人教版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題54平行線中的四大經(jīng)典模型(學(xué)生版+解析)

專題5.4平行線中的四大經(jīng)典模型

【人教版】

【模型1“豬蹄”型（含鋸齒型）】

模型二“豬蹄”模型（〃模型）

結(jié)論1：&AB”CD、則Na=N/Z7o

結(jié)論2：若/1/AEZ/OP，則AB"CD

1.（2023下?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）如圖,ABIICD,EF平分/BED,Z-DEF+ZD=66",zB-zD=28°,

貝此8E0=

2.（2023上?遼寧鞍山?七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知CBIICD,2E平分NABC,2E平分—DC,LBAD=80°,

乙BCD=n。，則4BED的度數(shù)為.（用含〃的式子表示）

3.（2023下?廣東河源?七年級河源巾第二中學(xué)校考期中）已知直線川比，A是〃上的一點，3是/2上的一

點，直線/3和直線〃，/2交于C和。，直線C。上有一點P.

h

A\C

BDh

⑴如果P點在C,。之間運動時，問乙P/C,41PB,乙尸8。有怎樣的數(shù)最關(guān)系？請說明理由.

(2)若點尸在C,。兩點的外側(cè)運動時(尸點與C,。不重合),試探索乙P4C,Z-APB,"80之間的關(guān)系又

是如何？(請直接寫出答案，不需要證明)

4.(2023下?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線A8//CDE尸是截線，點M在直線A8、CO之間.

(1)如圖I,連接GM,HM.求證：NM=NAGM+NC〃M；

(2)如圖2,在NGHC的角平分線上取兩點M、Q,使得NAGiW=N”GQ.試判斷與NGQ〃之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

5.(2023下?福建芾田?七年級莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，AB〃CD,點E在直線A8,CD內(nèi)

部，月.AE1CE.

(1)如圖1,連接4C,若AE平分求證：CE平分匕ACD；

(2)如圖2,點M在線段AE上，

①若NMCE=NEC0,當(dāng)直角頂點石移動時，4B4E與ZMC。是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；

②若公MCE=2^ECD(〃為正整數(shù))，當(dāng)直角頂點石移動時，乙6AE1與4MC。是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說

n

明理由.

6.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）（I）如圖1,已知力B〃CD,乙ABF=ADCE,求證：乙BFE=LFEC

（2）如圖2,已知4B//CO,Z.EAF=-4Z.EAB,Z.ECF=-4Z.ECD,求證：/.AFC=-4AAEC

(1)若NE=60。,則N尸=_；

(2)請?zhí)剿鱊E與/尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

(3)如圖2,已知EP平分N8E凡FG平分NE尸D,反向延長尸G交E嚴(yán)于點P,求NP的度數(shù).

8.(2023下?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末)問題情境：如圖1,已知48〃CD,Z-APC=108°.求乙%8+乙PCD

的度數(shù).

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2,過尸作PE〃A8,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得NP4B+，PCD=360。一

Z.APC=252°.

問題遷移：如圖3,AD//BC,點P在射線OM上運動，^ADP=^a,乙BCP=乙口.

(I)當(dāng)點P在人、8兩點之間運動時，Z.CPD,乙。、△/?之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

⑵如果點尸在人、8兩點外側(cè)運動時(點。與點A、B、O三點不重合)，請你直接寫出乙。尸以〃、40之

間的數(shù)量關(guān)系.

(3)問題拓展：如圖4,M4〃M4n,Ax-Br-A2-----呢.]一(是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你

所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為；

9.(2023下?重慶九龍坡?七年級統(tǒng)考期末)已知，A8〃CD點M在A8上，點N在C。上.

、1.（2012下?廣東茂名?七年級統(tǒng)考期中）如圖，ABWED,NB++乙。=（）

A.180°B.360°C.540°D.270°

2.（2。12?江蘇常州?七年級統(tǒng)考期中）一大門的欄桿如圖所示，M垂直地面A七于點A,CQ平行于地面AN,

則AABC+NBCD=.

3.（2023下?陜西西安?七年級西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個由齒輪、軸承、托架

等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸.如圖2所示的是手動變速箱托架工作時某一時刻

的示意圖，已知L4BIICD,CGIIEF,ABAG=150°,/-DEF=130°,貝此AGC的度數(shù)是.

圖1圖2

4.（2023下?廣東東莞?七年級東莞市長安實驗中學(xué)校考期中）如圖，已知AB〃CD.

圖2

CD

圖4

(I)如圖I所示，Zl+Z2=

(2)如圖2所示,Zl+Z2+Z3=；并寫出求解過程.

(3)如圖3所示,Zl+Z2+Z3+Z4=

(4)如圖4所示,試探究Nl+N2+N3+N4+?/N〃=

5.（2023下,江蘇淮安?七年級統(tǒng)考期末）問題情境:如圖1,ABWCD,APAB=130°,乙PCD=120°,求乙IPC

的度數(shù).

AB

D

圖1圖2圖3圖4

圖5備用圖1備用圖2

思路點撥:

小明的思路是：如圖2,過P作PEIMB,通過平行線性質(zhì),可分別求出NAPE、々CPE的度數(shù)，從而可求出

4Ape的度數(shù)；

小麗的思路是：如圖3,連接4C,通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出乙/PC的度數(shù)；

小芳的思路是：如圖4,延長力P交DC的延長線于E,通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出41PC

的度數(shù).

問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計算，你求得的ZAPC的度數(shù)為°;

問題遷移：

（I）如圖5MDII8C,點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A、8兩點之間運動時,N4DP=乙a,乙BCP=邛?"PD、

4。、4?之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（2）在（I）的條件下，如果點P在A、8兩點外側(cè)運動時（點戶與點4、B、。三點不重合），請你直接寫

出/CP。、乙a、乙夕間的數(shù)量關(guān)系.

6.（2023下?內(nèi)蒙占?七年級校考期中）綜合與探究：

（1）問題情境：如圖1,ABIICD,￡P(guān)AB=130°,zPCD=120°.求4Ape的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過P作PE||力氏：.Z-APE+Z.PAB=180°.

：.LAPE=1800-LPAB=180°-130°=50°.

*：AB||CD.：,PE||CD.

請你幫助小明完成剩余的解答.

（2）問題探究：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：

如圖3,ADIIBC,點P在射線OM上運動,〃DP=乙a,乙BCP=.當(dāng)點P在兩點之間時,ZCPD,"/。

之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

7.（2023下?天津濱海新?七年級統(tǒng)考期末）

（1）如圖2,將長方形紙片剪兩無，剪出三個角（/BAE、乙AEC、乙ECD）,則乙BAE+乙4EC+

乙ECD=°,

（2）如圖3,將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（NB4E、乙4EF、乙EFC、"CD）,則，BAE+〃房++

乙FCD=°.

（3）如圖4,將長方形紙片剪四刀，剪出五個角Z.AEF.乙EFG、乙FGC、々GCQ）,則NB4E+〃EF+

乙EFG+Z.FGC+Z.GCD=°,

（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪九刀，剪出d+1）個角，那么這S+1）個角的和是

8.（2023下?浙江?七年級期末）已知A3〃C0,定點E,F分別在直線AS,CO上，在平行線4B,CD之間有

一動點尸.

EB

CFD

備用圖1

IEB

DFD

備用圖3

備用圖2

（1）如圖1所示時，試問乙1EP,乙EPF,乙P/T滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

（2）除了（1）的結(jié)論外，試問々IEP,乙EPF,4PFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫圖并證明

（3）當(dāng)NEP/7滿足0°V/EPFV1800,月.QE,QF分別平分乙PEB和NPFD,

①若/EPF=60°,則/EQ尸=°,

②猜想“Pr與NEQF的數(shù)量關(guān)系.（直接寫出結(jié)論）

9.（2023下?浙江寧波?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,定點E,F分別在直線/B,CD上,在平行線4B,

CO之間有一個動點P,滿足0。<乙EPF<180°.

（1）試問：乙力“，乙EPF,"“滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解：由于點P是平行線48,之間一動點，因此需對點P的位置進(jìn)行分類討論.如圖1,當(dāng)點「在找的左側(cè)

時，易得Z4TP,乙EPF,/PFC滿足的數(shù)量關(guān)系為乙4EP+4PFC=4EPP；如圖2,當(dāng)點P在EF的右側(cè)時，

寫出〃EP,乙EPF,"FC滿足的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖如QE,QF分別平分"EB和"PFD,且點P在EF左側(cè).

①若NEPF=100。，則NEQr的度數(shù)為；

②猜想“P尸與NEQF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

③如圖4,若NBEQ與"FQ的角平分線交于點Qi，MEQ1與匕DFQ1的角平分線交于點Q?，（BEQ?與乙DFQ?

的角平分線交于點Q3，以此類推，則"PF與"Q2020戶滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）

0020

10.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面材料，完成（1）?（3）題.

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題:

如圖1,已知力8〃8,點￡,廠分別在48,。。上，EP1FP.Z.1=60°.求乙2的度數(shù).

1

同學(xué)們經(jīng)過思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法:

小明：”如圖2,通過作平行線，發(fā)現(xiàn)乙1=乙3/2=乙4,由已知EP_L”何以求出42的度數(shù).”

圖2

小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過推理，得42=43=￡4,也能求出42的度數(shù).”

QD

圖3

小華：???如圖4,也能求出42的度數(shù).”

圖4

（1）請你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形（圖2）,描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線:

⑵請你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出匕2的度數(shù)為

老師：“這三位同學(xué)解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣.”

請大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題:

(3)如圖，4B//CZ),點分別在AB,CD±,FP^^^EFD^PEF=APDFt^Z.EPD=a,請?zhí)骄?CFE與

的數(shù)量關(guān)系（（用含。的式子表示），并驗證你的結(jié)論.

1.（2023下?湖南株洲?七年級統(tǒng)考期末）①如圖\,AB\\CD,則乙4+△E+乙。=360。；②如圖2,AB||

CD,則4P=4A—4C；③如圖3,AB||CD,則4E=zG4+z.l：④如圖4,直線力3||CD||EF,點。在

直線EF上，則2。一4?+4/=180。.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

圖3

C.3個D.4個

2.（2023上?七年級課時練習(xí)）（1）己知：如圖（。），直線DEIL48.求證：LABC+LCDE=Z.BCD；

（2）如圖（"），如果點。在A8與之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

3.（2023下?廣東東莞?七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥校?）如圖（I）48||C。，猜想MPD與N8、乙。的

關(guān)系，說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知力8||CD,猜想圖中的48PD與乙8、乙。的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和（4）,己知48||CD,猜想圖中的，BP。與ZB、4的關(guān)系，不需要說明理由.

4.（2023下?湖北武漢?七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點A、C.4不在同一條直線，ADWBE

圖①圖②圖③

（1）求證：ZK+ZC-Z/1=18UU:

（2）如圖②，AQ.8Q分別為NZMC、"BC的平分線所在直線，試探究”與N4QB的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖③，在（2）的前提下，且有ACIIQB,直線AQ、8c交于點P,QPLPB,直接寫出

Z.DAC：Z.ACB：Z-CBE=.

5.（2023下?浙江臺州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD1A8于點A,AE〃CD交BC于點、E,且EF1AB于

點F.

求證：zC=z.1+z.2.

證明：E尸1A3于點凡（己知）

，乙DAB=乙EFB=90°.（垂直的定義）

：,AD//EF,（）

/.=zl（）

*：AE//CD,（已知）

???/C=.（兩直線平行，同位角相等）

*：LAEB=Z/1EF+Z2,

AzC=zl+z2.（等量代換）

6.（2023下?福建廈門?七年級廈門市第十一中學(xué)?？计谥校┮阎?，AE//BD,乙力=乙。.

（1）如圖1,求證：AB//CD,

（2）如圖2,作上8AE的平分線交CD于點F,點G為AB上一點，連接FG,若乙CFG的平分線交線段4G于點H,

連接AC,若=+過點H作HM1FH交FG的延長線于點M,且3，E—544F"=18。，求

4￡4r+4GMH的度數(shù).

7.（2023下?浙江?七年級期末）已知力M〃CN,點8為平面內(nèi)一點，AB1BCTB.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點B在兩條平行線外,則乙力與2C之間的數(shù)量關(guān)系為

(2)點B在兩條平行線之間，過點B作BO_L4M于點D.

①如圖2,說明乙48。=乙C成立的理由;

②如圖3,8F平分N08C交OM于點居BE平分4480交OMf點E.若乙FCB+乙NCF=180°,zFFC=3^DBE,

求的度數(shù).

8.（2023下?廣東河源?七年級河源市第二中學(xué)?？计谥校┮阎本€小電，A是〃上的一點，8是/2上的一

點，直線/3和直線〃，/2交于。和D,直線CD上有一點P.

（1）如果P點在C,。之間運動時，問LAPB,乙P80有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）若點P在C,。兩點的外側(cè)運動時（尸點與C,。不重合），試探索乙PAC,Z.APB,"8。之間的關(guān)系又

是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）

結(jié)論2：9乙上Z~CFP~乙AEP雙乙片乙AEP乙CFP、％AB”CD、

\.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，如果EF//CD,則Nl,Z2,/3的關(guān)系式

2.（2023下?江蘇?七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）如圖，將乙4為30。的直角三角板4BC的直角頂

點C放在直尺的一邊上，則N1+/2的度數(shù)為

3.（2023上?貴州六盤水?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，ABWDE,乙ABC=80。，Z.CDE=140°,則4BCD的

度數(shù)為

C

4.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）如圖所示，A4〃CO,ZE=37°,ZC=20°,則/￡48的度數(shù)為

5.（2023下?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，若AB//CD,則N1+N3-22的度數(shù)為

E

1

B

6.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）已知A8//CD,求證：

7.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱德強學(xué)校?？计谥校┮阎?線4B〃C￡>,尸為平面內(nèi)一點，連接

南、PD.

（I）如圖1,已知N4=50。，ZD=150°,求NAP。的度數(shù)；

（2）如圖2,判斷NB4B、NCDP、/AP。之間的數(shù)量關(guān)系為.

（3）如圖3,在（2）的條件下，APLPD,DN平分/PDC,若/以NAP。，求NAM）的度數(shù).

B

8.（2023下?廣東中山?七年級校考期中）（1）如圖，AB//CD,C/平分NOCE,若NDCF=3G0,ZE=20°,

求乙48七的度數(shù);

(2)如圖，AB//CD,ZEBF=2ZABF,C/平分NQCE,若NF的2倍與NE的補角的和為190。，求/ABE

的度數(shù).

(3)如圖，P為(2)中射線8E上一點，G是CO上任一點，P。平分N8PG,GN//PQ,GM平分NOGP,

若NB=30。,求NMGN的度數(shù).

9.(2023下?山西晉中?七年級統(tǒng)考期中)綜合與探究

【問題情境】

王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動

(1)如圖1,￡T〃MN,點4、B分另1|為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出ZP4F、乙PBN

和Z4PB之間的數(shù)量關(guān)系;

圖1圖2備用圖

m

M

A

備用圖

【問題遷移】

（2）如圖2,射線0M與射線ON交于點。，直線m〃n,直線m分別交OM、ON于點/、D,直線n分別交OM、

ON于點B、C,點P在射線OM上運動，

①當(dāng)點P在小B（不與力、8重合：兩點之間運動時，設(shè)4乙BCP=乙6.KUCPD,za,△/?之間

有何數(shù)豉關(guān)系？請說明理由.

②若點P不在線段48上運動時（點P與點4、B、。三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫

出，CPO,乙a,之間的數(shù)量關(guān)系.

專題5.4平行線中的四大經(jīng)典模型

【人教版】

【模型1“豬蹄”型（含鋸齒型）】

結(jié)論2：X//AER￡CFP、則ABf/CD

I.（2020下?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB||CD,E尸平分/8E0,乙DEF+Z.D=66°,Z.B-Z.D=28°,

貝IJ/8ED=

【答案】80°

【分析】過E點作EMZM8,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N8EO=NB+N。，利用角平分線的定義可求得

ZB+3ZD=132°,結(jié)合NB-N/>28。即可求解.

【詳解】解：過E點作EMZM/3，

:?/B=NBEM,

,:AB〃CD,

：.EM//CD,

:?/MED=ND,

:?/BED=NB+ND,

，：EF平分/BED,

NDEH2NBED,

???ZDEF+ZD=66°,

，：NBEZ）+ND=66。，

2

AZBED+2ZD=132O,

即N8+3NO=132。，

VZB-ZD=28°,

/.ZB=54°,ZD=26°,

，ZBED=80°.

故答案為:80。.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出N8EO=/B+N。是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?遼寧鞍山?七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知ABIICD,BE平分〃BC,DE平分〃DC,LBAD=80°,

乙BCD="。，則MED的度數(shù)為.（用含n的式子表示）

【答案】40°+1n°

【分析】首先過點E作EFIIAB,由平行線的傳遞性得ABIICDIIEF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)侍角相等，得

出，BCD=zABC=n。，ABAD=AADC=80°,由角平分線的定義得出乙4BE=：n。，zEDC=40°,再由

兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出尸=44BE=gn°/-FED=Z-EDC=40°,由/BED=+ZFED即可

得出答案.

【詳解】解：如圖，過點E^EF||AB,則力8||CD||EF,

BA

-AB||CD,

：.LBCD=AABC=n°,Z-BAD=Z.ADC=80°,

又?,?8￡*平分乙48C,DE平分N4DC,

：.AABE=-^ABC=-n°,

22

乙EDC=-/.ADC=ix80°=40%

22

*：AB||EF||CD,

：.LBEF=/.ABE=^n°,

乙FED=乙EDC=40°,

?LBED=乙FED+乙BEF=40°4--n°,

2

故答案為：40°+1n°.

【點睛】本題考杳平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角

平分線的定義.

3.(2023下?廣東河源?七年級河源市第二中學(xué)校考期中)己知直線川。，A是〃上的一點，8是/2上的一

點，直線/3和直線〃，/2交于C和。，直線CDI二有一點P.

⑴如果。點在C,。之間運動時，問^APB,乙PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)若點。在C,。兩點的外側(cè)運動時(P點與C,。不重合)，試探索“AC,Z.APB,"8。之間的關(guān)系又

是如何？(請直接寫出答案，不簾要證明)

【答案】(1)4P4C+乙PBD=LAPB

(2)當(dāng)點P在直線。上方時，乙PBDZ.PAC=^APBi當(dāng)點P在直線&下方時，4c乙PBD=^APB.

【分析】(1)過點P作PE的,由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE%%，再由“兩直線平行，內(nèi)

錯角相等“得出"AC=〃PE、"BD=iBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論;

(2)按點P的兩種情況分類討論：①當(dāng)點P在直線。上方時；②當(dāng)點P在直線o下方時，同理(1)可得，P4C=

〃PE、乙PBD=LBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：乙PAC+乙PBD=UPB.

過點P作PE%,如圖1所示.

??PEIIh，IJH2，

???PEII1JI12,

:.ZPAC=NAPE,ZPBD=zBPE,

vzAPB=Z.APE+ZBPE,

二ZPAC+ZPBD=ZAPB.

(2)解：結(jié)論：當(dāng)點P在直線。上方時，ZPBD-ZPAC=zAPB-當(dāng)點P在直線％下方時，ZPAC-zPBD=zAPB.

①當(dāng)點P在直線h上方時，如圖2所示.過點P作PEII11.

??PE||I1"，

-.ZPAC=4APE,ZPBD=zBPE,

??zAPB=zBPE-zAPEt

ZPBD-ZPAC=ZAPB.

②當(dāng)點P在直線I2下方時，如圖3所示.過點P作PE1111.

h

J

圖3

PE||k，1川2，

???PEII1川2，

:.zPAC=Z.APE,zPBD=zBPE,

vZAPB=zAPE-Z.BPE,

zPAC-zPBD=/APB.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是艱據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“找到相等的

角.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等(或互補)的先是關(guān)鍵.

4.(2023下?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線AB//CQ,E廠是截線，點M在直線AB、CO之間.

(1)如圖1，連接GM,HM.求證：ZM=ZAGM+ZCHM；

(2)如圖2,在/GHC的角平分線上取兩點M、Q,使得NAGM=NHGQ.試判斷與/GQ”之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)證明見詳解

(2)LGQH=180°-ZM；理由見詳解

【分析】（1）過點M作MNII48,由A8IIC0,可知MN||71811co.由此可知：乙AGM=xGMN,Z.CHM=Z.HMN,

故，力GM+乙CHM=Z.GMN+乙HMN=^M；

（2）由（1）可知iAGM+4再由NCHM=乙GHM,N4GM=N〃GQ,可知：乙M=乙HGQ+乙GHM,

利用三角形內(nèi)角和是180°,可得乙GQH=180°-4M.

【詳解】（1）

解：如圖：過點M作MNIL4B,

：.MN\\AB\\CD,

：.z.AGM=ZLGMN,乙CHM=LHMN,

'：LM=LGMN+乙HMN,

：,LM=LAGM+LCHM.

（2）解：Z.GQH=180°-zM,理由如下:

如圖：過點M作MNII48,

由（1）知4M=NAGM+NCHM,

THM、『分4GHC,

=乙GHM,

/AGM=/HGQ,

=乙HGQ+乙GHM,

V2.HGQ+4GHM+乙GQH=ISO。，

:?LGQH=180°-ZM.

【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時這

也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用.

5.(2023下?福建莆田?七年級莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，AB//CD,點￡在直線A&C。內(nèi)

部，且力EJLCE.

(1)如圖1,連接AC,若AE平分々8AC,求證：CE平分乙ACD；

(2)如圖2,點M在線段AE上,

①若=當(dāng)直角頂點石移動時，乙8/1廳與，MCO是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;

②若乙MCE=^ECD5為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點E移動時，與乙MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說

明理由.

【答案】（1）見解析；（2）①NBAE+；NMCO=90。，理由見解析：②/胡歷白乙團”上卬尸，理由見解析?

2n+1

【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得N8AC+NOCA=180。，再根據(jù)AE_LCE可得/￡^C+NEC4=90。，根據(jù)AE

平分NZMC可得/ZME=/￡AC,等量代換可得NKCD+/Z?AC=9（F,繼而求得NZ）CE=NECA；

⑵①過七作先利用平行線的傳遞性得出EF//AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得

答案；

②過￡?作EF//AB,先利用平行線的傳遞性得出EF//AB〃CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.

【詳解】⑴解:因為AB〃CD,

所以/BAC+ZDCA=180°,

因為4E1CE,

所以NE4C+NEC4=90。，

因為AE平分NBAC,

所以NBAE=NE4C,

所以NB4E+NQCE=90。,

所以NE4C+/DCE=90。,

所以NOCE=/石C4,

所以CE平分NACQ；

（2）①石與NMC7）存在確定的數(shù)量關(guān)系：ZBAE-4ZMCD=9（）0,

理由如下：過E作￡；尸〃4從

B

：.EF//AB//CD,

；?NBAE=NAEF,/FEC=/DCE,

,:Z￡=90°,

/.NR4七+NECD=9()°,

*/ZMCE=ZECD,

N/M￡/NMCQ=90。；

2

②NA4E與NMCQ存在確定的數(shù)量關(guān)系：ZBAE+-^ZMCD=90°,

理由如下：過石作

?:AB"CD,

：.EF//AB//CD,

/.ZBAE=ZAEF,NFEC=NDCE,

*：ZE=90°,

???ZBAE+ZECD=9()°,

,?NMCE』NECD,

n

：.Z?A￡+—ZA/CD=90°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì).

6.（2023?全國?七年級專題練習(xí)）（I）如圖I,已知乙ABF=^DCE,求證：乙BFE=LFEC

（2）如圖2,已知/18//CD,Z.EAF=-LEAB.乙ECF="4CD,求證：4Z.AFC=-Z.AEC

'MW--------B

c1------------DC^---------------D

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）如圖：延長/好、QC相較于E,由A8〃CO可得NA8F=NE,再結(jié)合418r=乙DCE

可得NDCE二NE,即可得當(dāng)4￡〃;圮，最后運用兩直線平行、內(nèi)錯角相等即可證明結(jié)論：

(2)如圖2：連接AC,設(shè)NEAF=x,NECF=y,ZEAB=4x,NECD=4y,根據(jù)平行線性質(zhì)得出

ZBAC+ZACD=\S0°,求出NCAE+NACE=180°-(4x+4.y),再求出NAEC和NAR7,最后比較即可得到結(jié)

論.

【詳解】(1)證明：如圖：延長BF、0c相較于G

■:ABHCD

：,NABF=NG

*：LABF=乙DCE

：.ZDCE=ZG

：,BG//CE

:.乙BFE=HEC；

一二

G----------------D

圖1

(2)如圖2：連接人C,設(shè)NEAF=x,ZECF=y,NE48=4x,ZECD=4v,

■:ABIICD,

：.ZBAC+ZACD=\SOa

:.ZCAE+4x+ZACE+4y=180°

/.ZCAE+ZAC￡=180°-(4.v+4y),ZMC+ZFCA=I80°-(3x+3y),

AZ/AEC=180°-(ZCAE+ZACE)

=18O°-[8O°-(4x+4y)]

=4.v+4y

=4(x+y)

ZXFC=180°-(ZMC+ZFCA)

=I8O0-[18O0-(3x+3.v))1

=3/+3y

=3(x+y),

圖2

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識點，靈活應(yīng)用平行線的判定

與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理正確的表示角成為解答本題的關(guān)鍵.

7.(2017下.湖北武漢?七年級統(tǒng)考期中)如圖1,已知AB〃C￡>,NB=30°,ZD=120°；

圖1圖2

(1)若/七=60。，則/尸=」

⑵請?zhí)剿鱊E與NF之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

(3)如圖2,已知石P平分/BEEFG平分NEFD,反向延長尸G交EP于點P,求NP的度數(shù).

【答案】(1)90。

(2)匕F=42+30。，理由見解析

(3)15°

【分析】(I)如圖1，分別過點E,F作EM〃力B,FN//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙8=/BEM=30°,4MEF=

乙EFN,乙0+4DFN=180。，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

由得至

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙8=Z-BEM=30°t^MEF=Z.EFN,AB〃(:D,AB〃FN,“CD〃FN,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙0+LDFN=180°,于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點尸作FH〃EP,設(shè)乙BEF=2x。，則乙EFD=(2x+30)。，根據(jù)角平分線的定義得到乙PEF=

|z5FF=x0,zFFG=(x+15)0,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙PE"==x°,zP=zHFG,于

是得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1,分別過點E,F作EM〃/氏FN//AB,

EM//AB//FN,

???/B=乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,

又?：AB//CD,AB//FN,

ACD//FN,

???2D+Z.DFN=180°,

又?.?ND=120°,

乙DFN=60°,

:.Z.BEF=乙MEF+30°,乙EFD=Z.EFN+60°,

ZFFD=Z.MEF+60°

??.乙EFD=乙BEF+30°=90。；

故答案為：90°；

(2)解：如圖1,分別過點￡/作EM〃力8,FN//AB,

EM//AB//FN,

Z.B=乙BEM=30°,Z-MEF=ZEF/V,

又*AB//CD,AB//FN,

CD//FN,

ZD+Z.DFN=180°,

又???ZD=120°,

:.乙DFN=60°,

:?乙BEF=乙MEF+30°,(EFD=乙EFN+60°,

???Z.EFD=乙MEF+60°,

???乙EFD=乙BEFI30°；

(3)解：如圖2,過點F作FH〃EP,

由(2)知，LEFD=Z.BEF+30%

設(shè)=2x°,則2EFD=(2x+30)。，

???EP平分/BEF,G/平分乙￡/孫

???Z.PEF=\LBEF=x°,乙EFG=^EFD=(x+15)°,

vFH〃EP,

:.Z.PEF=乙EFH=x0,zP=乙HFG,

???Z.HFG=乙EFG-乙EFH=15°,

???ZP=15°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

8.(2020下?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末)問題情境：如圖I,已知乙APC=108°.求乙PAB+乙PCD

的度數(shù).

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2,過夕作PE〃/18,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得NP48+NPC0=360。一

^APC=252°.

問題遷移：如圖3,AD//BC,點。在射線OM上運動，LADP=^a,乙BCP=乙^.

(1)當(dāng)點。在4、4兩點之間運動時，UPD、4a、乙夕之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)如果點尸在A、B兩點外側(cè)運動時(點P與點A、B、O三點不重合)，請你直接寫出4CP。、乙a、乙夕之

間的數(shù)量關(guān)系.

(3)問題拓展；如圖4,M4〃M4n，4-BI—42-------B,.]-乙是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你

所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為

【答案】(l)NCP。=Na+N"理由見解析

(2)ZCPD=N.-Na或/CPD=Za-/p

(3)/A/+NA2+—+NA〃=NB/+N82+_+z_Bn_i

【分析】(1)過P作PE〃A。，根據(jù)平行線的判定可得PE〃4?！ˋC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)過P作PE〃/W),根據(jù)平行線的判定可得PE〃AO〃BC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(3)問題拓展：分別過小…，作直線〃A/M,過8”必，…，8〃”作直線〃A/M,根據(jù)平行線的判

定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)ZCPD=Za+Z/?,理由如下：

如圖，過戶作PE〃A。交C。于E,

：.AD//PE//BC,

：,Za=ZDPE,牛/CPE,

/.ZCPD=/DPE+/CPE=4什/伊

(2)當(dāng)戶在BA延長線時，ZCPZ)=Z/?-Za：理由:

如圖，過P作尸E〃A￡＞交CO于E,

:.AD"PE"BC,

/.Za=ZDPE,/B=/CPE,

???ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z(i-Ze；

當(dāng)P在30之間時，NCPD—仇理由:

如圖，過。作P石〃AQ交CO于E,

：.AD//PE//BC,

：.^a=ZDPE,Np=NCPE,

/.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp.

（3）問題拓展：分別過4,4…，A"”作直線〃A/M,過歷，B2,…,8幾/作直線〃A/M,

由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得NA/+ZA2+—+NA〃=ZZ?/+N%^..+43n-i?

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問在解題時注意

分類思想的運用.

9.（2020下?重慶九龍坡?七年級統(tǒng)考期末）已知，4B〃C。.點M在AB上，點N在C。上.

（1）如圖1中，/BME、NE、NENO的數(shù)量關(guān)系為：—；（不需要證明）

如圖2中，NBMF、4F、NEVQ的數(shù)量關(guān)系為：—；（不需要證明）

（2）如圖3中，NE平分NFM）,U8平分NFME,且2NE+NF=180。，求N尸ME的度數(shù)；

（3）如圖4中，N5M￡：=60。，EF平令/MEN,NP平分/END,且EQ//NP,則N/E。的大小是否發(fā)生變

化，若變化，請說明理由，若不變化，求出/五￡Q的度數(shù).

B

圖1圖2圖3圖4

【答案】(1)/BME=/MEN?/END；NBMF=/MFN+/FND；(2)120°；(3)不變，30°

【分析】(1)過E作E”〃A8,易得EH〃4B〃CO,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過尸作"7〃4B,易得

FH//AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)根據(jù)(I)的結(jié)論及角平分線的定義可得2(ZBME+ZEND)+ZBMF-ZFND=180°,可求解NBMF=60。,

進(jìn)而可求解；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知N尸EgjNBME,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：(1)過E作EH〃48,如圖1,

圖1

；?NBME=NMEH,

TAB"CD,

：.HE//CD.

/.ZEND=/HEN,

???4MEN=/MEH+ZHEN=NBME+/END,

即N8ME=NMEN-ZEND.

如圖2,過尸作"/〃AB,

工NBMF=NMFK,

*：AB//CD,

:,FH〃CD,

：.ZFND=/KFN,

：./MFN=/MFK?/KFN=/BMF?ZFND,

BP：/BMF=/MFN+/FND.

AB

3/

C-^-------------------D

A

圖2

故答案為乙BME=^MEN-4END；4BM卜=/MFN+&ND.

(2)由(I)得NBME=NMEN-/END；/BMF=4MFN+4FND.

?:NE平分NFND,MB平分/尸ME,

NFME=NBME+NBMF,/FND=/FNE+/END,

?/2NMEN+ZMFN=180°,

???2QBME+/END)+/BMF-NFND=180。,

/.2ZBME+2ZEND~\~ZBMF-ZF7VD=18O°,

即2N8M尸+NFNO+N8MF-zFND=180°,

解得NBM/=60。，

/.ZF/WE=2ZS/WF=I2O°；

(3)NFEQ的大小沒發(fā)生變化，NFEQ=30°.

由(1)知：/MEN=/BME+/END,

?:EF平分/MEN,NP平分/END,

:?/FEN=+/MEN=+QBME+NEND),ZENP=-ZEND,

222

?：EQ//NP,

"NEQ=/ENP,

：.ZFEQ=ZFEN-/NEQ=SBME+/END).三/END=)BME,

NBME=600,

/.ZFEQ=1x60o=30°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期中)如圖，A8〃CD,點0在直線CD上，點P在直線力8和CD之間，乙48P=

乙PDQ=a,PD平分乙BPQ.

D

D

備用圖I

(l)求48Po的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(2)過點。作。E〃PQ交尸8的延長線于點E,作乙。EP的平分線EF交PDF點尸，請在備用圖中補全圖形，猜

想E戶與P0的位置關(guān)系，并證明;

(3)將(2)中的“作4DEP的平分線Er交P0于點F”改為“作射線￡戶將4DEP分為1:3兩個部分，交PD于點F”,

其余條件不變，連接EQ,若EQ恰好平分"QD,請直接寫出"EQ=(用含a的式子表示).

【答案】(1)乙BPD=2a；(2)畫圖見解析，EFJ.P0,證明見解析?：(3)45。*或45。一爐

【分析】(1)根據(jù)平行線的傳遞性推出PG〃/18〃CD,再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解；

(2)猜測EFJ.P0,根據(jù)P。平分=2a,推導(dǎo)出N8P0=NOPQ=2a,再根據(jù)OE//PQ、EF平

分乙DEP,通過等后代換求解：

(3)分兩種情況進(jìn)行討論，即當(dāng)/P￡T/￡)￡T=1:3與z￡)￡T：NPEF=1:3,充分利用平行線的性質(zhì)、角平分

線的性質(zhì)、等量代換的思想進(jìn)行求解.

【詳解】⑴過點P作PG〃力8,

-AB//CD.PG//AB,

PG//AB//CD,

Z.BPG=乙ABP=a,乙DPG=乙PDQ=a,

Z.BPD=Z.BPG+Z.DPG=2a.

由（1）可知：乙BPD=2a,

vPD平分48PQ,4BPO=2a,

:.乙BPD=Z-DPQ=2a,

vDE//PQ,

???乙EDP=乙DPQ=2a,

???￡DEP=180°-乙BPD-乙EDP=180°-4a,

又E尸平分NOEP,

NPE尸=-Z-DEP=90°-2a,

2

A/.EFD=180O-CPEF-2.BPD=90°,

AEF1PD.

乙PEF:乙DEF=1:3,

由（2）可知：乙EPD=4OPQ=4EDP=2a/DEP=180°-4cr,

vZ.PEF:乙DEF=1:3,

:.Z.PEF=-Z,DEP=45。-a,

4

乙DEF=-Z-DEP=135°-3a,

4

-DE//PQ,

Z.DEQ=乙PQE,

乙EDQ+乙PQD=180°,

vZ.EDP=2a,Z.PDQ=a,

:.Z.