人教版九年級上冊數(shù)學全冊教案

人教版九年級上冊數(shù)學

第二H章一元二次方程

21.1一元二次方程

教學目標一

知識技能

1.通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=

O(aWO),分清二次項及其系數(shù)、一次項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念.

2.了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解.

數(shù)學思考與問題解決

通過豐富的實例，列出一元二次方程，讓學生體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)

量關系的有效模型，培養(yǎng)學生初步形成“模型思想”，增強學生應用數(shù)學知識解決實際

問題的意識.

情感態(tài)度

使學生經(jīng)歷類比一元一次方程得到一元二次方程概念的過程，減少學生對新知識的

陌生感，提高學生學習數(shù)學的興趣.

重點難點..

重點：通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=

0(aW0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題.

難點：一元二次方程及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項系數(shù)的識別.

教.學設計..

活動一：創(chuàng)設情境

1.什么是方程？什么是一元一次方程？

2.指出下面哪些方程是已學過的方程？分別是什么方程？

(l)3x+4=l；(2)6x—5y=7；(3)j=0;(4)|y=5；(5)x2-70x+825=0：(6)7+

34xv

』=4；(7)x(x+5)=15()；(8)y-1=0.

3.什么是“元”？什么是“次”?

活動二：一元二次方程及其相關概念的學習

自學教材第2?3頁，思考教師所提下列問題：

1.問題1中列方程的等量關系是_______,所列方程為，化簡后為

2.問題2中列方程的等量關系是______,為什么要乘;？所列方程為,

化簡后為.

3.觀察上面化簡后的方程，會發(fā)現(xiàn)：等號兩邊都是,只含有個

未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的方程，叫做一元二次方程.

4.任何一個方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式為

(aW).為什么？

5.說出一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次

項系數(shù)、常數(shù)項，在確定各個系數(shù)時要注意什么？

設計意圖：通過設問的方式來加深學生對一元二次方程的理解，排除學生對一元二

次方程及其相關概念理解的障礙，讓學生體會到一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)

量關系的一個有效數(shù)學模型，同時，通過設問也給學生學習探究搭建了交流平臺.

活動三：嘗試練習

1.判斷下列方程是否為一元二次方程.

(l)3x4-2=5y—3；(2)x2=4；(3)3x2—-=0；(4)x2—4=(x+2)2；(5)ax2+bx-|-c=0.

X

2.方程2x2=3(x—6)化為一般形式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,—3,6D.2,3,6

(答案：1.略；2.B.)

活動四：知識拓展

例關于x的方程(m+l)xlm"+3x=6,當m=時，該方程是一元二次方

程.

分析：要使(m+l)xM「+3x=6為一元二次方程，除了考慮未知數(shù)的最高次數(shù)為2,

還要想到m+l#O.解題過程略.

活動五：課堂小結和作業(yè)布置

課堂小結：

1.一元二次方程的概念是什么？一個一元二次方程必須同時滿足三個要素：(1)整

式；(2)方程整理后含有一個未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是二次.

2.一元二次方程的一般形式是什么？二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、

常數(shù)項的概念分別是什么？

作業(yè)布置：

1.教材第4頁練習第1?2題.

2.若x2-2xmr+3=0是關于x的一元二次方程，求m的值.

板書設計

一元二次方程

1.創(chuàng)設情境

2.一元二次方程及其相關概念

一般形式：ax2+bx4-c=0(a^0)

3.嘗試練習

4.知識拓展

5.課堂小結和作業(yè)布置

21.2.1配方法(2課時)

第1課時配方法的基本形式

教學目標一

知識技能

i.理解一元二次方程降次的轉化思想.

2.會利用直接開平方法對形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程進行求解.

數(shù)學思考與問題解決

1.會用直接開平方法解簡單的一元二次方程.

2.提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=3根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然

后知識遷移到解a(ex+f)2+c=O型的一元二次方程.

情感態(tài)度

1.通過探究活動，培養(yǎng)學生勇于探索的良好學習習慣.

2.感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性.

重點難點一

重點：運用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程，領會降次——轉化的數(shù)學思想.

難點：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，疹知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(X

+m)2=n(n/0)的方程.

教學設計..

活動一：情境引入

印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳

樹林里；其余十二嘰嘰喳，伶俐活潑又調皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起."

大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的曰的平方，另一隊猴子數(shù)是12,那么

猴子總數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？

(多媒體展示問題.學生互相討論、分析理解.教師點撥、啟發(fā)、引導學生分析解題.)

設計意圖：寓教于樂，可激發(fā)學生的探索欲望.

活動二：探索發(fā)現(xiàn)

1.如圖，在AABC中，/B=90°,點P從點B開始，沿BA邊向點A以Icm/s的速度移動,

點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從

B點同時出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

2.能否求下列方程的解？

(l)(2t+1)2=8：(2)4(X-3)2=225；(3)9X2-6X+1=0；(4)x2+4x+4=1.

(教師引導學生觀察、分析、探索.學生小組內交流、探討知識的發(fā)展變化，找出規(guī)律，升華為

理論知識.)

設計意圖：通過該活動引導學生探究、發(fā)現(xiàn)解一元二次方程的解法.通過根據(jù)平方根的意義解

形如x2=n的方程，將知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n(n20)的方程.

活動三：歸納總結——由感性到理性

問題1：你能和同伴交流嗎？

降次的實質：.

降次的方法：.

降次體現(xiàn)了思想.

2.如果方程能化成x2=p或(nx+m)2=p(p20)的形式：那么可得x=,或nx+m=

(學生與同伴交流后將其發(fā)現(xiàn)告訴教師并共同探索.)

設計意圖：進一步體驗充滿探索與創(chuàng)造的數(shù)學活動，感受數(shù)學的嚴謹性和數(shù)學結論的確定性.

活動四：鞏固練習

1.教材第6頁練習.

2.你學會了嗎？解下列方程：

2224

(1)(點-2月=3；(2)2x?—98=0：(3)x-6x+9=2；(4)10(1+x)=14.4；(5)(1+x+1)=2.56；(6)x

-6X2+9=0；(7)|(3X4-1)2-15=O.

(教師引導，組織學生練習，巡回輔導，重點問題進行強化、點撥方法、總結規(guī)律，對學生存在

的共性問題做好補教.強調該方法的依據(jù)是平方根的意義.學生獨立思考解決問題.)

設計意圖：通過練習，幫助學生熟練掌握開平方法的應用，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題

的能力.

活動五：師生小結

I.本節(jié)課你感受到了什么？

2.根據(jù)本節(jié)課解方程的方法，你能談談你的收獲嗎？

3.你認為應該注意什么？

4.本節(jié)課你的困惑是什么？

5.你認為最讓你費解的地方在哪里？

(教師啟發(fā)學生回憶.學生可以與同伴交流，也可以請教老師.)

設計意圖：創(chuàng)造一個平等民主的學習氛圍，盡可能地讓學生把自己的所思所想表達出來，以期

共同提高.

活動六：布置作業(yè)

教材第16頁習題21.2第1題.

（教師布置作業(yè)，學生按要求課外完成.）

設計意圖：加深認識，深化提高.

板書設計

配方法的基本形式

一、情境引入

二、探索發(fā)現(xiàn)一一降次是解一元二次方程的一般思路

三、歸納總結---由感性到理性

I.問題1

2.問題2

、、四、鞏固練習/

即搟7---------------------------------------------------------------------------------

2.補充練習

五、師生小結

六、布置作業(yè)

第2課時配方法的靈活應用

教學目標.

知識技能

1.理解配方法.

2.會利用配方法熟練、靈活地解二次項系數(shù)為1的一元二次方程.

數(shù)學思考與問題解決

1.會用配方法解簡單的一元二次方程.

2.發(fā)現(xiàn)不同方程的轉化方式，運用已有知識解決新問題.

3.通過對計算過程的反思，獲得解決新問題的經(jīng)驗，體會在解決問題的過程中所呈現(xiàn)的數(shù)學方

法和數(shù)學思想.

情感態(tài)度

1.通過配方法的探究活動，培養(yǎng)學生勇于探索的良好學習習慣.

2.感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結論的確定性.

3.由題目的特點找到與舊知識的聯(lián)系，將新知化為舊知，從而解決問題.培養(yǎng)學生的觀察能力

和運用學過的知識解決問題的能力.

重點難點一…

重點：用配方法熟練地解二次項系數(shù)為1的一元二次方程.

難點：靈活地運用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程.

教學設學….

活動一：復習引入

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m2,場地的長和寬應各是多少？

(1)如何設未知數(shù)？根據(jù)題目的等量關系如何列出方程？

⑵所列方程和之前我們學習的方程X2+6X+9=2有何聯(lián)系與區(qū)別？

(3)你能由方程①x?+6x+9=2的解法聯(lián)想到怎樣解方程②x?+6x—16=0嗎？

(學生完成問題(1)，列出方程.如何解這個方程呢？學生觀察問題(2),找到聯(lián)系與區(qū)別，教師可

點撥啟發(fā).問題(3),學生思考、討論.)

設計意圖：問題(1)益于培養(yǎng)學生的應用意識，可激發(fā)學生的探究欲.問題(2)激起學生學習的欲

望.

活動二：實驗發(fā)現(xiàn)

我們研究方程x?+6x+7=0的解法：

將方程視為x2+2-x-3=-7,

配方,得X2+ZX?3+32=32-7,即(X+3)2=2,

由此可得X十3=",

所以xi=-3+蛆，X2=-3—

這種解一元二次方程的方法叫做配方法.這種方法的特點是：先把方程的常數(shù)項移到方程的右

邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數(shù)，就可以進?步通過直接開平方法來求出它

的解.

總結發(fā)現(xiàn)：用配方法解一元二次方程的步驟.

①把原方程化為ax2+bx+c=0(aK0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為I,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)：

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進?步通過直接開平方法來求出它的解：如果右邊是?個負數(shù)，

則判定此方程無實數(shù)解.

(教師引導學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.讓學生用自己的方法探究一元二次方程的解法.)

設計意圖：通過引導學生自主、合作、探究、驗證，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能

力.培養(yǎng)學生善于總結思考的能力.

活動三：用配方法解決問題

例解下列方程：

(l)x2—2x-35=0：(2)2x2—4x—1=0.

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式：(2)同

上.

解：⑴x?-2x=35.

X2-2X+12=35+12.

(x—1尸=36,x—1=±6,

X—1=6,X—1=—6,

xi=7,x2=—5.

可以驗證X1=7,X2=-5都是方程X2—2x—35=0的根.

(2)x2-2x―2=0?X2—2X=2?

x2-2x+12=受+12,

(x-l)2=|,

X-1一幸,

可以驗證X1=1+坐，X2=1一乎都是方程2X2-4X-1=0的根.

(可以讓兩位學生演示.可給學生提示兩邊同時除以二次項的系數(shù).驗證不可少，但可寫也可不

寫?)

設計意圖：通過練習，使學生認識到：配方的關鍵是在方程兩邊同時添加的常數(shù)項等于一次項

系數(shù)一半的平方(二次項系數(shù)必須為I).培養(yǎng)學生做事嚴謹周密的習慣.

活動四：鞏固練習

1.填空：

(l)x2+10x+()=(E

(2)x2-8x4-()=(x-

(3)X24-X+()=(x+)2；

(4)4x2-6x4-()=4(x-)2+().

2.用配方法解方程:

(l)x2+8x—2=0；(2)x2—5x—6=0；(3)x2+7=6x.

(教師引導，組織學生練習，巡回輔導，重點問題進行強化、點撥方法、總結規(guī)律，共性問題做

好補教.學生獨立思考解決問題.)

設計意圖：通過練習，幫助學生熟練掌握方法的應用，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能

力.

活動五：師生小結

1.小結：應用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的要點是：

⑴化二次項系數(shù)為1；

(2)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)：

(3)方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方.

2.布置作業(yè)：教材第17頁習題21.2第2,3題.

(教師發(fā)動學生共同參與，語言切忌主觀，站在學生的角度看待每一點.教師布置作業(yè)，分層次

提出要求.)

設計意圖：梳理學習內容、方法、思路，養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習慣，形成知識體系.加深認識,

深化提高，形成知識體系.

板書設計....

i配方法的靈活應用

|一、復習引入

|二、實驗發(fā)現(xiàn)

|用配方法解一元二次方程的步驟

j①將原方程化為ax2+bx+c=0(aW0)的形式

@各力段如上次L_____________________________

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方

④把左邊化為完全平方式，右邊化為常數(shù)

"⑤判斷方程解的情況

三、用配方法解決問題

例題

四、鞏固練習

二'練習1、2

五、師生小結

1.歸納2.作業(yè)

21.2.2公式法

教堂目標.…

知識技能

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程.

2.會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

數(shù)學思考與問題解決

1.經(jīng)歷探索求根公式的過程，發(fā)展學生合情合理的推理能力.

2.提高學生的運算能力，并讓學生養(yǎng)成良好的運算習慣.

情感態(tài)度

1.通過運用公式法解一元二次方程，提高學生的運算能力，并讓學生在學習活動

中獲得成功的體驗，建立學好數(shù)學的自信心.

2.學會和他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

重點難點.…

重點：求根公式的推導和公式法的應用.

難點：一元二次方程求根公式的推導.

教學.設計?…

活動一：復習引入

用配方法解下列方程：

(1)6X2-7X+1=0；

(2)4X2-3X=52.

總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結，教師點評).

(1)移項；

(2)化二次項系數(shù)為1；

(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；

(4)原方程變形為(x+m)2=n的形式；

(5)如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解；如果右邊是負數(shù)，則一

元二次方程無解.

(安排兩名學生板書.教師引導學生回憶用配方法解一元二次方程的基本思路及基

本步驟.)

設計意圖：通過復習引入，讓學生回憶配方法的解題思路，并通過兩道練習題鞏固

所學知識，同時為本節(jié)課的學習做好鋪墊.

活動二：實驗發(fā)現(xiàn)

如果一個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aW0),你能否用上面配方法的

步驟求出它的兩根？請同學獨立完成下面這個問題.

問題：己知ax'+bx+c=O(a^O)且b‘一4acN0,試推導它的兩個根x,=

—b+qb?-4ac-b-Nb2一4ac

2a，X2=2a,

分析?：因為前面具體數(shù)字已做得很多了，我們現(xiàn)在不妨把a,b,c也當成一個具體

數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟可以一直推導下去.

解：移項，得ax：'+bx=-c,

二次項系數(shù)化為1,得

配方，得

一+2身

即&+9=限0

因為aWO,所以4a2>0,式子b?—4ac的值有以下三種情況:

b—

(1)當b2-4ac〉0時，4a，>0.

由①直接開平方，得

Mb：—4ac

x+我±

2a

一b土4尸一4ac

即乂=

2a

ac

ac

2a

—4FIC

(2)當b"-4ac=0時，――：—=0,由①可知，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x?=一

b

2a,

b—4acb

(3)當b2—4ac<0時，-^<0,由①可知(x+%)2<0,因此方程無實數(shù)根.

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，

一般地，式子b「4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用希臘字母△表

示它，BPA=b2—4ac,因此:

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當△》()時，

將a,b,c的值代入式子x=±乎士就能得到方程的根；當△<0時就能得到方

2a

程無實數(shù)根.

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

(教師引導、啟發(fā)學生探索求根公式并得出公式法的概念.也可課件演示推導過

程.引導學生做完題后總結.)

設計意圖：讓學生親自動手實驗，探究結論，激發(fā)興趣.培養(yǎng)學生愛動腦思考的好

習慣.

活動三：利用公式解決問題

教材第11頁例2.

(找四位學生板書，教師巡視及時發(fā)現(xiàn)錯誤及時糾正，對于部分學生給予適當鼓勵.)

設計意圖：加深對所學知識的理解.

活動四：鞏固練習

1.解下列方程：

(1)X2+3X+2=0；(2)2X2-7X=4；(3)2x?-3x+1=0.

2.應用題:

有一長方形的桌子，長為3nb寬為2nb一長方形桌布的面積是桌面面積的2倍,

且將桌布鋪到桌面上時各邊垂下的長度相同，則桌布長為，寬為長度相同，則

桌布長為.

(教師引導，組織練習，巡回輔導，重點問題進行強化、點撥方法、總結規(guī)律，共

性問題做好補教.學生獨立思考解決問題.）

設計意圖：通過練習，幫助學生熟練掌握公式法，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問

題的能力.

活動五：師生小結

1.本節(jié)課你有什么醫(yī)惑，請你大聲地告訴老師.

2.本節(jié)課你有何感想，請你暢所欲言.

3.本節(jié)課你有何收獲，請你與同伴分享.

布置作業(yè)：

教材第17頁習題21.2第4,5題.

（發(fā)動學生對本節(jié)課內容進行總結，鼓勵同學們大膽發(fā)言.教師分層要求，學生課

下完成.）

設計意圖：梳理學習內容、方法、思路，養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習慣，形成知識體系.加

強教、學反思，進一步提高教、學效果.鞏固所學知識.

板書設計

公式法

一、復習引入

二、實驗發(fā)現(xiàn)

一元二次方程求根公式的推導

xLb土尸總（b—ac'O）

za

三、利用公式解決問題

\例2

、

,西「鞏固縱習------------------------

1.解方程2.應用題

五、師生小結

1.反思2.作業(yè)

21.2.3因式分解法

教學目標.…

知識技能

1.了解因式分解法的概念.

2.會利用因式分解法解某些簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

數(shù)學思考與問題解決

1.經(jīng)歷探索因式分解法解一元二次方程的過程，發(fā)展學生合情合理的推理能力.

2.體驗解決問題的方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法.

情感態(tài)度

1.學會和他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

2.積極探索不同的解法，并和同伴交流，勇于發(fā)表自己的觀點，從交流中發(fā)現(xiàn)最

優(yōu)方法，在學習活動中獲得成功的體驗，建立學好數(shù)學的自信心.

重點難點.…

重點：應用因式分解法解一元二次方程.

難點：將方程化為一般形式后，對方程左側二次三項式進行因式分解.

教學?設計?…

活動一：復習引入

問題(學生活動)解下列方程.

(1)2X2+X=0(用配方法).

(2)3x2+6x=0(用公式法).

(3)要使一塊矩形場地的長比寬多3m,并且面積為28m2,場地的長和寬應各是多

少？

(4)如何設未知數(shù)并根據(jù)題目的等量關系列出方程？

(5)所列方程和以前我們學習的方程x?+6x+9=2有何聯(lián)系與區(qū)別？

(6)你能由方程X2+6X+9=2的解法聯(lián)想到怎樣解方程X2+3X-28=0嗎?

(鼓勵學生自主探究、小組合作交流.)

設計意圖：通過復習引入，讓學生回憶配方法和公式法的解題思路，并通過兩道練

習題鞏固所學知識，同時為本節(jié)課的學習做好鋪墊.

活動二：實驗發(fā)現(xiàn)

思考：(Dx(2x+l)=0：(2)3x(x+2)=0.

問題：(1)你能觀察出這兩題的特點嗎？

(2)你知道方程的解嗎？說說你的理由.

因式分解法的理論根據(jù)是：兩個因式的積等于零，那么這兩個因式的值就至少有一

個等于零.即：

若ab=O,則a=0或b=0.

由上述過程我們知道：當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式的乘積而另一邊等于

0時，即可解之.這種方法叫做因式分解法.

(3)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊為零：

②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；

③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解都是原方程的解.

(教師展示練習,對于一部分學生老師可給予一定的幫助，也可以鼓勵同學之間互

相幫助.)

設計意圖：讓學生親自動手實驗、探究結論、激發(fā)興趣.

活動三：用因式分解法解決問題

教材第14頁例3.

補充例題：解方程.

(1)3X2=8X,(2)(X-4)2=3X-12.

分析：(D移項提取公因式x；(2)等號右側移頂?shù)阶髠鹊靡?x+12,提取因式一3,

即一3(x—4),再提取公區(qū)式x—4,便可達到分解因式的目的，一邊為兩個一次式的乘

積，另一邊為。的形式.

解：⑴移項，得3x2—8x=0,

因式分解，得x(3x—3)=0,

于是，得x=0或3x—8=0,

8

Xi=0,x2=~

(2)移項,得(x—4)2—3x+12=0,

(X-4)2-3(X-4)=0,

因式分解,得(x—4)分一4—3)=0,

整理，得(x—4)(x—7)=0,

于是，得x—4=0或x—7=0.

Xi=4,X2=7.

(找兩位同學板書，教師巡視及時發(fā)現(xiàn)錯誤及時糾正，對于部分學生給予適當鼓勵.)

設計意圖：加深對所學知識的理解.

活動四：鞏固練習

1.三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程X?—6x+8=0的解，則這個三角形

的周長是()

A.8B.8或10C.10D.8和10

2.用因式分解法解方程4(x+l)-3x(x+l)=0,可把其化為兩個一元一次方程

、________求解.

3.方程(x+l)(x—2)=0的根是()

A.x=-1B.x=2C.x,=l,x2=—2D.Xi=-1,x2=2

4.解下列方程：

(1)x2—3x—10=0；(2)(x+3)(x—1)=5.

(教師引導，組織練習，巡回輔導，重點問題進行強化、點撥方法、總結規(guī)律，共

性問題做好補教.學生獨立思考解決問題.)

設計意圖：通過練習，幫助學生熟練掌握一元二次方程的解法，從而培養(yǎng)學生分析

問題、解決問題的能力.

活動五：師生小結

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次

方程.

(2)三種方法(配方法、公式法、因式分解法)的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系：①降次，它們的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次.

②公式法是由配方法推導而得到.

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程.

區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根.

②公式法直接利用公式求根.

③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使每個一次

因式等于0.

布置作業(yè):

教材第17頁習題21.2第6題.

（發(fā)動學生對本節(jié)譚內容總結?豢勵同學們大膽發(fā)言^教師布置作業(yè)，學生課下完

成.D:

國計意圖：梳理學習內容、方法、思路，養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習慣，形成知識體系.加

強教、學反思，進一步提高教、學效果.通過作業(yè)鞏固本節(jié)所學知識.!

板書設計

因式分解法

一、復習引入

二?實驗發(fā)現(xiàn)

因式分解法解一元二次方程的步驟

三、用因式分解法解決問題

1.例3

2.補充例題

四、鞏固練習

五、師生小結

1.小結

2.作業(yè)

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系

教學.目標,

知識技能

1.熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系.

2.靈活運用一元二次方程根與系數(shù)的關系解決實際問題.

3.提高學生綜合運用基礎知識分析解決復雜問題的能力.

數(shù)學思考與問題解決

通過創(chuàng)設一定的問題情境，注重由學生自己探索，讓學生參與韋達定理的發(fā)現(xiàn)，不

完全歸納驗證以及演繹證明等整個數(shù)學思維過程.

情感態(tài)度

通過學生探索一元二次方程的根與系數(shù)的關系，培養(yǎng)學生觀察、分析和綜合、判斷

的能力.激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，鼓勵學生勇于探索的精神.

重點難點

重點：一元二次方程的根與系數(shù)的關系.

難點：對根與系數(shù)的關系的理解和推導.

教學.設計?…

活動一：引入新課

我們知道，方程的根是由一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的各項系數(shù)a,b,c

決定的.我們還知道根是由b?-4ac決定其情況的.今天我們來研究方程的兩根的和及

兩根的積與a,b,c有怎樣的關系？

(教師出示問題，學生初步了解本節(jié)課的學習內容.教師引出新課并板書課題.)

設計意圖：開門見山，引入新課.

活動二：思考與歸納

從下表中找出兩根之和xi+xz與兩根之積XM和a,b,c的關系：

兩根之兩根之

兩個根X1與x2

方程和積

Xi+xXx

X1X22(2

x?+5x+6=0-2-3-56

x2-5x-6=06-15-6

x”—8x—9=09-18-9

_24_4

3x2—4x—4=02

-33-3

131

2X2-3X+1=01

222

_31_7

6X2+7X-3=0

~23-6~2

歸納：(1)形如x2+px+q=0的一元二次方程兩根的和、積分別與系數(shù)有如下關

系：

x14-x2=-p,x)x2=q.

(2)形如ax2+bx+c=0(aW0)的一元二次方程的兩根的和、積分別與系數(shù)有如下關

系：

bc

X+X=,XiX=-.

12a2a

(教師引導學生先觀察表格中前三行，看有什么共同規(guī)律？再觀察后三行.學生觀

察、思考、歸納、總結.)

設計意圖：通過兒個具體的方程，經(jīng)過觀察、歸納得出一般規(guī)律.

活動三：推理驗證

驗證ax?+bx+c=O(a#O)的兩根X”x?與a,b,c的關系.

設ax2+bx+c=0(aN0)的兩根為Xi,x2.

,—b+Mb2-4ac—b—Mb2-4ac

由此可知

-b+db”-4ac?—b—db」一4ac

Xi+x22a+2a

-2bb

2aa

—b+A/b2—4ac—b—Mb2-4ac

XiX=

22a2a

（-b）2-（I?-4ac）c

=4?=7

X1X.)

（教師讓學生通過推導證明前面的結論.教師引導：由求根公式求出X1+X22

設計意圖：通過推導證明滲透由特殊到一般的認知規(guī)律.

活動四：鞏固練習

1.應用

例4教材第16頁.

補充例題：不解方程，若知道5x2+kx+12=0的一個根為4,你能求出方程的另一

I

2.鞏固練習

教材第16頁練習.

（教師讓學生嘗試獨立解決，師生共議.學生獨立完成后，小組交流.教師引導：

方法一，利用根與系數(shù)的關系，由兩根之積和一個根，求出另一個根：方法二，把已知

的一根4,代入原方程求出k,再把k值代入原方程，再利用兩根之和與系數(shù)的關系求

出另一根.教師巡視，學生獨立完成.）

設計意圖：鞏固根與系數(shù)的關系（韋達定理）的同時，增強學生的應用意識.鞏固所

學知識，培養(yǎng)學習能力.

活動五：師生小結

1.一元二次方程的根與系數(shù)有怎樣的關系？

2.對本節(jié)課你還有什么困惑？

3.布置作業(yè)：

必做題：教材第17頁第7題.

選做題：已知方程5x/kx—6=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.

（教師引導學生談自己的收獲和疑感.教師布置作業(yè)，學生按要求課外完成.）

設計意圖：梳理學習的內容、方法，加強反思，進一步提高教學效果.復習鞏固,

查漏補缺.

板書設計

一元二次方程的根與系數(shù)的關系

一、引入新課

二、思考與歸納

三、推理驗證

-b-y/b2-4ac—2b

—b+db,-4ac—b-[1『一4ac(—b)(b」-4ac)

四、應用與練習

五、師生小結與布置作業(yè)

22.1.1二次函數(shù)

教學目標.…

知識技能

1.通過對實際問題情境的分析，讓學生經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成過程，理解二次

函數(shù)及有關概念.

2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系.

3.能根據(jù)實際問題中的條件確定二次函數(shù)的解析式，進一步體會建立函數(shù)模型的

思想.

數(shù)學思考與問題解決

通過“探究一感悟一練習”，采用探究、討論等方法進行.

情感態(tài)度

1.體會數(shù)學與人們生活的聯(lián)系.

2.在探究二次函數(shù)的學習活動中，體會通過探究得到發(fā)現(xiàn)的樂趣.

重點難點....

重點：二次函數(shù)的概念.

難點：尋找、發(fā)現(xiàn)實際生活中的二次函數(shù)問題，理解變量之間的對應關系.

教堂設計….

活動一：引入新課

回顧：

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.什么是正比例函數(shù)、一次函數(shù)？它們的一般形式是怎樣的？

引入新課：在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關的問題，利用

二次函數(shù)的有關知識研究和解決問題，具有很強的現(xiàn)實意義.本節(jié)課開始，請同學們共

同研究一一二次函數(shù).

(教師出示問題，學生口答.教師引出新課并板書課題.)

設計意圖：復習學過的函數(shù)，為本節(jié)課的學習做好鋪墊.開門見山，直接引入新課,

讓學生明確探究任務.

活動二：問題與求解

1.正方體的六個面是全等的正方形，如果正方體的棱長為x,表面積為y,那么y

與x的關系可以怎樣表示？

2.n邊形的對角線條數(shù)d與邊數(shù)n之間有怎樣的關系？

(Dn邊形從一個頂點出發(fā)有幾條對角線？

(2)n邊形共有幾條對角線？結合下圖解決.

3.某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20萬件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都

比上一年的產(chǎn)量增加x倍,那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定,

y與x之間的關系應怎樣表示？

(教師出示問題，適時引導、點撥.然后由小組推薦三名學生板書三個問題，其他

小組學生講評.學生嘗試板演，教師點評，學生糾錯.教師引導點撥：第1個問題在前

面三角形一章己經(jīng)學習過.第2個問題需要弄清：從點A出發(fā)的對角線AB與從點B出

發(fā)的對角線BA是同一條.得出關系式后，讓學生判斷這兩個變量之間是否存在函數(shù)關

系.對問題3引導：(1)這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是多少？(2)一年后的產(chǎn)量是多少？(3)再經(jīng)

過一年后的產(chǎn)量是多少？(4)兩年后的產(chǎn)量與x有怎樣的關系？)

設計意圖：讓學生在解決生活中實際的函數(shù)問題過程中為二次函數(shù)概念的得出做好

鋪墊，并且初步了解二次函數(shù)的特征，同時激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的應用

意識和探究能力.

活動三：觀察歸納

13

1.觀察：(l)y=6x2；(2)d=^n2-^n；(3)y=20x2+40x+20這三個函數(shù)，它們有

什么共同特點？你覺得這些函數(shù)應該叫做什么函數(shù)？

2.歸納總結：

在學生思考、回答后，給出二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,

c是常數(shù)，aWO)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a,b,c分別是二次項系數(shù)、

一次項系數(shù)和常數(shù)項.

(學生已經(jīng)具備了一次函數(shù)、一元二次方程的知識，完全具備了給這三個函數(shù)命名

的條件，教師引導學生通過觀察、猜想、歸納得出二次函數(shù)的名稱，進一步分析其特征.)

設計意圖：通過三個具體函數(shù)解析式的觀察、分析、猜想、歸納，讓學生經(jīng)歷二次

函數(shù)概念的形成過程.

活動四：應用

例1(補充)分別說出下列函數(shù)哪些是一次函數(shù)，哪些是二次函數(shù).

(1)y=3x—1；(2)y=3x?+2；(3)y=3x'+2x2；

(4)y=2x2—2x+l；(5)y=x2—x(l+x)；(6)y=x-2+x.

分析：依據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義，進行選擇.一次函數(shù)有：(D(5)(整理化

簡后自變量最高次數(shù)是一次)；二次函數(shù)有：(2)(4).

解：一次函數(shù)有：(1)(5)；二次函數(shù)有：(2)(4).

例2(補充)m取哪些值時，函數(shù)y=(m2—m)x：!4-mx4-(m+1)是以x為自變量的二次

函數(shù)？

分析：若函數(shù)y=(n】2—m)x2+mx+(m+l)是二次函數(shù)，須滿足的條件是：布一小羊。.

解：若函數(shù)y=面-m)x?+mx+(m+1)是二次函數(shù)，則而一ni#0.解得mWO,且m

#1.

因此，當mA。，且時，函數(shù)y=(m'一m)x'+mx+(□+1)是二次函數(shù).

(學生嘗試獨立解答，教師點評、講解.教師引導學生觀察解析式，不要只看表面

特征，還要細致分析，是否真的具備了二次(一次)函數(shù)的必備條件.學生先獨立完成，

再小組交流.教師點撥：形如y=ax2+ax+c的函數(shù)只有在aWO的條件下才是二次函

數(shù).學生思考、解決、交流.)

設計意圖：例題的設計都比較簡單，目的是鞏固二次函數(shù)的概念，加深對二次函數(shù)

的特征的認識與理解.

活動五：鞏固練習

1.寫出下列各關系式，并判斷它們是什么類型的函數(shù).

(1)寫出圓的面積y(c/)與它的周長x(cm)之間的關系式；

(2)某種儲蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不計利息稅，寫出本息和

y(元)與所存年數(shù)x(x為整數(shù))之間的關系式；

(3)菱形的兩條對角線的和為26cm,寫出菱形的面積S(cii?)與一對角線長x(cm)之

間的關系式.

V2

答案：(1)由題意，得y=/(x>0),其中y是X的二次函數(shù)；

(2)由題意，得y=10000+1.98%x-10000(x20且是正整數(shù))，其中y是x的一

次函數(shù)；

(3)由題意，得S=1x(26—x)=—1x2+13x(0<x<26),其中S是x的二次函數(shù).

2.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(l)y—x2=0；(2)y=(x—2)(x—2)—(x—I)2；

(3)y=x2+-；(4)y=W+2x-3.

X

答案：(1)是二次函數(shù).

3.當k為何值時，函數(shù)y=(k—l)xk2+k+l為二次函數(shù)？

答案：k=-2.

(學生當堂完成，小組互評，教師點評.教師引導，組織練習，巡回輔導，重點問

題進行強化，共性問題做好補救.)

設計意圖：通過引導學生自主合作、探究，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和

能力.通過練習，及時反饋學生學習的情況，便于教師把握教學效果，并能及時查漏補

缺，進一步優(yōu)化教學，從而培養(yǎng)學生踏實、嚴謹?shù)淖黠L.

活動六：師生小結

1.到目前為止，我們學習了哪些函數(shù)？它們之間有什么聯(lián)系？

2.你對二次函數(shù)有哪些了解？

3.對本節(jié)課你有什么收獲，還有什么困惑？說給同學聽.

（教師引導學生交流自己的收獲和疑惑.）

設計意圖：梳理學習的內容、方法，形成知識體系.養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習慣.加

強教學反思，進一步提高教學效率.

活動七：布置作業(yè)

必做題：教材第41頁習題22.1第1,2題.

選做題：教材第56頁復習題22第1,2題.

（教師布置作業(yè).學生按要求課外完成.）

設計意圖：復習鞏固，查漏補缺.

板書設計

二次函數(shù)

一、引入新課五、鞏固練習

二、問題與求解六、師生小結

三、觀察歸納七、布置作業(yè)

四、應用

例1例2

22.1.2二次函數(shù)丫=@乂2的圖象和性質

教學目標.

知識技能

通過畫圖，了解二次函數(shù)丫=@*2包70)的圖象是一條拋物線，理解其頂點為何是原

點，對稱軸為何是y軸，開口方向為何向上(或向下)，掌握其頂點、對稱軸、開口方向、

最值和增減性與解析式的內在關系，能運用相關性質解決有關問題.

數(shù)學思考與問題解決

1.從“數(shù)”(解析式)和“形"(圖象)的角度理解二次函數(shù)y=ax2的性質,體會“數(shù)

形結合”的思想.

2.通過畫二次函數(shù)y=ax'的圖象，進一步體驗并理解點與函數(shù)圖象的關系.

3.通過對函數(shù)圖象的觀察，掌握二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2(aW0)與函數(shù)圖象的聯(lián)系,

并運用“數(shù)形結合”的方法解決拋物線有關問題.

情感態(tài)度

1.體驗畫二次函數(shù)y=ax2(aW0)的圖象的過程，培養(yǎng)學生的動手能力.

2.通過對函數(shù)圖象的觀察，培養(yǎng)學生的審美意識和與他人合作交流的能力.

重點難點.…

重點：從“數(shù)”(解析式)和“形”(圖象)的角度理解二次函數(shù)y=ax，的性質，掌握

二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2與函數(shù)圖象的內在關系.

難點：畫二次函數(shù)y=ax2的圖象.

教學.設計?…

一、引入新課

1.下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？

(l)y=3x-l(2)y=2x2+7(3)y=x-2

(4)y=3(x-l)2+l

2.一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它們各有什么特點，又有

哪些性質呢？

3.上節(jié)課我們學習了二次函數(shù)的概念，掌握了它的一般形式，這節(jié)課我們先來探

究二次函數(shù)中最簡單的y=ax2的圖象和性質.

二、教學活動

活動一：畫函數(shù)y=-x?的圖象

(1)多媒體展示畫法(列表，描點，連線).

(2)提出問題：它的形狀類似于什么？

(3)引出一般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點.

設計意圖：在教學的編排上，我做了一些調整，首先讓學生接觸的是二次函數(shù)丫=

一父的圖象，這樣做的目的是，此函數(shù)的圖象更接近于現(xiàn)實生活，更利于學生發(fā)揮自己

的想象力，愛好籃球的學生可能馬上就會想到它類似于投籃時籃球在空中所經(jīng)過的路

線，愛好踢健的女生可能會說像踢健時健子所經(jīng)過的路線等等，這樣更接近生活實際，

學生學習的積極性也會更加高漲.

活動二：在坐標紙上畫函數(shù)y=-0.5x：'，y=—2x>的圖象

(1)教師巡視，展示學生的作品并進行點撥；教師再用多媒體課件展示正確的畫圖

過程.

(2)引導學生觀察二次函數(shù)y=—0.5x2,y=-2x2與y=—X?的圖象，提出問題：它

們有什么共同點和不同點？

(3)歸納總結：

共同點：①它們都是拋物線：②除頂點外都處于x軸的下方：③開口向下：⑷對稱

軸都是y軸；⑤頂點都是原點(0,0).

不同點：開口大小不同.

(4)教師強調指出：這三個特殊的二次函數(shù)丫=a9是當水0時的情況.系數(shù)a越大,

拋物線開口越大.

設計意圖：二次函數(shù)的圖象和性質是本節(jié)課的重難點，所以鼓勵學生先畫圖，經(jīng)歷

畫圖的過程，培養(yǎng)學生的動手能力.同時，盡量展示中等偏差的學生的作品，盡量讓優(yōu)

秀學生歸納總結，比較函數(shù)圖象的共同點和不同點，從而得出二次函數(shù)y=ax?的性質.

活動三：在同一個直角坐標系中畫函數(shù)y=x>y=0.5x2,y=2x?的圖象

類似活動二，讓學生歸納總結出這些圖象的共同點和不同點，再進一步提煉出二次

函數(shù)y=ax2(a#0)的圖象和性質.

二次函數(shù)y=ax-'(aW。)的圖象和性質

a>0a<0

圖象

(草圖)

開口

方向

頂點

活動四：達標檢測

(1)函數(shù)y=-8(的圖象開口向,頂點是，對稱軸是

當x時，y隨x的增大而減小.

(2)二次函數(shù)y=(2k-5)x2的圖象如圖所示，則k的取值范圍為

(3)如圖①y=ax?；②丫?*?；?y=cx2；?y=dx2,比較a,b,c,d的大小，用“>”

連接.

(答案：⑴下,(0,0),y軸,>0；(2)k>2.5；(3)a>b>d>c.)

三、課堂小結與作業(yè)布置

小結：1.二次函數(shù)的圖象都是拋物線.

2.二次函數(shù)丫=2/的圖象特點：(1)拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點.

(2)當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當a<0時，拋物線的

開口向下，頂點是拋物線的最高點；la越大，拋物線的開口越小.

作業(yè)：教材第32頁練習.

板書設計

一次函數(shù)y=K、2的圖象和性質

1.畫函數(shù)y=-x2的圖象

2.畫函數(shù)y=—0.5x)y=-2x?的圖象

3.在同一個直角坐標系中畫函數(shù)y=x2；y=0.5x2,y=2x?的圖象

二次函數(shù)y=ax2(a^O)的圖象和性質的歸納小結

22.1.3二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(3課時)

第1課時二次函數(shù)丫=2*2+1＜的圖象和性質

教學?目.標....

知識技能

1.能用描點法畫出形如二次函數(shù)丫=2/+1＜的圖象，掌握它的圖象特征，并會總結

它的性質.

2.理解二次函數(shù)y=ax?與y=ax2+k的圖象和性質的異同，能用平移的方法解決

圖象間的關系.

數(shù)學思考與問題解決

1.通過解析式、函數(shù)對應表和圖象三個角度比較二次函數(shù)丫=僦2與y=a/+k的

關系，體會“數(shù)形結合”的思想，體會數(shù)學的發(fā)展方向.

2.在不畫出圖象的情況下，利用性質直接說出二次函數(shù)y=ax?+k的圖象的開口方

向、頂點、對稱軸，及增減性和最值.

3.能用待定系數(shù)法求出形如二次函數(shù)y=a/+k的解析式，也能用平移的方法寫出

形如y=ax2+k的解析式.

情感態(tài)度

1.通過畫圖，感受圖象之美，培養(yǎng)學生的審美意識.

2.通過比較二次函數(shù)y=ax2與y=ax2+k的圖象和性質的異同，感悟數(shù)學的和諧

與統(tǒng)一，向學生滲透事物總是不斷運動、變化和發(fā)展的觀點，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.

重點難點....

重點：畫出二次函數(shù)y=ax2+k的圖象，掌握它的圖象特征，并會總結它的性質.

難點：通過解析式、函數(shù)對