函數(shù)的最大值和最小值教學(xué)設(shè)計-范永祥

函數(shù)的最大值和最小值教學(xué)設(shè)計——范永祥?一、教學(xué)目標

1.知識與技能目標理解函數(shù)最大值和最小值的概念，能借助函數(shù)圖象直觀地理解函數(shù)最大值和最小值的意義。會求一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值。掌握求函數(shù)最值的一般方法，如配方法、單調(diào)性法、圖象法等。

2.過程與方法目標通過對函數(shù)最大值和最小值概念的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法。在求函數(shù)最值的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、合作交流的過程，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

3.情感態(tài)度與價值觀目標通過對函數(shù)最值問題的研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴謹性和科學(xué)性，感受數(shù)學(xué)的美感，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點函數(shù)最大值和最小值的概念。求函數(shù)在給定區(qū)間上最大值和最小值的方法。

2.教學(xué)難點理解函數(shù)最大值和最小值概念中的"任意"與"存在"的含義。靈活運用各種方法求函數(shù)在不同區(qū)間上的最值。

三、教學(xué)方法

講授法、討論法、探究法相結(jié)合

四、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課展示一些實際生活中的例子，如生產(chǎn)利潤問題、用料最省問題等，引導(dǎo)學(xué)生思考如何在這些問題中找到最優(yōu)解，從而引出函數(shù)的最大值和最小值問題。例如：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每天的生產(chǎn)成本\(C\)（單位：元）與產(chǎn)量\(x\)（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為\(C=10000+200x+\frac{1}{2}x^2\)，已知每噸產(chǎn)品的售價為\(2600\)元，且每天生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出，那么每天生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品時，工廠的利潤最大？最大利潤是多少？

2.探究函數(shù)最大值和最小值的概念讓學(xué)生觀察函數(shù)\(y=x^2\)的圖象，思考以下問題：當(dāng)\(x\)在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，函數(shù)值\(y\)有什么變化趨勢？函數(shù)值\(y\)是否存在最大值或最小值？如果存在，最大值和最小值分別是多少？在什么位置取得？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出函數(shù)最大值和最小值的概念：一般地，設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域為\(I\)，如果存在實數(shù)\(M\)滿足：對于任意的\(x\inI\)，都有\(zhòng)(f(x)\leqM\)；存在\(x_0\inI\)，使得\(f(x_0)=M\)。那么，稱\(M\)是函數(shù)\(y=f(x)\)的最大值。一般地，設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域為\(I\)，如果存在實數(shù)\(m\)滿足：對于任意的\(x\inI\)，都有\(zhòng)(f(x)\geqm\)；存在\(x_0\inI\)，使得\(f(x_0)=m\)。那么，稱\(m\)是函數(shù)\(y=f(x)\)的最小值。通過具體例子，進一步強調(diào)概念中的"任意"與"存在"的含義，幫助學(xué)生理解。例如：函數(shù)\(y=x^2+2x+3\)，\(x\in[0,3]\)。對于任意的\(x\in[0,3]\)，都有\(zhòng)(y=x^2+2x+3=(x1)^2+4\leq4\)。當(dāng)\(x=1\)時，\(y=4\)，所以\(y=x^2+2x+3\)在\([0,3]\)上的最大值是\(4\)。對于任意的\(x\in[0,3]\)，都有\(zhòng)(y=x^2+2x+3\geq0\)。當(dāng)\(x=3\)時，\(y=0\)，所以\(y=x^2+2x+3\)在\([0,3]\)上的最小值是\(0\)。

3.求函數(shù)最大值和最小值的方法配方法講解配方法的原理，通過配方將二次函數(shù)化為頂點式\(y=a(xh)^2+k\)（\(a\neq0\)），從而確定函數(shù)的最值。以函數(shù)\(y=2x^24x+3\)為例，進行配方：\(y=2x^24x+3=2(x^22x)+3=2(x^22x+11)+3=2[(x1)^21]+3=2(x1)^2+1\)因為\(a=2>0\)，所以函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)\(x=1\)時，函數(shù)取得最小值\(y_{min}=1\)。讓學(xué)生練習(xí)用配方法求函數(shù)\(y=x^2+6x5\)在區(qū)間\([1,4]\)上的最值。單調(diào)性法回顧函數(shù)單調(diào)性的概念和判斷方法，引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。以函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)，\(x\in(0,+\infty)\)為例，分析其單調(diào)性：對函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=1\frac{1}{x^2}\)。令\(y^\prime>0\)，即\(1\frac{1}{x^2}>0\)，解得\(x>1\)。令\(y^\prime<0\)，即\(1\frac{1}{x^2}<0\)，解得\(0<x<1\)。所以函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上單調(diào)遞減，在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。那么當(dāng)\(x=1\)時，函數(shù)取得最小值\(y_{min}=1+1=2\)。讓學(xué)生練習(xí)用單調(diào)性法求函數(shù)\(y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}\)，\(x\in[1,2]\)的最值。圖象法強調(diào)通過作出函數(shù)的圖象，直觀地觀察函數(shù)的最值情況。以函數(shù)\(y=|x1|+|x+2|\)為例，分情況討論去掉絕對值符號，作出函數(shù)圖象：當(dāng)\(x\leq2\)時，\(y=(x1)(x+2)=2x1\)。當(dāng)\(2<x<1\)時，\(y=(x1)+(x+2)=3\)。當(dāng)\(x\geq1\)時，\(y=(x1)+(x+2)=2x+1\)。作出函數(shù)圖象后，從圖象上可以看出，函數(shù)的最小值是\(3\)。讓學(xué)生練習(xí)用圖象法求函數(shù)\(y=\sqrt{x^22x+5}+\sqrt{x^24x+8}\)的最小值。

4.例題講解例1：求函數(shù)\(y=x^33x^29x+5\)在區(qū)間\([2,2]\)上的最大值和最小值。解：對函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^26x9=3(x^22x3)=3(x3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)（\(3\)不在區(qū)間\([2,2]\)內(nèi)，舍去）。當(dāng)\(x\in[2,1)\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)\(x\in(1,2]\)時，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。計算函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值：\(f(2)=(2)^33\times(2)^29\times(2)+5=812+18+5=3\)。\(f(1)=(1)^33\times(1)^29\times(1)+5=13+9+5=10\)。\(f(2)=2^33\times2^29\times2+5=81218+5=17\)。所以函數(shù)在區(qū)間\([2,2]\)上的最大值是\(10\)，最小值是\(17\)。例2：已知函數(shù)\(y=\frac{ax+b}{x^2+1}\)的最大值為\(4\)，最小值為\(1\)，求實數(shù)\(a\)，\(b\)的值。解：設(shè)\(y=\frac{ax+b}{x^2+1}\)，則\(yx^2ax+yb=0\)。因為\(x\inR\)，所以關(guān)于\(x\)的一元二次方程有實數(shù)解，即判別式\(\Delta=(a)^24y(yb)\geq0\)。整理得\(4y^24bya^2\leq0\)。已知函數(shù)的最大值為\(4\)，最小值為\(1\)，所以\(1\)，\(4\)是方程\(4y^24bya^2=0\)的兩根。根據(jù)韋達定理可得：\(\begin{cases}1+4=b\\1\times4=\frac{a^2}{4}\end{cases}\)。解得\(\begin{cases}b=3\\a^2=16\end{cases}\)，即\(\begin{cases}a=\pm4\\b=3\end{cases}\)。

5.課堂練習(xí)求函數(shù)\(y=x^22x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值和最小值。求函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2+2x+2}\)在區(qū)間\([2,2]\)上的最大值和最小值。已知函數(shù)\(y=\frac{2x^2+ax+4}{x^2+1}\)的值域為\([1,4]\)，求實數(shù)\(a\)的值。

6.課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)最大值和最小值的概念，強調(diào)概念中的關(guān)鍵要素?？偨Y(jié)求函數(shù)最大值和最小值的方法，如配方法、單調(diào)性法、圖象法等，并讓學(xué)生體會各種方法的適用范圍和特點。鼓勵學(xué)生在課后繼續(xù)思考函數(shù)最值問題在實際生活中的應(yīng)用，進一步加深對函數(shù)最值概念的理解。

7.布置作業(yè)必做題：教材課后習(xí)題中與函數(shù)最大值和最小值相關(guān)的題目。選做題：已知函數(shù)\(y=\sqrt{x^24mx+4m^2+m+\frac{1}{m1}}\)（\(m>1\)），求函數(shù)\(y\)的最小值。

五、教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)情境引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到函數(shù)最值問題在實際生活中的廣泛應(yīng)用。在探究函數(shù)最大值和最小值的概念時，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象，逐步理解概念中的"任意"與"存在"的含義，較好地突破了教學(xué)難點。在求函數(shù)最值的方法講解中，注重結(jié)合具體例子，讓學(xué)生掌握配方法、單調(diào)性法、圖象法等常見方法，