復(fù)數(shù)的乘除運算課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(1)2

復(fù)數(shù)的乘、除運算第七章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運算整體感知[學(xué)習目標]

1．掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運算．2．理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律．3．掌握在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的方法．[討論交流]

預(yù)習教材P77－P79的內(nèi)容，思考以下問題：問題1．復(fù)數(shù)的乘法和除法運算法則各是什么？問題2．復(fù)數(shù)乘法的運算律有哪些？問題3．如何在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求方程的解？[自我感知]經(jīng)過認真預(yù)習，結(jié)合你對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1復(fù)數(shù)乘法的運算法則和運算律探究問題1類比多項式的乘法，我們該如何定義兩復(fù)數(shù)的乘法呢？[提示]

復(fù)數(shù)的乘法法則如下：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．[新知生成]1．復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝_____________________．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．復(fù)數(shù)乘法的運算律對任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有以下運算律：交換律z1z2＝______結(jié)合律(z1z2)z3＝__________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3【教用·微提醒】

一般地，對任意自然數(shù)n，有i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i．【鏈接·教材例題】例3計算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．[解]

(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i．例4計算：(1)(2＋3i)(2－3i)；(2)(1＋i)2．分析：本例可以用復(fù)數(shù)的乘法法則計算，也可以用乘法公式計算．[解]

(1)(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝4－(－9)＝13；(2)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i．[典例講評]

1．(源自湘教版教材)計算：(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1000．[解]

(1)(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2＝12＋2×1×i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2＝12－2×1×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500×i500＝2500×1＝2500．反思領(lǐng)悟1．兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當?shù)某朔ü竭M行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[學(xué)以致用]

1．(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在復(fù)平面內(nèi)，(1＋3i)(3－i)對應(yīng)的點位于(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)i是虛數(shù)單位，若(1＋mi)(2－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(

)A．2

B．4C．－2

D．－4√√

探究問題3類比實數(shù)的除法是乘法的逆運算，你認為該如何定義復(fù)數(shù)的除法運算？[提示]

設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商為x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi．∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi．

【鏈接·教材例題】例5計算(1＋2i)÷(3－4i)．

√√

探究3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【鏈接·教材例題】例6在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：(1)x2＋2＝0;(2)ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2－4ac＜0．分析：利用復(fù)數(shù)的乘法容易得到(1)中方程的根．對于(2),當Δ＝b2－4ac<0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)根．利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，類似于(1)，就能在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求得(2)中方程的根．

[典例講評]

3．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：(1)x2＋5＝0；(2)x2＋6x＋10＝0．

[學(xué)以致用]

3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實數(shù))的一個根．(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是不是方程的根．

(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程成立．∴1－i是方程的根．【教用·備選題】

(源自蘇教版教材)在復(fù)數(shù)集C內(nèi)解下列方程：(1)z2＋4＝0；(2)z2－10z＋40＝0．

243題號1應(yīng)用遷移

√

23題號14

√

23題號413．復(fù)數(shù)z滿足z2＋1＝0，則z3＝(

)A．1 B．±1C．i D．±i√D

[因為z2＋1＝0，所以z2＝－1，則z＝±i．當z＝i時，z3＝i3＝－i．當z＝－i時，z3＝(－i)3＝i．所以z3＝±i．]243題號14．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，則該方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為__________．

1±2i1．知識鏈：(1)復(fù)數(shù)的乘法運算及運算律．(2)復(fù)數(shù)的除法運算．(3)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程．2．方法鏈：分母實數(shù)化、配方法、求根公式法．3．警示牌：分母實數(shù)化時注意不要因忽視i2＝－1造成運算錯誤．

2．復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是怎樣的？[提示]

復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化的過程，兩個復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分數(shù)的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可．3．實系數(shù)一元二次方程的虛根有何特點？[提示]

實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a－bi是該方程的另一根．利用復(fù)數(shù)產(chǎn)生分形圖以前我們學(xué)過的函數(shù)，定義域都是實數(shù)集的子集．但函數(shù)概念還可以推廣：定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．類似地，我們還可以得到多項式復(fù)變函數(shù)的概念．例如，f(z)＝z2就是一個多項式復(fù)變函數(shù)，此時閱讀材料f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．給定多項式復(fù)變函數(shù)f(z)之后，對任意一個復(fù)數(shù)z0，通過計算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值z0，z1，z2，…，zn，…．如果存在一個正數(shù)M，使得|zn|＜M對任意n∈N都成立，則稱z0為f(z)的收