2025屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校下學期高三模擬數學試題含解析

2025屆廣東省-北京師范大學東莞石竹附屬學校下學期高三模擬數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．2．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．3．函數的一個零點在區(qū)間內，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設（是虛數單位），則（）A． B．1 C．2 D．5．已知定點，，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓6．設集合，，則()A． B．C． D．7．已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．8．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．9．已知當，，時，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關系不確定10．為比較甲、乙兩名高二學生的數學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數學建模素養(yǎng)優(yōu)于數學抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數據分析最差11．某中學2019年的高考考生人數是2016年高考考生人數的1.2倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W情況，統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數有所增加B．與2016年相比，2019年一本達線人數減少C．與2016年相比，2019年二本達線人數增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達線人數相同12．如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于棱，且，則的長為（）A．4 B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設、、、、是表面積為的球的球面上五點，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.14．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點為、，點P是第一象限內雙曲線上的點，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．15．若函數，則的值為______.16．已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題：，；命題：函數無零點.（1）若為假，求實數的取值范圍；（2）若為假，為真，求實數的取值范圍.18．（12分）（江蘇省徐州市高三第一次質量檢測數學試題）在平面直角坐標系中，已知平行于軸的動直線交拋物線：于點，點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，.當線段的長度最小時，求的值.19．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大??；（2）求點到平面的距離.20．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F為其右焦點，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點O到直線l的距離為定值.21．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數據按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據已知條件完成下面列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）等差數列的公差為2,分別等于等比數列的第2項，第3項，第4項.（1）求數列和的通項公式；（2）若數列滿足,求數列的前2020項的和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結束循環(huán)，故輸出，故選：D.本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結構，條件分支結構，屬于中檔題.2．B【解析】

根據圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，，由圖象可知選B.故選：B本題主要考查三角函數的圖像與性質，正確表示函數的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.3．C【解析】

顯然函數在區(qū)間內連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內,則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數在區(qū)間內連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內,所以,即,解得,故選:C本題考查零點存在性定理的應用,屬于基礎題.4．A【解析】

先利用復數代數形式的四則運算法則求出，即可根據復數的模計算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．本題主要考查復數代數形式的四則運算法則的應用，以及復數的模計算公式的應用，屬于容易題．5．B【解析】

根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B本題考查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.6．D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.7．C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數的解析式為，可得函數的值域為，結合條件，可得出、均為函數的最大值，于是得出為函數最小正周期的整數倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數，將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數的圖象，易知函數的值域為.若，則且，均為函數的最大值，由，解得；其中、是三角函數最高點的橫坐標，的值為函數的最小正周期的整數倍，且．故選C．本題考查三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8．A【解析】

設為、的夾角，根據題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據平面向量數量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數形結合思想可得出結果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，，，，轉化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數形結合思想的應用，屬于中等題.9．C【解析】

由函數的增減性及導數的應用得：設，求得可得為增函數，又，，時，根據條件得，即可得結果．【詳解】解：設，則，即為增函數，又，，，，即，所以，所以．故選：C．本題考查了函數的增減性及導數的應用，屬中檔題．10．C【解析】

根據題目所給圖像，填寫好表格，由表格數據選出正確選項.【詳解】根據雷達圖得到如下數據：數學抽象邏輯推理數學建模直觀想象數學運算數據分析甲454545乙343354由數據可知選C.本題考查統(tǒng)計問題，考查數據處理能力和應用意識.11．A【解析】

設2016年高考總人數為x，則2019年高考人數為，通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設2016年高考總人數為x，則2019年高考人數為，2016年高考不上線人數為，2019年不上線人數為，故A正確；2016年高考一本人數，2019年高考一本人數，故B錯誤；2019年二本達線人數，2016年二本達線人數，增加了倍，故C錯誤；2016年藝體達線人數，2019年藝體達線人數，故D錯誤.故選：A.本題考查柱狀圖的應用，考查學生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.12．A【解析】

由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．本題考查了向量的多邊形法則、數量積的運算性質、向量垂直與數量積的關系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據球的表面積求得球的半徑，設球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長為，的體積，當且僅當時等號成立.故答案為：本小題主要考查球的表面積有關計算，考查球的內接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.14．【解析】

根據正弦定理得，根據余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯立方程得到，計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯解，得，可得，∴雙曲線的，結合，得離心率.故答案為：.本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.15．【解析】

根據題意，由函數的解析式求出的值，進而計算可得答案．【詳解】根據題意，函數，則，則；故答案為：.本題考查分段函數的性質、對數運算法則的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力．16．【解析】

由圓柱外接球的性質，即可求得結果.【詳解】解：由于圓柱的高和球半徑均為2，,則球心到圓柱底面的距離為1，設圓柱底面半徑為，由已知有，∴，即圓柱的底面半徑為.故答案為：.本題考查由圓柱的外接球的性質求圓柱底面半徑，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）為假,則為真，求導，利用導函數研究函數有零點條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【詳解】（1）依題意，為真，則無解，即無解；令，則，故當時，，單調遞增，當，，單調遞減，作出函數圖象如下所示，觀察可知，，即；（2）若為真，則，解得；由為假，為真，知一真一假；若真假，則實數滿足，則；若假真，則實數滿足，無解；綜上所述，實數的取值范圍為.本題考查根據全(特)稱命題的真假求參數的問題.其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關的參數取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或范圍．18．(1)．(2)見解析.【解析】試題分析：（1）設根據題意得到，化簡得到軌跡方程；（2）設，，，，構造函數研究函數的單調性，得到函數的最值.解析：（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標為，設，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點，則直線的方程為，即，所以，又，所以，即，所以的方程為．（2）設，，，由（1）知，點處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，由，所以，，所以，，所以．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調遞減，在單調遞增，所以當時，取得極小值也是最小值，即取得最小值，此時．點睛：求軌跡方程，一般是問誰設誰的坐標然后根據題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉化為等式，例如，可以轉化為向量坐標進行運算也可以轉化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細.19．（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標系，通過求向量與向量的夾角，轉化為異面直線與直線所成的角的大?。唬?）先求出面的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建系，設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為.本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數學建模以及數學運算能力．20．(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設Ax3,y3，Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?故原點O到直線l的距離為d=m本題考查了橢圓內的線段長度，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能