【階矩陣的線性變換及其應(yīng)用研究8200字（論文）】

n階矩陣的線性變換及其應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u1.緒論 11.1矩陣的歷史背景，以及矩陣的線性變換的意義 11.2國內(nèi)外研究情況 22.矩陣的線性變換 32.1矩陣 32.2矩陣的線性變換 52.3恒等變換矩陣 92.4伸壓變換矩陣 102.5旋轉(zhuǎn)變換矩陣 103.矩陣的線性變換的應(yīng)用 113.1線性變換在中學(xué)教學(xué)中的背景 113.2矩陣的線性變換在中學(xué)教學(xué)中的可行性 123.3實例 144.結(jié)束語 18參考文獻 19摘要：矩陣是數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容，它是線性代數(shù)的核心，所以它在矩陣變換中是是較為重要的運算，而線性變換在線性代數(shù)中其理論具有比較深刻的意義，是最基本的概念之一.矩陣的線性變換在各個領(lǐng)域的實際應(yīng)用中都發(fā)揮著重要的地位，在解決線性代數(shù)時合理運用矩陣的線性變換的解題思路，不但會提高解題的速度，而且還會提高解題的靈活性等.本文將從矩陣的線性變換，及在其所對應(yīng)的變換矩陣的幾何形式下，給出相應(yīng)的實例，讓學(xué)生對線性代數(shù)理解更加深刻，從而在其根本上理解矩陣的線性變換.關(guān)鍵詞：矩陣；矩陣的線性變換；變換矩陣；1.緒論1.1矩陣的歷史背景，以及矩陣的線性變換的意義在國內(nèi)《高等代數(shù)》教材中其在概括矩陣理論時，多數(shù)編者都將矩陣描述為“數(shù)排成的表”.而《古今數(shù)學(xué)思想》一書中講述道，“矩陣”一詞是由Sylvester首先使用的，他的想法實際上是希望引用數(shù)的矩形陣列，但又不能再繼續(xù)使用這個行列式一詞的時候”[[]莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想:第3冊[M]上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002:208．]，矩陣這一概念說明應(yīng)該描述為“數(shù)的矩形陣列”.可以看到這一描述比“數(shù)排成的表”又更為合適.在莫里斯·克萊因在其著作《古今數(shù)學(xué)思想》中對于矩陣的起源同樣作出了比較完整的解釋證明，由此他[]莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想:第3冊[M]上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002:208．的方便的方法而來的”，所以矩陣這一概念可能是來源于行列式或方程組，再由行列式和方程組理論的推動了矩陣理論的發(fā)展.線性代數(shù)在工程與應(yīng)用數(shù)學(xué)上的應(yīng)用較為廣泛，其主要研究的是維向量空間、線性變換、矩陣、行列式等.在《線性代數(shù)》中上它是這樣對矩陣進行定義的：矩陣是由個數(shù)構(gòu)成一個行列的數(shù)表，這讓很多人對這個數(shù)表的定義了解不透徹，導(dǎo)致多數(shù)大學(xué)生在學(xué)習一些與其相關(guān)的線性代數(shù)的理論之后，對矩陣的定義才能夠加深理解和實際運用到具體的問題.從而讓初學(xué)者的邏輯推理能力，抽象思維能力及其計算能力等都有著很大的提升，這對初學(xué)者去運用知識來分析問題和解決問題，及其思維品質(zhì)的提升都有著很大的幫助.就對于線性代數(shù)來說其知識就比較抽象，更具有很強的邏輯性，在學(xué)習時就會感到線性變換理論知識抽象難以理解和運用，我們不妨通過利用幾何圖形加以引導(dǎo)，以達到直觀地去理解線性變換理論的基本概念及其性質(zhì)，加深了我們對線性變換的理解和知識的運用[[]吳明月，李萬東，曹福軍.矩陣與線性變換幾何意義的教學(xué)探索[J].內(nèi)蒙古科技大學(xué)理學(xué)院，2018.7.].最后，本文將從矩陣的線性變換，及在其所對應(yīng)的變換矩陣的幾何形式下，給出相應(yīng)的實例來幫助初學(xué)者提高學(xué)習效率，激發(fā)其學(xué)習的興趣，再從圖形聯(lián)系實際的角度去理解和掌握線性變換的基本概念和性質(zhì)，這有利于幫助我們建立線性變換有一個初步的感性認識，從而具備解決一些比較抽象又較為復(fù)雜矩陣的線性變換問題的能力.[]吳明月，李萬東，曹福軍.矩陣與線性變換幾何意義的教學(xué)探索[J].內(nèi)蒙古科技大學(xué)理學(xué)院，2018.7.1.2國內(nèi)外研究情況矩陣的概念及其性質(zhì)是解決線性代數(shù)問題中較為重要的數(shù)學(xué)工具之一，在國內(nèi)外都有關(guān)于對矩陣的研究，例如英國數(shù)學(xué)家Sylvester最先就使用了“矩陣”這一詞，Sylvester與矩陣論的創(chuàng)立者凱萊因共同發(fā)展了行列式的理論.在十八世紀，莫里斯·克萊因發(fā)表第一篇論文《矩陣論的研究報告》.從這之后，國內(nèi)外有了就很多關(guān)于矩陣的研究報告，例如張賢達在其所著的《矩陣分析與應(yīng)用》這一書中，介紹了有關(guān)于矩陣初等變換的內(nèi)容在矩陣方程中具體的應(yīng)用方法，在書中第四章中就提到了Householder變換及Givens旋轉(zhuǎn)應(yīng)用.而在其它外文的文獻中也有提及關(guān)于矩陣變換的內(nèi)容，如文獻中美國著名的約翰斯·霍普金斯大學(xué)的Roger.Horn和威廉姆和瑪麗學(xué)院的Charles.Johnson聯(lián)合編著的《矩陣分析》一書中就主要涉及到的內(nèi)容就是矩陣變換相關(guān)的應(yīng)用[[]Roger.Horn，Charles.Johnson.矩陣分析[M].機械工業(yè)出版社，2005.4.1.].可以看到，眾多數(shù)學(xué)家在為解決矩陣相關(guān)的理論和矩陣的各個領(lǐng)域都作出了巨大貢獻和犧牲，這給矩陣變換的發(fā)展和硏究都取得了極大[]Roger.Horn，Charles.Johnson.矩陣分析[M].機械工業(yè)出版社，2005.4.1.矩陣理論早已被廣泛的應(yīng)用到現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域中，同時它也是高等代數(shù)中將初等理論性作為最重要的學(xué)習內(nèi)容之一，因此，矩陣理論在科技發(fā)展上和教育教學(xué)中都發(fā)揮著及其重要作用.所以，我們研究矩陣的發(fā)展史和其思想背景都有著重要的現(xiàn)實意義.在眾多的數(shù)學(xué)教材編寫中，其實教材的編寫是要求在內(nèi)容上必須得具有科學(xué)性與教育需求性相結(jié)合，它是將數(shù)學(xué)史的一些典型數(shù)學(xué)材料按照特定的思維邏輯思維和一定的知識體系加以取舍編纂而成的.而對于矩陣這門學(xué)科一直以來它都是各門學(xué)科的基本工具之一，近年來關(guān)于矩陣變換的研究，許多繁瑣復(fù)雜的問題都得到了一系列的簡化，這給我們的生活得來了極大的利益，不僅豐富了電子信息設(shè)備以及在航空領(lǐng)域上的發(fā)展，還讓更多的數(shù)學(xué)家融入到矩陣變換的研究隊伍中，這使得矩陣變換的理論逐漸趨于完善，且應(yīng)用到更多的領(lǐng)域中.最后，本文將對矩陣的線性變換中一些比較常規(guī)的應(yīng)用，簡單闡述矩陣變換的基本概念及其性質(zhì)，從而運用矩陣變換理論來解決實際問題.2.矩陣的線性變換2.1矩陣定義2.1.1由個數(shù)組成了一個行列的表，如下：叫作一個行列（或）矩陣，叫作這個矩陣的元素.定義2.1.2矩陣的行或列的初等變換指的是：（1）交換矩陣的兩行或兩列；（2）用一個非零的常數(shù)乘以矩陣的某一行或某一列，也就是用一個非零的常數(shù)乘以矩陣的某一行或某一列的每一個元素；（3）用任意一個常數(shù)乘到矩陣的某一行或者某一列后，再將這某一行或者這某一列加到這個矩陣其中的的另一行或者另一列，也就是說用任意一個常數(shù)乘以矩陣的某一行或某一列的每一個元素后，再把這某一行或者這某一列加到這個矩陣其中的另一行或者另一列相對應(yīng)的各個元素上.定理2.1.3設(shè)是一個行列的矩陣：.實施行初等變換后，的第一種列初等變換形式為：行（1）進而化為以下形式：（2）這里的，，，表示矩陣的各個元素，矩陣內(nèi)不同位置上的元素表示的元素是不相同的.證明：若矩陣的元素都為零，顯然矩陣（1）的形式是成立的.令某一不為零，可以交換矩陣的行和列，使這些元素在矩陣的左上角，再用乘以第一行后，用其余各行來分別減去第一行中的適當倍數(shù)，即可以得到矩陣為：.若矩陣的第一行的元素都為零，可以發(fā)現(xiàn)矩陣具有（1）的形式.我們不妨設(shè)在矩陣的后行中存在一個非零的元素，在第二行第二列的交點處位置的元素換為，這時按照與以上同樣的變換方法可以把矩陣化為：.依次按照這樣的化解步驟方法，最終結(jié)果可以化解得到一個形如矩陣（1）的形式.而形如矩陣（1）通過變換可以得到形如矩陣（2）的形式，只要把第一行到第行分別減去第行中的適當?shù)谋稊?shù)，再由第一，第二，，第行分別減去第行中的適當?shù)谋稊?shù)等等，最后可以得到一個形如（2）的矩陣.注意這里沒有把矩陣直接化為矩陣（2），而是先把它化為矩陣（1），再化為矩陣（2），是因為這樣計算程序比較整齊而計算量也比較小.定義2.1.4，，分別表示某一的矩陣，和表示數(shù)域中的任意數(shù)，則數(shù)域上的數(shù)與數(shù)域上一個矩陣的乘積為，指的就是矩陣，求數(shù)與矩陣作乘積的這種運算方法就稱為數(shù)與矩陣的乘法.把兩個矩陣矩陣，作和來運算，也就是，它指的就是矩陣，求兩個矩陣和的這種運算方法就稱為矩陣的加法.需要注意的是：只有當行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個矩陣才能進行作和相加運算.由定義2.1.4，我們可以推出以下幾種運算規(guī)律：，，，，，，.定義2.1.5數(shù)域上矩陣與矩陣的乘積指的是這樣的一個矩陣，這個矩陣的第行第列的每一元素非別是矩陣的第行和矩陣的第列所對應(yīng)每一元素作乘積運算的和的結(jié)果：.需要注意的問題是，只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)和第二個矩陣的行數(shù)相同的情況下時，我們才能把這兩個矩陣相乘.2.2矩陣的線性變換定義2.2.1數(shù)域上向量空間到自身的一個映射叫做線性變換，若滿足：①對于任意，，;②對于任意，.假設(shè)對于的每一向量定義，是到的一個映射.我們證明，是一個線性映射.證明:①設(shè)，是的任意兩個向量，則.②設(shè)，，則因此是到的一個映射.定義2.2.2設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的一個基，,基向量的象可由基來線性表示：我們可以利用矩陣等式的形式把基向量的象寫成：其中所以我們就把矩陣稱為線性變換在數(shù)域上的維線性空間的一個基下的矩陣．定理2.2.3設(shè)數(shù)域上的維向量空間為，的一個線性變換是，而線性變換是關(guān)于向量空間的一個基的矩陣是.如果向量空間中存在向量關(guān)于這個基的坐標是[[]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）[M].高等教育出版社，2007.6.],此時的坐標是，則有[]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）[M].高等教育出版社，2007.6..證明：設(shè)是數(shù)域F上維向量空間，則令是的一個線性變換，取定的一個基考慮中任意一個向量.仍是的一個向量，設(shè)（3）在這里如何來計算的坐標，令，（4）.這里，就是關(guān)于基的坐標.設(shè).這種n階矩陣我們把它叫作線性變換關(guān)于的一個矩陣，關(guān)于基的坐標就是這個矩陣的第列的元素，則取定上的維向量空間的每一線性變換，存在唯一確定的上階矩陣與它對應(yīng).為了方便計算關(guān)于基的坐標，所以把等式（3）寫成矩陣形式的等式=（5）設(shè)因為是線性變換，所以（6）=.將（5）代入（6）得最后等式說明了關(guān)于的坐標所組成的列是.比較等式（5），則滿足定理要求.2.3恒等變換矩陣定義2.3.1在平面內(nèi)上的任意一點或任意一向量（或平面圖形）施以矩陣對應(yīng)的變換，都變換為其本身.這種比較特殊的矩陣我們把它叫做恒等變換矩陣（單位矩陣）[[]張英伯.對稱中的數(shù)學(xué)[M]北京:科學(xué)出版社，2011:38-43．][]張英伯.對稱中的數(shù)學(xué)[M]北京:科學(xué)出版社，2011:38-43．定理2.3.2設(shè)，若將該圖形經(jīng)過矩陣的變換，則方程仍為證明：設(shè)在圖形中任取一點，其坐標為，存在矩陣的變換，則即證畢.2.4伸壓變換矩陣定義2.4.1對平面內(nèi)上的任意一點或任意一向量（或平面圖形）施以矩陣對應(yīng)的變換（其中，是非零正常數(shù)），即：伸壓變換矩陣對應(yīng)的變換我們把它稱之為伸壓變換.定理2.4.2設(shè)，若將該圖形經(jīng)過矩陣的變換，則方程變?yōu)樽C明：已知，存在矩陣的變換，不妨設(shè)方程為曲線上任意一點，為圓上任意一點，則即證畢.2.5旋轉(zhuǎn)變換矩陣定義2.4.1平面上的任意一點或任意一向量（或平面圖形）施以矩陣的變換，則對應(yīng)的變換我們稱之為旋轉(zhuǎn)變換.即：=經(jīng)過繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)度角得到的變換公式是，其中我們把旋轉(zhuǎn)角稱為，旋轉(zhuǎn)中心為.這種旋轉(zhuǎn)變換方法在圖形位置上改變了，而圖形的形狀仍不變動，這是因為一個圖形的形狀是通過圖形形狀中心點以及旋轉(zhuǎn)角度的度量來共同決策的.在這里我們特別要注意的問題是，通過繞圖形的一個定點旋轉(zhuǎn)的圖形變換相當于作圖形的中心反射變換（見如下：圖1和圖2）.圖1旋轉(zhuǎn)變換圖2旋轉(zhuǎn)變換定理2.5.2設(shè)，若將該圖形經(jīng)過矩陣的變換，則方程變?yōu)?證明：在圖形中任取一點，設(shè)其坐標為，經(jīng)過矩陣的變換，即所以證畢.3.矩陣的線性變換的應(yīng)用3.1線性變換在中學(xué)教學(xué)中的背景根據(jù)社會的進步和發(fā)展，我國在2003年頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》（簡稱《標準》），在有關(guān)選修系列課程中簡單初步的介紹了矩陣與變換、數(shù)列和差分、風險和決策、布爾代數(shù)、優(yōu)選法以及試驗設(shè)計初步法等內(nèi)容.而矩陣與變換是代數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容，從中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革來看，對怎樣將矩陣理論應(yīng)用內(nèi)容貫穿于代數(shù)教材及怎樣通過運用變換的理論概念來編纂的，利用矩陣的線性變換來表示這部分內(nèi)容，對于目前來說，在運用理論知識和探索新知上它確實是有效的.在學(xué)習有關(guān)矩陣時可以將圖形（向量）作為變換的基本工具來使用，如在我們身邊的電子信息設(shè)備和數(shù)學(xué)模型等領(lǐng)域中的發(fā)展都可以通過利用矩陣的線性變換來進行表示，由此可見，矩陣的線性變換應(yīng)用之廣泛.不妨舉一例來看，在矩陣上建立的線性變換也就是我們常見的在平面上的坐標變換，這其實矩陣起著“對應(yīng)法則”的作用，如用二階矩陣確定的變換來構(gòu)造映射，使得平面上的點（向量）變成（對應(yīng)）點（向量）這種映射的對應(yīng)法則就是其左邊乘，這樣的一個線性變換過程，我們就稱矩陣為變換矩陣.線性變換的應(yīng)用就較為廣泛，在新課改之后，不僅要求要會靈活的運用學(xué)科基礎(chǔ)知識解決相關(guān)的問題，還要利用閑暇之余學(xué)習感興趣的知識點，讓每個人都可以得到較為全面地發(fā)展和鍛煉的機會.近幾年以來，有些國家早就在中學(xué)中就涉及到線性變換這部分知識的講授了，如何去運用變換的思想方法來解決實際問題是一個重要的考點，這就要求我們應(yīng)當掌握的一些必要的解題思想方法.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》中給我們講述了可以利用幾何圖形的變換形式去理解什么是變換，以及帶領(lǐng)我們討論了線性變換的基礎(chǔ)知識理論和基本的變換思想方法.開設(shè)線性變換選修課的初衷是希望對線性變換的思想方法有一個初步了解和掌握，這對以后學(xué)習矩陣理論來講是有幫助的.3.2矩陣的線性變換在中學(xué)教學(xué)中的可行性通過對矩陣的線性變換的學(xué)習,在有限維線性空間中，取定一個基，則這個基中向量的運算法則和向量之間的關(guān)系的討論就可以轉(zhuǎn)化成為向量坐標的問題.同樣的方法，不妨取定有限維線性空間的一個基，則基的線性變換的問題也可轉(zhuǎn)化成為該矩陣的討論.從線性變換所研究的角度和內(nèi)容來看，大學(xué)的線性變換其實指的是把線性變換作為代數(shù)運算的一種法則，而在中學(xué)的選修系列課程標準教材中給我們呈現(xiàn)的是可以把線性變換表示成一種幾何變換，線性變換具體的內(nèi)容其實我們可以把它看作是研究代數(shù)的運算定理及其線性代數(shù)的基本概念理論性質(zhì)，這樣看起來似乎十分抽象且難以理解掌握，從直觀上讓人覺得它的運算量和容量比較繁瑣，因此在中學(xué)的選修系列課程標準教材中就涉及到了矩陣與變換是通過線性變換的幾何性質(zhì)來作用的，并且通過典型案例來探索線性變換的具體性質(zhì)及其實例的應(yīng)用作用，又因為這僅限于研究平面內(nèi)的線性變換問題，導(dǎo)致難以直接理解線性變換理論的意義.所以說，在中學(xué)這個階段中要掌握矩陣變換理論這些知識點，需要學(xué)生通過了解矩陣與變換的基本理論和產(chǎn)生變換思想模式，才能具備進一步的深入學(xué)習，當然，學(xué)習的內(nèi)容不僅限于書本上的相關(guān)知識，也可以通過教師傳授基本的知識理論后，再要求學(xué)生通過自主練習，并從中有所收獲.在中學(xué)階段學(xué)習這一部分內(nèi)容的目的是讓學(xué)生對線性變換進行一個初步了解和掌握，形成一定的數(shù)學(xué)思維，而不是讓學(xué)生訓(xùn)練數(shù)學(xué)上的一些計算的技巧和計算的方法。在線性變換中，一般情況下，平面內(nèi)不同的點所變成的點是不相同的，它具有唯一性，并且在其平面內(nèi)的每一點都是由平面內(nèi)的某一個點所對應(yīng)變成的，這就說明了平面內(nèi)的點具有的一個變換.下面我們具體來看空間中向量的變換，我們設(shè)就是數(shù)域上的一個向量空間，向量空間到它本身的一個線性映射我們稱之為的一個線性變換，并且線性變換是一個一一映射的變換.目前在中學(xué)階段我們所涉及及認識到的線性變換是，通過一個平面直角坐標系中，把形如這組方程組（為常數(shù)）的幾何變換形式稱之為線性變換[[]安淑華.數(shù)學(xué)教育中的行動研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002.].[]安淑華.數(shù)學(xué)教育中的行動研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002.伸縮變換和旋轉(zhuǎn)變換其實也是中學(xué)幾何中常見的一種線性變換，下面我們不妨利用例題來運用伸縮變換的思想方法來巧解橢圓中的最值問題，如對橢圓，進行伸縮變換，橢圓就變成了圓的方程，即：，可以看到變換下一一對應(yīng)橢圓在形狀上發(fā)生了一定改變，然而對應(yīng)的橢圓面積的比是一個定值，即變換之前的橢圓面積是，變換后對應(yīng)的橢圓面積為，即有，由于伸縮變換之后它所對應(yīng)的橢圓面積比仍然是一個不變值，也就是說這個值是一個定值，所以我們就可以通過利用圓的方程問題求解和平面的線性幾何性質(zhì)求解與橢圓相關(guān)面積的最值問題了.再來看旋轉(zhuǎn)變換問題，它是把平面圖形繞這個平面內(nèi)上的一個定點旋轉(zhuǎn)，就存在了一個定角，記為，這時就可以得到一個與原來相同的圖形，其中圖形的形狀與大小都保持不變，記旋轉(zhuǎn)中心為，記為旋轉(zhuǎn)角，當旋轉(zhuǎn)角時，我們把它稱之為中心對稱變換，所以可以說是旋轉(zhuǎn)變換有一種比較特殊的變換就是中心對稱變換[[]桂文通.旋轉(zhuǎn)變換及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003.[8]竇永梅.利用伸縮變換巧解橢圓最值問題[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2010:1-2.[9]凌蕾花，卜玉成.矩陣在“高等代數(shù)”中的應(yīng)用基礎(chǔ)分析[J].2012.1.[10]加黑蒂.數(shù)學(xué)拾遺[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004:08.[11]劉明月，劉彥明.淺談矩陣[J].西安財經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院，2016.10.[[]桂文通.旋轉(zhuǎn)變換及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003.[8]竇永梅.利用伸縮變換巧解橢圓最值問題[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2010:1-2.[9]凌蕾花，卜玉成.矩陣在“高等代數(shù)”中的應(yīng)用基礎(chǔ)分析[J].2012.1.[10]加黑蒂.數(shù)學(xué)拾遺[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004:08.[11]劉明月，劉彥明.淺談矩陣[J].西安財經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院，2016.10.[12]賈璐，姚光同．矩陣代數(shù)上的幾種線性變換及其相互關(guān)系[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018，21(1):41-43.[13]張賢達.矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.9.[14]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準試驗教科書.矩陣與變換（選修4-2）[M].人民教育出版社，2008，12:0-11.[15]洪杰.淺談矩陣與變換[J].科技資訊，2008.[16]彭玉忠.“矩陣與變換”引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用[J].河北北方學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），200.3.3實例例1求矩陣解應(yīng)用定義2.1.6可知.例2求的線性變換：在基下的矩陣.解應(yīng)用定理2.2.3可知所以在基下的矩陣是.采用矩陣形式的寫法為：.例3在一個正方形中任取一點，設(shè)它的坐標為，則通過恒等變換后坐標應(yīng)為？解由題意，應(yīng)用定理2.3.2可知（見圖3）.圖3例4一個圓的方程為，若在此基礎(chǔ)上施以矩陣變換作用后，圓的方程會變換成什么樣的方程？圖形會不會變？解設(shè)點為所求曲線上的任意一個點，點為一個圓上的任意一個點，則由定理2.4.2得所以，化解得，再將其代入得，變形后得到，此曲線為橢圓方程（見圖4）.圖4伸壓變換例5已知三點，，是一個三角形，現(xiàn)在求此三角形繞原點作逆時針旋轉(zhuǎn)之后所得到的圖形，并求出頂點的坐標是多少？（見圖5）.解由定理2.5.2知=，得到，，圖5旋轉(zhuǎn)變換例6設(shè)、、是橢圓上的三點，求三角形面積的最大值.解對橢圓進行伸縮縮變換以后得到，橢圓就變成了一個圓，即：，這時可以看到橢圓的內(nèi)接三角形就變成了圓的內(nèi)接三角形，此時圓的內(nèi)接正三角形的面積為最大，從而三角形面積的最大值為，可以看到在橢圓中,由伸縮變換得到了多邊形面積比的不變性我們可以得到:三角形面積的最大值就是.例7在三角形中，作為的中點，分別將、延長到點點，使得，過、分別作、的垂線，相交于點.求證:.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解如圖6:圖6延長到，使，連接由，，可得.所以，.又因為，所以四點共圓，且，又由，可知，且，從而有（1）又由于，可知三角形為直角三角形，且，所以（2）