第2課時 平行四邊形對角線的性質

第十八章平行四邊形18.1.1

平行四邊形的性質第2課時平行四邊形對角線的性質講授新課當堂練習課堂小結新課導入目錄新課導入教學目標教學重點學習目標1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質；（重點）2.經歷對平行四邊形性質的猜想與證明的過程，滲透轉化思想，體會圖形性質探究的一般思路.（難點）新課導入情境引入一位飽經滄桑的老人，經過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：當四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己分的地少，同學們，你認為老人這樣分合理嗎?為什么?講授新課典例精講歸納總結講授新課平行四邊形對角線的性質問題：我們知道平行四邊形的邊角這兩個基本要素的性質，那么平行四邊形的對角線又具有怎樣的性質呢?ABCDOOA與OC,OB與OD有什么關系?猜一猜OA=OC,OB=OD怎樣證明這個猜想呢？證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AD=BC，AD∥BC,∴∠1=∠2，∠3=∠4,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴

OA=OC，OB=OD.已知：如圖,□ABCD的對角線AC、BD相交于點O.求證：OA=OC，OB=OD.ACDBO3241如圖，□ABCD的對角線AC,BD交于點O.過點O作直線EF,分別交AB,CD于點E，F.求證：OE=OF.

證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（AAS）,∴AB∥CD,OD=OB,∴OE=OF.ABCDFEO練一練：要點歸納平行四邊形對角線的性質平行四邊形的對角線互相平分.ACDBO∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA=OC，OB=OD.例1：如圖，在□ABCD中，AB=10，AC=14，BD=8.△AOB的周長是多少?△ABC與△ABD的周長哪個長？長多少？解：在□ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC.因為AC＝14，BD＝8，所以OA＝OC＝

AC＝×8＝7，OB＝OD＝

BD＝×14＝4.∴△AOB的周長為OA＋OB＋AB＝7＋4＋10＝21，△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝10＋14＋BC＝24＋BC，△ABD的周長為AB＋BD＋AD＝10＋8＋AD＝18＋AD，∴△ABC的周長>△ABD的周長，又∵AD＝BC，∴△ABC的周長－△ABD的周長＝24＋BC－(18＋AD)＝24＋BC－18－AD＝6，即△ABC的周長比△ABD的周長長，長6.變式1：已知□ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，求這個平行四邊形各邊的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，∴AB－AD＝5cm.又∵□ABCD的周長為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.講授新課平行四邊形的面積問題1

：如圖，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的長，以及□ABCD的面積．ABCDO解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，根據勾股定理得∴BC=AD=8,CD=AB=10.是直角三角形.又∵OA=OC,講授新課平行四邊形的面積問題2：平行四邊形的對角線分平行四邊形ABCD為四個三角形，它們的面積有怎樣的關系呢？解：相等.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵△ADO與△ODC等底同高，∴S△ADO=S△ODC.同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.練一練：

如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四邊形ABCD的周長為48，DE=5，DF=10，求平行四邊形ABCD的面積.解：設AB=x，則BC=24-x.根據平行四邊形的面積公式可得5x=10(24-x)，解得x=16．則平行四邊形ABCD的面積為5×16=80．要點歸納平行四邊形的面積1．面積公式：平行四邊形的面積＝底×高(底為平行四邊形的任意一條邊，高為這條邊與其對邊間的距離)．2．等底等高的平行四邊形的面積相等．3．平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一.相對的兩個三角形全等.例2.

如圖，若□ABCD的周長為36cm，過點D分別作AB，BC邊上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，□ABCD的面積為(

)cm2.A．40B．32C．36D．50A變式2:把一個平行四邊形分成3個三角形，已知兩個陰影三角形的面積分別是9cm2和12cm2，求平行四邊形的面積．

解：（9+12）×2=21×2=42（cm2）答：平行四邊形的面積是42cm2．例3：如圖，AC,BD交于點O，EF過點O,□ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？ABCDOFEMN解：設直線EF交AD,BC于點N,M.∵AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，∴S四邊形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB

=S△AOB+S△COB=S△ABC

＝

S□ABCD.∴S四邊形ANMB=S四邊形CMND,即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.變式3

如圖，歡歡看到平行四邊形的草地中間有一水井，為了澆水的方便，歡歡建議我們經過水井修小路，一樣可以把草地分成面積相等的兩部分，同學們，你知道聰明的歡歡是怎么分的嗎？BMC●DAO解：如圖所示．當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習1.如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC+BD=16,CD=6,則△ABO的周長是（）A.10B.14C.20D.

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BCDAOB2.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,則m的取值范圍是()

A.24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<12

BCDAOC3.如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連接AF，CE，則下列結論：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④圖中共有四對全等三角形．其中正確結論的個數是(

)A．4B．3C．2D．1B4.如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于O，EF過點O與AD，BC分別相交于E，F，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四邊形EFCD的周長為（）A.16B.14C.12D.10ADCBFEOC5.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，則BD的長是

.6.如圖，平行四邊形ABCD的面積為20，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別是AB，CD上的點，且AE=DF，則圖中陰影部分的面積為_______．57.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過O作OE⊥BD，交BC于點E.若△CDE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長是多少？解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.∵OE⊥BD，∴BE=DE.∵△CDE的周長為10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，∴平行四邊形ABCD的周長為2×(BC+CD)=20．8.

如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點A，E，F，C

在一條直線上，求證：AE＝CF.證明：如圖，連接BD交AC于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)．∵四邊形EBFD是平行四邊形，∴