福建省莆田市莆田第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月份月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

莆田三中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)3月份月考試卷（教師版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.化簡：（）A. B. C. D.2.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，，則（）A. B. C.4 D.3.已知，則（）A.1 B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則＝（）A. B. C. D.5.已知向量，，，若，則（）A. B. C.0 D.16.在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形7.設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（）A.2 B. C. D.8.已知在所在平面內(nèi)，，E、F分別為線段、的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)G，若，則（）A.當(dāng)時(shí)，取得最小值B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，取得最小值二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.向量與向量的長度相等B.是，共線充要條件C.若，，，則與的方向相同或者相反D.若，兩個(gè)單位向量，且，則10.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，且，則（）A. B.C. D.11.如圖所示，線段是弦，其中，，點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.最大值是78C.當(dāng)時(shí)，D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知向量，，若，則________．13.在中，，，，則的值為______14.已知正方形的邊長為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的點(diǎn)，則的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，其中．（1）若，求的值；（2）設(shè)點(diǎn)，求的取值范圍．16.已知平面向量，，，．（1）若，求x的值；（2）若，求的值．（3）若與的夾角是銳角，求x的取值范圍．17.的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，．（1）求a和；（2）求的值．18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量，，定義這兩個(gè)向量的“相離度”為，容易知道，平行的充要條件為．（1）已知，，求；（2）①已知，的夾角為和，的夾角為，證明：的充分必要條件是；②在中，，，且，若，求．

莆田三中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)3月份月考試卷（教師版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.化簡：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡即可得答案.【詳解】.故選：C2.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，，則（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理即可得出答案.【詳解】由余弦定理可得，則.故選：B.3.已知，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t.故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】由定義知sinα=，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于基礎(chǔ)題目..5.已知向量，，，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，因，所以，解得，故選：B6.在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)正弦定理，將邊化為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式，以及角的關(guān)系，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，可得或，所以或，所以的形狀為等腰或直角三角?故選：D．7.設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合已知求得，再由與垂直，得，結(jié)合數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【詳解】解：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛椋?，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，即，解得.故選：B.8.已知在所在平面內(nèi)，，E、F分別為線段、的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)G，若，則（）A.當(dāng)時(shí)，取得最小值B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，取得最小值【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得出向量之間的線性關(guān)系，再利用向量共線定理確定相關(guān)系數(shù)，接著根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到關(guān)于向量模長和夾角余弦值的等式，最后運(yùn)用基本不等式求出夾角余弦值的最小值.【詳解】設(shè)，，與的夾角為，因?yàn)?，所以，由于E、F分別為線段，中點(diǎn)，則，，因?yàn)镋，G，F(xiàn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，又因?yàn)锽，G，C共線，所以，解得，則，那么，，由于，所以，由此可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即（，）時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，取得最小值．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.向量與向量的長度相等B.是，共線的充要條件C.若，，，則與的方向相同或者相反D.若，是兩個(gè)單位向量，且，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平面向量的定義及其性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，向量與向量是方向相反的向量，但它們的長度是相等的，因?yàn)橄蛄块L度只與向量的大小有關(guān)，與方向無關(guān)，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，同向共線時(shí)，，，則，不相等，所以不是，共線的充要條件，故B不正確；對(duì)于C，，，，則與共線，故與的方向相同或者相反，C正確；對(duì)于D，若，是兩個(gè)單位向量，且，則，則，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過已知條件，利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形面積公式求出的值，最后結(jié)合已知條件和完全平方公式求出的值.【詳解】在中，因?yàn)?，即，由余弦定理，又，所以，，故B錯(cuò)誤，A正確；因?yàn)椋瑒t，所以，故C正確；因?yàn)?，，，則，所以，因?yàn)椋?，故D正確．故選：ACD．11.如圖所示，線段是的弦，其中，，點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.的最大值是78C.當(dāng)時(shí)，D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖形特征判斷A，再應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算判斷B，D，再根據(jù)向量垂直得出角的正弦值判斷C.【詳解】點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，可知當(dāng)點(diǎn)A，C，D三點(diǎn)共線的時(shí)候，的值最大是，故選A；，故選D；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，點(diǎn)D在上有兩個(gè)位置，如圖所示，故不止一個(gè)答案，所以，排除C選項(xiàng)．對(duì)于B選項(xiàng)，如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)D坐標(biāo)設(shè)為，A點(diǎn)坐標(biāo)是，B點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值72，因此B不正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，再利用向量垂直的性質(zhì)列出方程，最后求解方程得到的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，解得．故答案為?3.在中，，，，則的值為______【答案】【解析】【分析】由可求出,再根據(jù)余弦定理求出,即可由正弦定理求出.【詳解】由可得，，解得．∴，即．由正弦定理可得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.已知正方形的邊長為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的點(diǎn)，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】先建系得出坐標(biāo)，再應(yīng)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)值域計(jì)算求解.【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，∴．設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，其中．（1）若，求的值；（2）設(shè)點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用共線向量的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算得解．（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合輔助角公式及余弦函數(shù)性質(zhì)求出最大值．【小問1詳解】依題意，，，由，得，所以．【小問2詳解】依題意，，點(diǎn)，則，，因此，當(dāng)時(shí)，則，因此當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)所以的取值范圍是．16.已知平面向量，，，．（1）若，求x的值；（2）若，求的值．（3）若與的夾角是銳角，求x的取值范圍．【答案】（1）或3；（2）或5；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為列方程求解.（2）根據(jù)兩平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系列方程求解出x，代入得到的坐標(biāo)，再代入向量模的公式進(jìn)行求解.（3）與的夾角是銳角，則且兩向量不共線.【小問1詳解】若，則，整理得，解得或．所以的值為或3．【小問2詳解】（2）若，則有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則，得；當(dāng)時(shí)，，，則，得．所以，的值為或5．【小問3詳解】（3）因與的夾角是銳角，則，即，得，又當(dāng)與共線時(shí)，有，得，不合題意，則綜上，的取值范圍為．17.的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，．（1）求a和；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用余弦定理計(jì)算得出，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用正弦定理求解；（2）先根據(jù)二倍角正弦及余弦公式計(jì)算求值，最后應(yīng)用兩角和余弦公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由余弦定理可得，由，則，由，即，代入上式整理可得，解得由，根據(jù)正弦定理，可得．【小問2詳解】；18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型周期函數(shù)可求出函數(shù)的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由已知條件得出，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，函?shù)的最小正周期為.由解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則．所以，.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量，，定義這兩個(gè)向量“相離度”為，容易知道，平行的充要條件為．（1）已知，，求；（2）①