微積分初步形成性考核作業(yè)

微積分初步形成性考核作業(yè)?一、單選題1.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，\(x_0\in(a,b)\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0h)}{h}=(\)\)A.\(f^\prime(x_0)\)B.\(2f^\prime(x_0)\)C.\(0\)D.\(f^\prime(2x_0)\)答案：B解析：\[\begin{align*}&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0h)}{h}\\=&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)+f(x_0)f(x_0h)}{h}\\=&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)f(x_0h)}{h}\\=&f^\prime(x_0)+\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0h)f(x_0)}{h}\\=&f^\prime(x_0)+f^\prime(x_0)\\=&2f^\prime(x_0)\end{align*}\]

2.函數(shù)\(y=x^33x\)在區(qū)間\([2,2]\)上的最大值是(\)A.\(2\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(4\)答案：A解析：首先對函數(shù)\(y=x^33x\)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^23\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x^23=0\)，解得\(x=\pm1\)。然后計算函數(shù)在端點和駐點處的值：\(y(2)=(2)^33\times(2)=8+6=2\)；\(y(1)=(1)^33\times(1)=1+3=2\)；\(y(1)=1^33\times1=13=2\)；\(y(2)=2^33\times2=86=2\)。比較可得最大值為\(2\)。

3.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\inte^{x}f(e^{x})dx=(\)\)A.\(F(e^{x})+C\)B.\(F(e^{x})+C\)C.\(F(e^{x})+C\)D.\(F(e^{x})+C\)答案：B解析：令\(u=e^{x}\)，則\(du=e^{x}dx\)，\(\inte^{x}f(e^{x})dx=\intf(u)du=F(u)+C=F(e^{x})+C\)。

4.下列定積分中積分值為\(0\)的是(\)A.\(\int_{1}^{1}x^2dx\)B.\(\int_{1}^{1}x\cosxdx\)C.\(\int_{1}^{1}(x^3+1)dx\)D.\(\int_{1}^{1}x^3dx\)答案：D解析：對于選項A，\(\int_{1}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{1}^{1}=\frac{1}{3}(1^3(1)^3)=\frac{2}{3}\neq0\)；對于選項B，因為函數(shù)\(y=x\cosx\)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的定積分值為\(0\)，\(\int_{1}^{1}x\cosxdx=0\)；對于選項C，\(\int_{1}^{1}(x^3+1)dx=(\frac{1}{4}x^4+x)\big|_{1}^{1}=(\frac{1}{4}\times1^4+1)(\frac{1}{4}\times(1)^41)=2\neq0\)；對于選項D，\(\int_{1}^{1}x^3dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{1}^{1}=\frac{1}{4}(1^4(1)^4)=0\)。

5.設(shè)\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(\sinx\)，則\(f^\prime(x)=(\)\)A.\(\sinx\)B.\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(\cosx\)答案：C解析：因為\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(\sinx\)，所以\(f(x)=(\sinx)^\prime=\cosx\)，則\(f^\prime(x)=(\cosx)^\prime=\sinx\)。

二、填空題1.函數(shù)\(y=\frac{\ln(1x)}{x}\)的定義域是。答案：\(x\lt1\)且\(x\neq0\)解析：要使函數(shù)有意義，則\(\begin{cases}1x\gt0\\x\neq0\end{cases}\)，解得\(x\lt1\)且\(x\neq0\)。

2.已知\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\x+1,&x\lt0\end{cases}\)，則\(f(1)=\)。答案：\(0\)解析：當(dāng)\(x=1\)時，\(f(1)=1+1=0\)。

3.曲線\(y=\lnx\)在點\((1,0)\)處的切線方程是。答案：\(y=x1\)解析：對\(y=\lnx\)求導(dǎo)，\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，則在點\((1,0)\)處的切線斜率\(k=1\)，切線方程為\(y0=1\times(x1)\)，即\(y=x1\)。

4.若\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{2h}=\)。答案：\(1\)解析：\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{2h}=\frac{1}{2}\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{h}=\frac{1}{2}f^\prime(x_0)=1\)。

5.\(\int\frac{1}{x^2}dx=\)。答案：\(\frac{1}{x}+C\)解析：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq1)\)，\(\int\frac{1}{x^2}dx=\intx^{2}dx=\frac{1}{x}+C\)。

三、計算題1.已知函數(shù)\(y=\frac{2x+3}{x1}\)，求\(y^\prime\)。解：根據(jù)除法求導(dǎo)公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)，這里\(u=2x+3\)，\(u^\prime=2\)；\(v=x1\)，\(v^\prime=1\)。則\(y^\prime=\frac{2(x1)(2x+3)\times1}{(x1)^2}=\frac{2x22x3}{(x1)^2}=\frac{5}{(x1)^2}\)。

2.求函數(shù)\(y=x^33x^29x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：首先對函數(shù)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^26x9=3(x^22x3)=3(x3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，即\(3(x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)。當(dāng)\(x\lt1\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(1\ltx\lt3\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt3\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((\infty,1)\)和\((3,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間是\((1,3)\)。極大值為\(y(1)=(1)^33\times(1)^29\times(1)+5=13+9+5=10\)；極小值為\(y(3)=3^33\times3^29\times3+5=272727+5=22\)。

3.計算\(\intx\cosxdx\)。解：利用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。\(\intx\cosxdx=x\sinx\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。

4.計算定積分\(\int_{0}^{1}x^2e^xdx\)。解：利用分部積分法，設(shè)\(u=x^2\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=2xdx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1\int_{0}^{1}2xe^xdx\)\(=(1^2\timese^10^2\timese^0)2\int_{0}^{1}xe^xdx\)\(=e2\int_{0}^{1}xe^xdx\)再對\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_0^1\int_{0}^{1}e^xdx\)\(=(1\timese^10\timese^0)[e^x]_0^1\)\(=e(e1)=1\)所以\(\int_{0}^{1}x^2e^xdx=e2\times1=e2\)。

四、應(yīng)用題1.欲做一個底為正方形，容積為\(62.5\)立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)底面正方形邊長為\(x\)米，高為\(h\)米。已知容積為\(62.5\)立方米，即\(x^2h=62.5\)，則\(h=\frac{62.5}{x^2}\)。容器的表面積\(S=x^2+4xh=x^2+4x\times\frac{62.5}{x^2}=x^2+\frac{250}{x}\)。對\(S\)求導(dǎo)，\(S^\prime=2x\frac{250}{x^2}\)。令\(S^\prime=0\)，即\(2x\frac{250}{x^2}=0\)，\(2x^3=250\)，\(x^3=125\)，解得\(x=5\)。此時\(h=\frac{62.5}{5^2}=2.5\)。再求二階導(dǎo)數(shù)\(S^{\prime\prime}=2+\frac{500}{x^3}\)，當(dāng)\(x=5\)時，\(S^{\prime\prime}=2+\frac{500}{5^3}=2+4=6\gt0\)，所以當(dāng)\(x=5\)，\(h=2.5\)時，表面積\(S\)取得最小值，即用料最省。

2.求曲線\(y=x^2\)與直線\(y=x+2\)所圍成的平面圖形的面積。解：先求曲線\(y=x^2\)與直線\(y=x+2\)的交點，聯(lián)立方程\(\begin{cases}y=x^2\\y=x+2\end{cases}\)，即\(x^2=x+2\)，\(x^2x2=0\)，\((x2)(x+1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。所圍成圖形的面積\(A=\int_{1}^{2}[(x+2)x^2]dx\)\(=(\frac{1}{2}x^2+2x\frac{1}{3}x^3)\big|_{1}^{2}\)\(=(\frac{1}{2}\times2^2+2\times2\frac{1}{3}\times2^3)(\frac{1}{2}\times(1)^2+2\times(1)\frac{1}{3}\times(1)^3)\)\(=(2+4\frac{8}{3})(\frac{1}{2}2+\frac{1}{3})\)\(=\frac{10}{3}(\frac{7}{6})\)\(=\frac{9}{2}\)。

五、證明題設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\([0,1]\)上連續(xù)，在\((0,1)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(0)=0\)，\(f(1)=1\)。證明：在\((0,1)\)內(nèi)至少存在一點\(\xi\)，使得\(f^\prime(\xi)=1\)。證明：令\(F(x