初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題24平面幾何的定值問題

專題24平面幾何的定值問題

【閱讀與思考】

所謂定值問題，是指按照一定條件構(gòu)成的幾何圖形，當某些幾何元素按一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)

變化時，與它有關(guān)的元素的量保持不變（或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變）.

幾何定值問題的基本特點是：題設(shè)條件中都包含著變動元素和固定元素，變動元素是指可變化運動

的元素，固定元素也就是“不變量”，有的是明顯的，有的是隱含的，在運動變化中始終沒有發(fā)生變化

的元素，也就是我們要探求的定值.

解答定值問題的一般步驟是：

1.探求定值；

2.給出證明.

【例題與求解】

⌒PAPC

【例1】如圖，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧AD上任意一點.求證：為定值.

PB

解題思路：線段的和差倍分考慮截長補短，利用圓的基本性質(zhì)，證明三角形全等.

【例2】如圖，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個半圓，自上半圓上一點C作弦CD

⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在上半圓（不包括A，B兩點）上移動時，點P（）

A.到CD的距離保持不變B.位置不變

⌒

C.等分DBD.隨C點的移動而移動

（濟南市中考試題）

解題思路：添出圓中相關(guān)輔助線，運用圓的基本性質(zhì)，用排除法得出結(jié)論.

【例3】如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線

的垂足.求證：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.

（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

解題思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度數(shù)是定值.從探尋∠SPM與∠SOT的關(guān)系入手.

1

⌒

【例4】如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°.點C是AB上異于A，B的動點，過點C

作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E.連接DE，點G，H在線段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；

⌒

（2）當點C在AB上運動時，在CD，CG，DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段

的長度；

（3）求證：CD2+3CH2是定值.（廣州市中考試題）

解題思路：延長OG交CD于N，利用題中的三等分點、平行四邊形和三角形中位線的性質(zhì)，實現(xiàn)把線

段ON轉(zhuǎn)化成線段CH的倍分關(guān)系，再以Rt△OND為基礎(chǔ)，通過勾股定理，使問題得以解決.

【例5】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A，B兩點，交

y軸于C，D兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于G點.若點A的坐標為（-2，0），AE=8.

（1）求點C的坐標；

（2）連接MG，BC，求證：MG∥BC；

OF

（3）如圖2，過點D作⊙M的切線，交x軸于點P.動點F在⊙M的圓周上運動時，的比值是否發(fā)

PF

生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律.（深圳市中考試題）

解題思路：對于（3）從動點F達到的特殊位置時入手探求定值.

（圖1）（圖2）

2

【例6】如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于半徑為1的圓O，P是⊙O上的任意一點.求證：PA2+PB2+PC2

為定值.

解題思路：當點P與C點重合時，PA2+PB2+PC2=2BC2為定值，就一般情形證明.

【能力訓(xùn)練】

A級

3

1.如圖，點A，B是雙曲線y上的兩點，分別經(jīng)過A，B兩點向x軸，y軸作垂線段.若S陰影=1，則

x

S1S2_______.

（牡丹江市中考試題）

（第1題圖）（第3題圖）（第4題圖）

2.從等邊三角形內(nèi)一點向三邊作垂線段，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這個等邊三角形的

面積是__________.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

3.如圖，OA，OB是⊙O任意兩條半徑，過B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，則定值OP2+EP2為

_________.

4.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F(xiàn)是DC的中點，AF的延長線交BC的延長線于點E，則直

線BF與直線DE所夾的銳角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

（武漢市競賽試題）

5.如圖，在⊙O中，P是直徑AB上一動點，在AB同側(cè)作AA⊥AB，BBAB，且AA=AP，BB=BP.

連接AB，當點P從點A移動到點B時，AB的中點的位置（）

A．在平分AB的某直線上移動B.在垂直AB的某直線上移動

C.在弧AMB上移動D.保持固定不移動

（荊門市中考試題）

3

（第5題圖）（第6題圖）

k

6.如圖，A，B是函數(shù)y圖象上的兩點，點C，D，E，F(xiàn)分別在坐標軸上，且分別與點A，B，O構(gòu)

x

成正方形和長方形.若正方形OCAD的面積為6，則長方形OEBF的面積是（）

A.3B.6C.9D.12

（海南省競賽試題））

7.（1）經(jīng)過⊙O內(nèi)或⊙O外一點P作兩條直線交⊙O于A，B和C，D四點，得到如圖①~⑥所表示的

六種不同情況.在六種不同情況下，PA，PB，PC，PD四條線段之間在數(shù)量上滿足的關(guān)系式可以用同一

個式子表示出來.請你首先寫出這個式子，然后只就如圖②所示的圓內(nèi)兩條弦相交的一般情況給出它的

證明.

（2）已知⊙O的半徑為一定值r，若點P是不在⊙O上的一個定點，請你過點P任作一直線交⊙O于不

重合的兩點E，F(xiàn).PE·PF的值是否為定值？為什么？由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請你把這一結(jié)論用文字

敘述出來.

（濟南市中考試題）

4

8.在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，點O

在原點，現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當A點第一次落在直線yx上時停止旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過程

中，AB邊交直線yx于點M，BC邊交x軸于點N.

（1）求OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；

（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當MN與AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)度數(shù)；

（3）設(shè)△MBN的周長為P，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中，P值是否有變化？請證明你的結(jié)論.

（濟寧市中考試題）

9.如圖，AB是半圓的直徑，AC⊥AB，AC=AB.在半圓上任取一點D，作DE⊥CD，交直線AB于點E，

BF⊥AB，交線段AD的延長線于點F.

（1）設(shè)弧AD是x°的弧，若要點E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是_______.

（2）不論點D取在半圓的什么位置，圖中除AB＝AC外，還有兩條線段一定相等.指出這兩條相等的線

段，并予證明.

（江蘇省競賽試題）

（第9題圖）（第10題圖）（第11題圖）

10.如圖，內(nèi)接于⊙O的四邊形ABCD的對角線AC與BD垂直相交于點K，設(shè)⊙O的半徑為R.求證：

（1）AK2BK2CK2DK2是定值；

（2）AB2BC2CD2DA2是定值.

5

APBP

11.如圖，設(shè)P是正方形ABCD外接圓劣弧弧AB上的一點，求證：的值為定值.

CPDP

（克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

B級

1.等腰△ABC的底邊BC為定長2，H為△ABC的垂心.當頂點A在保持△ABC為等腰三角形的情況下

改變位置時，面積S△ABC·S△HBC的值保持不變，則S△ABC·S△HBC=________.

16

2.已知A，B，C，D，E是反比例函數(shù)y（x＞0）圖象上五個整數(shù)點（橫、縱坐標均為整數(shù)），分

x

別過這些點向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成

如圖所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是__________（用含π的代數(shù)式表示）.

（福州市中考試題）

3.如圖，將六邊形ABCDEF沿直線GH折疊，使點A，B落在六邊形ABCDEF的內(nèi)部，記∠C＋∠D＋

∠E＋∠F＝α，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.∠1＋∠2＝900°－2αB.∠1＋∠2＝1080°－2α

1

C.∠1＋∠2＝720°－αD.∠1＋∠2＝360°－α

2

（武漢市競賽試題）

（第3題圖）（第4題圖）

4.如圖，正△ABO的高等于⊙O的半徑，⊙O在AB上滾動，切點為T，⊙O交AO，BO于M，N，則

弧MTN（）

6

A.在0°到30°變化B.在30°到60°變化

C.保持30°不變D.保持60°不變

5.如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8.若MN的兩端在圓上滑動時，始終與AB相交，

記點A，B到MN的距離分別為h1，h2，則∣h1-h2∣等于（）

A.5B.6C.7D.8

（黃石市中考試題）

（第5題圖）（第6題圖）

6.如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點A，C在x軸上，點B坐標為（3，m）

（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B，D.

（1）求點A的坐標（用m表示）

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交

AC于點F.試證明：FC（AC+EC）為定值.

（株洲市中考試題）

7.如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A，B的點M.設(shè)直線AC與BM相交于K，直

線CB與AM相交于點N.證明線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關(guān).

（湖北省選拔賽試題）

（第7題圖）（第8題圖）

8.如圖，設(shè)H是等腰三角形ABC兩條高的交點，在底邊BC保持不變的情況下讓頂點A至底邊BC的距

7

離變小，這時乘積S△ABC·S△HBC的值變小、變大，還是不變？證明你的結(jié)論.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

14

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線yx2x10與x軸的交點為點A，與y軸的交點為

189

點B.過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC.現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時

出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動.

點P停止運動時，點Q也同時停止運動.線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于E，

射線QE交x軸于點F.設(shè)動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）.

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；

（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；

9

（3）當0t時，△PQF的面積是否總是定值？若是，求出此值；若不是，請說明理由；

2

（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形，請寫出解答過程.

（黃岡市中考試題）

（第9題圖）（第10題圖）

12

10.已知拋物線C1：yxx1，點F（1,1）.

12

（1）求拋物線C1的頂點坐標；

11

（2）若拋物線C1與y軸的交點為A，連接AF，并延長交拋物線C1于點B，求證：2.

AFBF

（3）拋物線C1上任意一點P（xP，yP）（0＜xP＜1），連接PF，并延長交拋物線C1于點

11

Q（xQ，yQ），試判斷2是否成立？請說明理由.

PFQF

11.已知A，B是平面上的兩個頂點，C是位于AB一側(cè)的一個動點，分別以AC，BC為邊在△ABC外作

正方形ACDE和正方形BCFG.求證：不論C在直線AB同一側(cè)的任何位置，EG的中點P的位置不變.

（四川省競賽試題）

8

專題24平面幾何的定值問題

例1延長PC至E，使CE＝AP，連結(jié)BE，則△BCE≌△BAP，及△PBE為等腰直角三角形，故

PAPCCEPCPE

2例2B提示：連結(jié)AC，BC，可以證明P為APB的中點．例

PBPBPB

1

3∵SP⊥OP，OM⊥ST，∴S，M，O，P四點共圓，于是∠SPM＝∠SOM＝∠SOT為定角．例4(1)

2

連結(jié)OC交DE于M，則OM＝CM，EM＝DM，而DG＝HE，則HM＝GM故四邊形OGCH是平行四邊

11

形．(2)DG不變．DE＝OC＝OA＝3.DG＝DE＝×3＝1．(3)設(shè)CD＝x，延長OG交CD于N，則CN

33

11

＝DN＝x，CE29x2，DN2x2.∴

24

331

ON29x2，而ON＝CH，∴CH24x2．故CD2＋3CH2＝x2＋

423

1

3(4－x2)＝x2＋12－x2為定值．例5⑴C(0，4)⑵先求得AM＝CM＝5，

3

OGAO3

連接MC交AE于N，由△AOG∽△ANM，得，OG＝，

MNAN2

OGOM3

，又∠BOC＝∠GOM，∴△GOM∽△COB，∠GMO＝∠CBO，

OCOB8

得MG∥BC．⑶連結(jié)DM，則DM⊥PD，DO⊥PM，DO2＝OM?OP，OP＝

16OF

．動點F在⊙M的圓周上運動時，從特殊位置探求的值．當F與點A重合時，

3PF

OFAO23OFOB83

；當點F與點B重合時，；當點F不與點A，B重合時，連

1616

PFAP25PFPB85

33

FMMP

接OF、PF、MF，∴DM2＝MO?MP，∴FM2＝MO?MP，即，又∠OMP＝∠FMP，∴△MFO∽

OMFM

OFMO3OF3

△MPF，，故的比值不變，比值為．例6∠BPC＝120°，在△BPC中，由余弦定

PFMF5PF5

理得BC2＝PB2＋PC2－2PB?PC＝BC2，又由上托勒密定理得BC?PA＋PC?AB，而AB＝BC＝AC，∴PA＝PB＋

2

PC，從而PA2＋PB2＋PC2＝(PB＋PC)2＋PB2＋PC2＝2(PB2＋PC2＋PB?PC)＝2BC2＝2×3＝6．故PA2

22

＋PB＋PC為定值．A級1．4提示：∵S1＋S陰＝S2＋S陰＝xy＝3，∴S1＋S2＝2xy－2S陰＝6－2

＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等邊三角形的高．3．r2提示：先考查OB與OA垂

直的情形．4．D提示：延長BF交DE于點M，連接BD，則△BCD為等邊三角形，BF平分∠CBD．∵

F為CD中點，且AD∥CE，∴△ADF與△ECF關(guān)于點F中心對稱．∴CE＝AD＝CD，∴∠CEM=30°，∠

DMF=60°，5．D提示：A′B′的中點均在⊙O的上半圓的中點處．6．B提示：S正方形OCAD＝OD?OC＝

＝，∴＝?＝?＝．．⑴略⑵當點在⊙內(nèi)時，過作直徑，

xAyAk6SOEBFOEOFxByBk67POPCD

9

則PE?PF＝PD?PC＝r2－OP2為定值；當點P在⊙O外時，PE?PF為定值OP2r2．結(jié)論：過不在圓上的

一個定點任作一條直線與圓相交，則這點到直線與圓相交點的兩條線段長的積為定值．8．⑴⑵

2

22.5°⑶P值無變化．理由如下：如圖，延長BA交y軸于E點，可證明△OAE≌△OCN，得OE＝ON，

AE＝CN，又∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝ON，∴△OME≌△OMN，得MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．∴

P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CM＋CN＋BN＋BM＝AB＋AC＝4．9．⑴0＜x＜90⑵BE＝BF提示：連接BD，

可證明△BDF∽△ADB，△BDE∽△ADC．10．⑴作OP⊥BD于P，OQ⊥AC于Q，連接AO，則AO2＝

22

1122222

BKDKCKAK，又AK?CK＝BK?DK，得AK＋BK＋CK＋DK＝4R為定值．⑵作直

22

徑DE，連接AE，BE，CE，AB2＋CD2＝4R2，AD2＋BC2＝4R2，故AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝8K2為定值．11．設(shè)

正方形的邊長為a，根據(jù)托勒密定理，對于四邊形APBC和四邊形APBD，有CP?a＝AP?a＋BP?2a，DP

APBP

?a＝BP?a＋AP?2a，兩式相加并整理得(CP＋DP)a＝(AP＋BP)(a＋2a)，從而21為定值．

CPDP

B級1．1提示：不妨設(shè)∠A為銳角，AD，BE，CF為△ABC的三條高，H

為垂心，由AB＝AC知∠HBD＝∠HCD＝∠HAE，∠HDC＝∠CDA＝90°，故Rt△

ADDC212

CHD∽Rt△ACD．∴，即AD?HD＝DC＝BC＝1．∴S△ABC?S△HBC＝

DCHD4

1112

BCADBCHDBC＝1．當∠A≥90°時，結(jié)論成立．2．13π

224

16

－26提示：∵A，B，C，DE是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上五個整數(shù)點，由

x

圖象可知，這些點的橫坐標分別為1，2，4，8，16．∴五個正方形的邊長分別為1，3，4，2，1．∴這

121121121

五人橄欖形的面積總和是2211122222444＝5π－

424242

10＋8π－16＝13π－26．3．B提示：如圖，設(shè)FA的延長線與CB的延長線交于點P，GA′的延長

線與HB′的延長線交于點P′．由對稱性可知∠1＝2∠APP′，∠2＝2∠BPP′．∴∠1＋∠2＝2∠APB．∵∠

APB＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α．4．D5．B提示：如圖，設(shè)

AB與MN交于點C，過點O作OD⊥MN于D，連接FO并延長交EB于G．由垂

22

徑定理，得OD＝54＝3．由△AFO≌△BGO，得AF＝BG，即h1＝

ODFO1

BG．由AF⊥MN，BE⊥MN，得△FOD∽△FGE．∴．∴EG＝2OD

GEFG2

＝，∴＝＝．．⑴－，⑵＝2－＋

6h1h2AFBEEG66A(3m0)yx2x1

⑶過點Q作QM⊥AC于M，過點Q作QN⊥BC于N，設(shè)Q點的坐標為(x，x2

－2x＋1)，則QM＝CN＝(x－1)2，MC＝QN＝3－x．∵QM∥CE，∴PQM∽△

10

2

QMPMx1x1

PEC．∴，即，得EC＝2(x－1)．∵QN

ECPCEC2

QNBN

∥CF，∴△BQN∽△BFC．∴，即

FCBC

2

3x4x14

，得FC＝．又AC＝4，∴FC(AC＋EC)＝

FC4x1

42

42x1＝8為定值．7．提示：易證△ABK∽△BNA，故AK?BN＝AB為定值，即AK與BN

x1

14

的乘積與M點的選擇無關(guān)．8．提示：S△ABC?S△HBC＝BC，由于BC是不變的，所以當點A至BC的

16

98

距離變小時，乘積S△ABC?S△HBC保持不變．9．⑴A(18，0)，B(0，－10)，頂點坐標為(4，－)⑵若

9

四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，而PA＝18－4t，CQ＝t，故18－4t＝t，

18

得t＝．⑶設(shè)點P運動ts，則OP＝4t，CQ＝t，0＜t＜4.5．說明P在線段OA上，且不與點O，A

5

QDQCt1QCCE1t1

重合．由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故．同理QC∥AF，故，即，

DPOP4t4AFEA4AF4

11

∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．又點Q到直線PF的距離d＝10，∴S△PQF＝?PF?d＝×

22

18×10＝90．于是S△PQF的面積總為定值90．⑷由前面知道，P(4t，0)，F(xiàn)(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)，

0≤t≤4.5．構(gòu)造直角三角形后易得PQ2＝(4t－8＋t)2＋102＝，F(xiàn)Q2＝(18＋4t－8＋t)2＋102＝(5t＋10)2＋

244

100．①若FP＝FQ，即182＝(5t＋10)2＋100，故25(t＋2)2＝224，(t＋2)2＝．∵2≤t＋2≤6.5，∴t

25

244414414

＋2＝．∴t＝－2．②若QP＝QF，即(5t－8)2＋100＝(5t＋10)2＋100，即(5t－8)2

2555

＝(5t＋10)2，無