2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版期中必刷常考題之復(fù)數(shù)的四則運算

第16頁（共16頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之復(fù)數(shù)的四則運算一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?南陽期末）若z＝﹣1+i，則zzA．﹣1﹣i B．﹣1+i C．-12+12．（2024秋?樟樹市校級期末）已知復(fù)數(shù)z=3+iA．2+i B．3+i C．2﹣i D．3﹣i3．（2024秋?泰州期末）已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)?A．23-23i B．23+24．（2025?孝義市模擬）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝1，b＝25．（2025?臨沂一模）52-A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?昭通期末）已知復(fù)數(shù)z1＝1﹣i9，z2＝3i10+2i，則（）A．|z1+z2|＝5 B．z1C．z1z2的虛部為5 D．z2（多選）7．（2024秋?長春校級期末）已知z1=i40-i，（1﹣2i）z2＝i﹣3，若a，b∈R，z1+aA．|z1|=2 B．zC．a(chǎn)＝﹣1 D．b＝﹣1（多選）8．（2024秋?官渡區(qū)期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝3+4i，則（）A．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B．z的虛部為115C．|z|＝5 D．z三．填空題（共4小題）9．（2024秋?河西區(qū)期末）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z﹣i＝3﹣zi，則z＝．10．（2025?肇慶一模）若復(fù)數(shù)z滿足z?（1﹣2i）＝1+i，則z＝．11．（2024秋?天津期末）復(fù)數(shù)z=2+i1-i-2i（其中i12．（2024秋?天津期末）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(1+i)(1-i)i四．解答題（共3小題）13．（2024秋?周口校級期末）對任意一個非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz（1）設(shè)a是方程x+1x=（2）若復(fù)數(shù)ω∈Mz，求證Mω?Mz．14．（2024春?科左中旗校級期中）設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+1z是實數(shù)，且﹣1（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；（2）設(shè)μ=1-z（3）在（2）的條件下，求ω﹣μ2的最小值．15．（2024春?番禺區(qū)校級期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量OZ1→、OZ2→、OZ3→分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1、z2、z3，且z1=a2+(2-a)i，z2＝﹣1+（3﹣2a）（1）求實數(shù)a的值；（2）若Z1，Z2，Z3三點共線，求實數(shù)m的值．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之復(fù)數(shù)的四則運算參考答案與試題解析題號12345答案BAACB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?南陽期末）若z＝﹣1+i，則zzA．﹣1﹣i B．﹣1+i C．-12+1【考點】復(fù)數(shù)的除法運算．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)可得z?【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴z?∴zz故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2．（2024秋?樟樹市校級期末）已知復(fù)數(shù)z=3+iA．2+i B．3+i C．2﹣i D．3﹣i【考點】復(fù)數(shù)的除法運算；共軛復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】A【分析】先化簡得到復(fù)數(shù)z＝2﹣i，再求出它的共軛復(fù)數(shù)得解．【解答】解：z=3+i1+則其共軛復(fù)數(shù)z=2+故選：A．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?泰州期末）已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)?A．23-23i B．23+2【考點】復(fù)數(shù)的除法運算；復(fù)數(shù)的模．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡即可．【解答】解：∵(1+2∴z=故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．4．（2025?孝義市模擬）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝1，b＝2【考點】復(fù)數(shù)的運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】C【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解．【解答】解：a﹣2i＝（b+i）i＝﹣1+bi，則a＝﹣1，b＝﹣2．故選：C．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?臨沂一模）52-A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【考點】復(fù)數(shù)的除法運算．【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【答案】B【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡求值．【解答】解：52-故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?昭通期末）已知復(fù)數(shù)z1＝1﹣i9，z2＝3i10+2i，則（）A．|z1+z2|＝5 B．z1C．z1z2的虛部為5 D．z2【考點】復(fù)數(shù)的混合運算；復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】BCD【分析】利用虛數(shù)單位i的性質(zhì)化簡，然后逐一判斷四個選項得答案．【解答】解：∵z1＝1﹣i9＝1﹣i，z2＝3i10+2i＝﹣3+2i，∴|z1+z2|＝|1﹣i﹣3+2i|＝|﹣2+i|=(-2)2z1﹣z2＝1﹣i+3﹣2i＝4﹣3i，z1-z2=z1z2＝（1﹣i）（﹣3+2i）＝﹣3+2i+3i+2＝﹣1+5i，則z1z2的虛部為5，故C正確；z2則z2z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（-故選：BCD．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?長春校級期末）已知z1=i40-i，（1﹣2i）z2＝i﹣3，若a，b∈R，z1+aA．|z1|=2 B．zC．a(chǎn)＝﹣1 D．b＝﹣1【考點】復(fù)數(shù)的混合運算．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算判斷B，再由純虛數(shù)、實數(shù)的概念判斷CD．【解答】解：∵z1∴|z1|=∵（1﹣2i）z2＝i﹣3，∴z2則z2的虛部為﹣1，故B錯誤；∵z1+a＝1+a﹣i為純虛數(shù)，∴1+a＝0，即a＝﹣1，故C正確；∵z2﹣bi＝﹣1﹣（b+1）i為實數(shù)，∴b+1＝0，解得b＝﹣1，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024秋?官渡區(qū)期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝3+4i，則（）A．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B．z的虛部為115C．|z|＝5 D．z【考點】復(fù)數(shù)的除法運算；復(fù)數(shù)的實部與虛部；復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點；共軛復(fù)數(shù)．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算求出z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義、虛部概念、復(fù)數(shù)模的公式和共軛復(fù)數(shù)概念逐一判斷即可．【解答】解：由z（2﹣i）＝3+4i，得z=則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(25，z的虛部為115，故B|z|=(25z?z=|故選：AD．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?河西區(qū)期末）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z﹣i＝3﹣zi，則z＝2﹣i．【考點】復(fù)數(shù)的除法運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】2﹣i．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則法則，即可求解．【解答】解：z﹣i＝3﹣zi，則z（1+i）＝3+i，故z=3+i1+i故答案為：2﹣i．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?肇慶一模）若復(fù)數(shù)z滿足z?（1﹣2i）＝1+i，則z＝-15【考點】復(fù)數(shù)的除法運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】-1【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算即可得解．【解答】解：因為z?（1﹣2i）＝1+i，所以z=故答案為：-1【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?天津期末）復(fù)數(shù)z=2+i1-i-2i（其中i【考點】復(fù)數(shù)的除法運算；復(fù)數(shù)的實部與虛部．【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可．【解答】解：z=則z的虛部為-1故答案為：-1【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．12．（2024秋?天津期末）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(1+i)(1-i)i=【考點】復(fù)數(shù)的混合運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】﹣2i．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)(1+i)(1-i故選：﹣2i．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運算問題，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?周口校級期末）對任意一個非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mz（1）設(shè)a是方程x+1x=（2）若復(fù)數(shù)ω∈Mz，求證Mω?Mz．【考點】復(fù)數(shù)的運算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求解方程x+1x=2得a1=22(1+i)，a2=22(1-i)，再由有理指數(shù)冪及i（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，則對任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），結(jié)合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇數(shù)，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω?MZ．【解答】（1）解：由x+1x∴a1=2當(dāng)a1=22(1+∴Ma1={ia1，當(dāng)a2=2∴Ma2={-∴Ma＝{22(1+（2）證明：∵ω∈MZ，∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．于是對任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇數(shù)，ω2n﹣1∈Mz，∴Mω?MZ．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的周期性、指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14．（2024春?科左中旗校級期中）設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+1z是實數(shù)，且﹣1（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；（2）設(shè)μ=1-z（3）在（2）的條件下，求ω﹣μ2的最小值．【考點】復(fù)數(shù)的運算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】（1）1，a∈（-12，1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，得到ω的表示式，利用復(fù)數(shù)的運算把ω整理成最簡形式，根據(jù)所給的ω的范圍，得到z的實部的范圍；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，把u整理成最簡形式，根據(jù)a2+b2＝1，得到u是一個純虛數(shù)；（3）先得到ω﹣μ2＝2[（a+1）+1a+1]﹣3，再利用基本不等式即可求ω﹣【解答】解：（1）（1）設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R且b≠0），則ω＝z+1z=a+bi+1a+bi=（a+∵ω＝z+1z是實數(shù)，∴b-ba2+∴1-1a2+b2=0，a2+b2＝1則ω＝z+1z=2a∈（﹣1∴a∈（-12，證明：（2）μ=∵a2+b2＝1，則μ=-b∵a∈（-12，1），b≠0，∴-∴μ是純虛數(shù)；解：（3）ω﹣μ2＝2a+b2(a+1)2=2＝2a﹣1+2a+1=2[（a+1）+∵a∈（-12，1），∴a+1＞∴a+1+1a+1≥21=2，當(dāng)且僅當(dāng)a+1=則ω﹣μ2＝2[（a+1）+1a+1]﹣3≥2×2﹣3即ω﹣μ2的最小值為1．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．15．（2024春?番禺區(qū)校級期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量OZ1→、OZ2→、OZ3→分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1、z2、z3，且z1=a2+(2-a)i，z2＝﹣1+（3﹣2a）（1）求實數(shù)a的值；（2）若Z1，Z2，Z3三點共線，求實數(shù)m的值．【考點】復(fù)數(shù)的運算；共軛復(fù)數(shù)．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；運算求解．【答案】（1）a＝﹣1；（2）m＝﹣2．【分析】（1）根據(jù)z1（2）根據(jù)Z1Z2【解答】解：（1）由題意可得z1由于復(fù)數(shù)z1+z2是純虛數(shù)，則a2（2）由（1）可得z1＝1+3i，z2＝﹣1+5i，則點Z1（1，3），Z2（﹣1，5），點Z3（2，﹣m）所以，Z因Z1，Z2，Z3三點共線，所以Z1Z2→∥Z1Z3→，所以（﹣2）×（﹣所以m＝﹣2．【點評】本題考查純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的定義、三點共線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

考點卡片1．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點的認識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．2．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【知識點的認識】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中3．復(fù)數(shù)的實部與虛部【知識點的認識】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中【解題方法點撥】﹣分解復(fù)數(shù)：通過給定的復(fù)數(shù)表達式，提取實部和虛部．﹣應(yīng)用：在復(fù)數(shù)運算中，分開處理實部和虛部，簡化計算過程．【命題方向】﹣實部與虛部的提?。嚎疾槿绾螐膹?fù)數(shù)表達式中提取實部和虛部．﹣實部虛部的運算：如何利用實部和虛部進行復(fù)數(shù)運算和解決問題．若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3+2ai的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)a＝_____．解：若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3+2ai的實部與虛部互為相反數(shù)，則a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案為：﹣3或1．4．純虛數(shù)【知識點的認識】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實部和虛部，當(dāng)a＝0，b≠0時，叫做純虛數(shù)．純虛數(shù)也可以理解為非零實數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結(jié)果．【解題方法點撥】復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點是一一對飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化提供了一條重要思路．要完整理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價條件，復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．實數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復(fù)數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構(gòu)成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個真子集．【命題方向】純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，考察學(xué)生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）復(fù)數(shù)的概念；（2）復(fù)數(shù)的模；（3）復(fù)數(shù)相等的四則運算；（4）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點．5．復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點【知識點的認識】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點之間的距離．【解題方法點撥】﹣點的表示：將復(fù)數(shù)a+bi作為復(fù)平面上的點（a，b）進行圖示．﹣幾何運算：利用復(fù)平面上的點進行幾何運算和分析．【命題方向】﹣復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點表示及其幾何意義．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問題．6．共軛復(fù)數(shù)【知識點的認識】實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)Z=a﹣bi【解題方法點撥】共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：|Z|=|Z|；|Z【命題方向】共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出