，，由，可得，則或由可得，由恰有5個(gè)根，可得，解得.由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，且，解得.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，E是邊的中點(diǎn)，，.（1）求的值；（2）的平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用相鄰的兩鄰補(bǔ)角的余弦定理來(lái)求中線長(zhǎng)；(2)利用等面積法來(lái)求角平分線長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理得：，，因?yàn)?且，所以有：，解得；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理是：，因?yàn)椋?，又因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，再由面積公式可得：，代入，可得.16.我們把魚在水中聚集的比較密的地方叫做魚窩.某人在一湖中用粘網(wǎng)（也叫掛網(wǎng)）捕魚，如果找到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為；如果找不到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為.若這個(gè)人能夠找到魚窩的概率為.（1）求此人能捕到魚的概率；（2）此人連續(xù)下網(wǎng)次，每次下網(wǎng)捕魚之間相互獨(dú)立，若能捕到魚的次數(shù)為，則為何值時(shí)，次捕到魚的概率的值最大?【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式直接求解即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可表示出，采用不等式法可求得的范圍，結(jié)合最大可確定的取值.【小問(wèn)1詳解】記事件為“此人能補(bǔ)到魚”，事件為“此人能找到魚窩”，則，，，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，次補(bǔ)到魚的概率最大，則，解得：，若的值最大，則，解得：，又且，或，即當(dāng)或時(shí)，次補(bǔ)到魚的概率的值最大.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為8的菱形，為的中點(diǎn)，，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)證得，從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，由平行線證得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證得線線垂直；（2）利用向量數(shù)量積的定義計(jì)算出，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，由法向量間的夾角求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接,，為的中點(diǎn)，,底面是菱形,,是等邊三角形，則,平面,平面,平面.又平面,平面,【小問(wèn)2詳解】由題意，在中，,所以，.在中，,所以，.則,,所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作軸底面，則，,.設(shè)平面的法向量，，則，令，則，所以設(shè)平面的法向量，，則，令，則，所以所以設(shè)平面與平面夾角為，則所以，平面與平面夾角的正弦值為.18.已知點(diǎn)，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，垂足位于線段上且不與點(diǎn)A，B重合，.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且與曲線相交的兩條線段分別為和，（直線EF，MN的斜率均存在，且點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N都在曲線上），若G，H分別是和的中點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）證明見(jiàn)解析，直線過(guò)定點(diǎn).【解析】【分析】（1）先設(shè)設(shè)，，接著由列方程化簡(jiǎn)即可得解；（2）由題先設(shè)直線的方程為，接著與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)G坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而求出直線GH的斜率，再利用點(diǎn)斜式計(jì)算時(shí)x的值即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)，，因?yàn)?，所以，整理得，即?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：由題可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，所以，所以的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以直線方程為，同理可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線斜率為，所以直線的方程為，令.所以直線過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)判定其單調(diào)性及最值，再確定即可；（2）先化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)求其導(dǎo)函數(shù)，利用分類討論的思想結(jié)合常用的切線放縮判定得；再構(gòu)造多次求導(dǎo)判定其最小值，結(jié)合隱零點(diǎn)驗(yàn)證不滿足題意即可.【小問(wèn)1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，易知，顯然時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，遞增區(qū)間