《備考指南 文科數(shù)學(xué)》課件-第13章 第3講

選考部分第十三章第3講不等式、含有絕對(duì)值的不等式【考綱導(dǎo)學(xué)】1．理解絕對(duì)值不等式的幾何意義，并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．絕對(duì)值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?__________________.②|ax＋b|≥c?___________________________.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想；方法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．－c≤ax＋b≤c

ax＋b≥c或ax＋b≤－c

2．絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立．(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)_______________時(shí)，等號(hào)成立．a(chǎn)b≥0

(a－b)(b－c)≥0

1．若關(guān)于x的不等式|x－a|<1的解集為(1,3)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】由|x－a|＜1，則－1＜x－a＜1，所以a－1<x＜a＋1，所以a＝2.2．不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集為_(kāi)_______．【答案】[－2,3]【解析】當(dāng)x＜－1時(shí)，|x＋1|＋|x－2|≤5?－x－1＋2－x≤5，解得－2≤x＜－1；當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，|x＋1|＋|x－2|≤5?x＋1＋2－x＝3≤5恒成立，所以－1≤x≤2；當(dāng)x＞2時(shí)，|x＋1|＋|x－2|≤5?x＋1＋x－2＝2x－1≤5，解得2＜x≤3.綜上所述，不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集為[－2,3]．3．f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值為_(kāi)_______．【答案】1【解析】因?yàn)閨2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1，所以f(x)min＝1.4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】(5,7)在分類(lèi)討論含多個(gè)絕對(duì)值的不等式時(shí)，分類(lèi)應(yīng)做到不重不漏；在某個(gè)區(qū)間上解出不等式后，不要忘了與前提條件求交集．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)若|x|＞c的解集為R，則c≤0.(

)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集為?.(

)(3)對(duì)|a＋b|≥|a|－|b|當(dāng)且僅當(dāng)a＞b＞0時(shí)等號(hào)成立．(

)(4)對(duì)|a|－|b|≤|a－b|當(dāng)且僅當(dāng)|a|≥|b|時(shí)等號(hào)成立．(

)(5)對(duì)|a－b|≤|a|＋|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)等號(hào)成立．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√課堂考點(diǎn)突破2含絕對(duì)值不等式的解法

解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法，利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a＜b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集；(2)幾何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體；(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【跟蹤訓(xùn)練】1．(2017年新課標(biāo)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍．與絕對(duì)值不等式有關(guān)的最值問(wèn)題

(1)對(duì)任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．【解析】(1)因?yàn)閤，y∈R，所以|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，所以|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3.(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值為5.【規(guī)律方法】求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種：(1)利用絕對(duì)值的幾何意義；(2)利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法．【跟蹤訓(xùn)練】2．(2018年石家莊模擬)若函數(shù)f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值為m.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．含絕對(duì)值的不等式的應(yīng)用

(2018年寶雞質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式|g(x)|<5；(2)若對(duì)任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，所以－7<|x－1|<3.所以－3<x－1<3，得不等式的解集為{x|－2<x<4}．(2)因?yàn)閷?duì)任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}．又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5.所以a的取值范圍為(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．【規(guī)律方法】(1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)來(lái)解決．(2)數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的常用方法．課后感悟提升33種方法——求解絕對(duì)值不等式的方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零點(diǎn)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a＜b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的點(diǎn)的集合．(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．1．(2018年新課標(biāo)Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍．2．(2018年新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范