2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第18頁(yè)（共18頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?合肥期末）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，且對(duì)于平面ABC外一點(diǎn)O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 2．（2024秋?丹東期末）已知向量a→=(x，1)，bA．﹣2 B．2 C．-12 D3．（2024秋?朝陽(yáng)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB→=2DC→，E為線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A．-CB→-12CD→ B．CB→4．（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則AF→A．34AB→+14AD→ B．15．（2025?揚(yáng)州校級(jí)模擬）如圖，已知AB→=a→，AC→=b→，BC→A．34b→-13a→ B．5二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?威海期末）設(shè)向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a(chǎn)→∥b→是x＝4D．a(chǎn)→∥b→是x＝﹣（多選）7．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D（多選）8．（2024秋?遼寧期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e三．填空題（共4小題）9．（2024秋?丹東期末）在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→10．（2024秋?海淀區(qū)期末）已知向量a→=（x，1），a→-2b→=（x，﹣1），則b→=11．（2024秋?安徽期末）已知向量a→=(λ-1，2-λ)，12．（2024秋?邢臺(tái)期末）已知向量a→=（m，3），b→=（2，﹣5），若（a→+b→）⊥b四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M為形內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖，若點(diǎn)M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋?大連校級(jí)期末）已知e1→，e2→是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB→（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．15．（2024秋?房山區(qū)期末）已知向量a→=(-1，（1）求|a（2）若向量c滿足2a→-（3）在（2）的條件下，若a→-mc→

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示參考答案與試題解析題號(hào)12345答案DADDB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?合肥期末）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，且對(duì)于平面ABC外一點(diǎn)O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論得到λ+【解答】解：因?yàn)镺M→=λOA→+所以λ+16故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間共面向量定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?丹東期末）已知向量a→=(x，1)，bA．﹣2 B．2 C．-12 D【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量平行的結(jié)論求參數(shù)．【解答】解：向量a→=(x，1)則﹣2x﹣4＝0?x＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?朝陽(yáng)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB→=2DC→，E為線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A．-CB→-12CD→ B．CB→【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解．【解答】解：由題意，AB→=2DC→，F(xiàn)為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，則EF=-=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．4．（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則AF→A．34AB→+14AD→ B．1【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【答案】D【分析】根據(jù)題意得：AF→【解答】解：根據(jù)題意得：AF→又AC→=AB所以AF→故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題5．（2025?揚(yáng)州校級(jí)模擬）如圖，已知AB→=a→，AC→=b→，BC→A．34b→-13a→ B．5【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】根據(jù)向量的三角形法和加減的幾何意義即可求出．【解答】解：∵BC→=4∴DC→=3∴DE→=DC→+CE→=3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的三角形法和向量的數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?威海期末）設(shè)向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a(chǎn)→∥b→是x＝4D．a(chǎn)→∥b→是x＝﹣【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行、垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量a→=（x+4，x），b→=（若a→⊥b則（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，故x＝0是a→⊥b→的充分條件，故A正確；x＝﹣6是a→⊥b若a→則2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，故a→∥b→是x＝4的必要條件，故C正確；a→∥b故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直、平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】CD【分析】由題意將OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以O(shè)M→因?yàn)閨OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1結(jié)合選項(xiàng)可得C，D符合題意．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?遼寧期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e【考點(diǎn)】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)平面向量的基底定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：要使平面中兩個(gè)向量作為基底，必須滿足是非零向量，且不共線，故A不能作為基底；對(duì)于B，由e1→=2對(duì)于D，由e1→=-5對(duì)于C，兩向量不存在倍數(shù)關(guān)系，所以C能作為基底．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基底的概念及判定，屬基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?丹東期末）在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→【考點(diǎn)】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】4AD【分析】由題意可得出BD→=3DC→，利用平面向量的減法可得出AB→【解答】解：由題知，BD→所以AD→-AB故答案為：4AD【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024秋?海淀區(qū)期末）已知向量a→=（x，1），a→-2b→=（x，﹣1），則b→=（0，1）【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（0，1）；2．【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→=（x，1），a→-2所以2b→=a→-(所以a→所以|a→+b→|=x2所以|a→+b→故答案為：（0，1）；2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?安徽期末）已知向量a→=(λ-1，2-λ)，【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算得解．【解答】解：若a→∥b則﹣2（2﹣λ）＝λ﹣1，解得λ＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024秋?邢臺(tái)期末）已知向量a→=（m，3），b→=（2，﹣5），若（a→+b→）⊥b【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；參數(shù)法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣7．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量a→=（m，3），b→=（則a→（a→+b則(a→+b→故答案為：﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M為形內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖，若點(diǎn)M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延長(zhǎng)AM至E使AE＝5AM，可以得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后根據(jù)AC→=3AD→，所以S△（2）設(shè)MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)AM至E使AE＝5AM，因?yàn)?AM所以AB→連接BE，因?yàn)橄蛄緼B→和向量CE→則四邊形ABEC是平行四邊形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四邊形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM與△ABD的面積之比為S△（2）因?yàn)?OM→=設(shè)MN→=λDN→因?yàn)锽N→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→則有23λ+(1+所以k=【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，屬中檔題．14．（2024秋?大連校級(jí)期末）已知e1→，e2→是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB→（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根據(jù)AE（2）直接由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解；（3）根據(jù)AD→【解答】解：（1）AE→因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得AE→即e1→+(1+因?yàn)閑1→，e2→是平面內(nèi)兩個(gè)（2）BE→（3）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以AD→設(shè)A（x，y），則AD→因?yàn)锽C→=(-7，-2)即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?房山區(qū)期末）已知向量a→=(-1，（1）求|a（2）若向量c滿足2a→-（3）在（2）的條件下，若a→-mc→【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）2；（2）c→（3）m=【分析】（1）利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算求出a→（2）利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算解向量方程即得；（3）將各向量坐標(biāo)代入，利用方程兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得方程組，解之即得．【解答】解：（1）由題意可知，a→所以|a（2）因?yàn)?a所以3c所以c→（3）因?yàn)閍→-mc→所以(-所以2m-1=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．2．用平面向量的基底表示平面向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解題方法點(diǎn)撥】﹣表示轉(zhuǎn)換：將向量v→寫成基底向量的線性組合．例如，v→用基底e→1和﹣基底選擇：在特定的基底下表示向量時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)幕撞⑦M(jìn)行線性組合．【命題方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的計(jì)算：如何在給定的基底下進(jìn)行向量運(yùn)算．在△ABC中，若D，E，F(xiàn)分別是AB的3個(gè)四等分點(diǎn)，且CB→=e1→，CA→=e2→，試用基底解：在△ABC中，若D，E，F(xiàn)分別是AB的3個(gè)四等分點(diǎn)，且CB→=e由題意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因?yàn)镃B→=e整理得，CE→=13．平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點(diǎn)撥】﹣?zhàn)鴺?biāo)運(yùn)算：直接對(duì)向量的坐標(biāo)分量進(jìn)行加減操作，得出結(jié)果．﹣實(shí)際應(yīng)用：用于解決如點(diǎn)的移動(dòng)、向量差等問(wèn)題．【命題方向】﹣向量運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用：考查向量加減法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如幾何問(wèn)題中的位置計(jì)算．﹣?zhàn)鴺?biāo)運(yùn)算技巧：如何高效進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量a→，b→如果以O(shè)為起點(diǎn)，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：