湖北省武漢市華大新高考聯(lián)盟2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖北省武漢市華大新高考聯(lián)盟2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?3,?2,0,2}，B={x|?1<x<4}，則A∩B的子集個數(shù)為(

)A.2 B.4 C.8 D.162.(1?5i)(4+3i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知某機(jī)械在生產(chǎn)正常的情況下，生產(chǎn)出的產(chǎn)品的指標(biāo)參數(shù)符合正態(tài)分布N(100,16).現(xiàn)從該機(jī)械生產(chǎn)出的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，則這2件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別在(96,112)和(92,108)的概率為(運算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)(

)

參考數(shù)據(jù)：若X服從正態(tài)分布(μ,σ2)，則P(μ?σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545，P(μ?3σ<X<μ+3σ)=0.9973A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.844.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中acosB+bcosA=3ctanC，若c=10，則△ABC外接圓的面積為(

)A.16π B.25π C.36π D.49π5.如圖，已知在四面體ABCD中，△BCD為等邊三角形，AB=3，△BCD的面積為3，點A在平面BCD上的投影為點B，點M，N分別為AC，CD的中點，則(

)A.MN與BD相交

B.MN與AD異面

C.BM⊥AN

D.DM⊥BN6.進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿十進(jìn)一就是十進(jìn)制，滿八進(jìn)一就是八進(jìn)制，即“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，不同進(jìn)制的數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換，如十進(jìn)制下，159=2×82+3×8+7，用八進(jìn)制表示159這個數(shù)就是237.現(xiàn)用八進(jìn)制表示十進(jìn)制的719A.3 B.4 C.5 D.77.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為4，側(cè)棱長為2，點M在平面B1BCC1上(A.3?2 B.23?8.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且|PF1|>|PFA.y=±x B.y=±2x C.y=±二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，其中A(π6,0),B(2π3A.f(x)的最小正周期為π

B.f(0)≠f(11π6)

C.f(x)在[π,3π2]上單調(diào)遞減

D.10.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)A.y=|f(x)|的圖象關(guān)于直線x=2對稱 B.g(0)=0

C.ab<0 D.f(0)+f(4)=611.19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計的規(guī)律中，用標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)并論證了一個不等式，該不等式被稱為切比雪夫不等式，它可以使人們在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，對事件|X?μ|<?做出估計.切比雪夫不等式定義為：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則對任意正數(shù)?，不等式P(|X?μ|<ε)≥1?σ2?作物類別數(shù)量作物平均高度/cm作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的試種可知，該新型作物的高度受到環(huán)境、肥料等一系列因素的影響，每株作物成長到達(dá)標(biāo)高度的概率為0.6，則下列說法正確的是(

)A.本次種植實驗中被調(diào)研的所有作物的高度的平均值為25

B.本次種植實驗中被調(diào)研的所有作物的高度的方差為313.5

C.為了保證下一次種植實驗中至少有90%的作物的高度達(dá)到預(yù)定達(dá)標(biāo)高度的頻率大于0.3且小于0.9，則根據(jù)切比雪夫不等式可以估計下一次最少種植27株

D.經(jīng)過幾次實驗之后，作物最終成長的高度到達(dá)24cm及以上的頻率為0.8，若種植20000株此類作物，則作物存活16000株的概率最大三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M(2,y0)在拋物線C上，則13.已知在梯形ABCD中BC=2AD，若M為CD邊上靠近C的三等分點，且BM=xAB+yAD14.已知m=99?912個9,n=66?6四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為了了解某地25～40歲居民的工資情況，研究人員隨機(jī)抽取了部分居民進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180女性居民280240合計(1)完善上述表格并依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性？

(2)以頻率估計概率，若在該地所有居民中隨機(jī)抽取3人，求至少2人工資超過3500的概率．

附：χ2P(0.050.010.001k3.8416.63510.82816.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的首項為2，前n項和為Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求滿足an>3n+517.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則稱f(x)為區(qū)間D上的凹函數(shù)；若f′(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱f(x)為區(qū)間D上的凸函數(shù).已知函數(shù)f(x)=xex+λln(x+1)．

(1)若f(x)在[2,3]上為凹函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍；

(2)已知F(x)=f(x?1)，且F(x)在(1,+∞)18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(?1,32)，(12,?154)，過點A(1,0)的直線l與C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)19.(本小題17分)

已知四棱錐S?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，SA=AB=SB，SB⊥AC，∠ABC=60°，BC=2，AB=1．

(1)求三棱錐S?ABC外接球的表面積．

(2)設(shè)T為線段SD上的點．

(i)若ST=13SD，求直線AC與平面BTC所成角的正弦值．

(ii)平面α過點B，T，且AC/?/平面α，探究：是否存在點T，使得平面SAD與平面α之間所成角的正切值為34，若存在，求出ST答案解析1.【答案】B

【解析】解：由題意，可得A∩B={0,2}，

則A∩B子集的個數(shù)為22=4個．

故選：B．

直接求得交集，進(jìn)而可確定其子集的個數(shù)．2.【答案】D

【解析】解：由題意，(1?5i)(4+3i)=19?17i，

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(19,?17)，位于第四象限．

故選：D．

由復(fù)數(shù)的乘法運算，整理其為標(biāo)準(zhǔn)式，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案．

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】解：由題意得P(96<X<112)=P(μ?σ<X<μ+3σ)=0.84，

且P(92<X<108)=P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545，

所以P=0.84×0.9545≈0.80．

故選：C．

由正態(tài)分布概率計算及相互獨立事件的概率計算公式求解．

本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)以及相互獨立事件概率的計算方法，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：由余弦定理得acosB+bcosA=a?a2+c2?b22ac+b?b2+c2?a22bc=c，

結(jié)合acosB+bcosA=3ctanC，可得c=3ctanC，所以tanC=13．

根據(jù)sin2C+cos2C=1tanC=sinCcosC=13，結(jié)合C∈(0,π)，解得sinC=5.【答案】C

【解析】解：MN與BD異面，故A錯誤；

MN/?/AD，故B錯誤；

以N為坐標(biāo)原點，ND，NB所在的直線分別為x，y軸，過點N與AB平行的直線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為△BCD為等邊三角形，所以面積為12CD×32CD=3，所以CD=2，

BN=32CD=3，ND=1，

則N(0,0,0)，B(0,3,0)，D(1,0,0)，C(?1,0,0)，A(0,3,3)，所以M(?12,32,32)，

6.【答案】D

【解析】解：因為159=2×82+3×8+7，用八進(jìn)制表示159這個數(shù)就是237，

所以719=(8?1)19=819?C191×818+C1927.【答案】D

【解析】解：由題意知，點M在以線段A1B為直徑的球與平面B1BCC1的交線上，

如圖，取A1B的中點D，過點D作DE⊥平面B1BCC1，垂足為E，

∵正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為4，

∴A1到平面B1BCC1的距離為23，則DE=3，

又側(cè)棱長為8.【答案】B

【解析】解：設(shè)P(xp,yp)，依題意可設(shè)PQ+3OQ=λF1F2，所以a?yp+3a=0，則yp=4a，

故SΔPF1F2=12×2c×4a=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)a，又|PF1|?|PF2|=2a，

9.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的圖象，可得周期T滿足|AB|=T2=2π3?π6=π2，解得T=π，A正確；

由T=2πω=π，得ω=2，故f(x)=2cos(2x+φ)，

由“五點作圖法”得：2×π6+φ=π2，解得φ=π6，

故f(x)=2cos(2x+π6)?f(0)=2cosπ6=3，f(11π6)=2cos23π6=2cos(4π?π6)=2cosπ6=f(0)，B錯誤；

當(dāng)x∈[π,3π2]時，2x+π6∈[13π6,19π6]，故10.【答案】BCD

【解析】解：A選項，令f(x)=(x?2)3+3，則g(x)=|f(x+2)?3|=|x3|，滿足g(x)為偶函數(shù)，

但y=|f(x)|的圖象如下，不關(guān)于直線x=2對稱，A錯誤；

BD選項，g(x)=|f(x+2)?3|為偶函數(shù)，故q(x)=f(x+2)?3為奇函數(shù)，

即q(?x)=?q(x)，即f(?x+2)?3=?f(x+2)+3，

故f(?x+2)+f(x+2)=6，故點(2,3)為曲線y=f(x)的對稱中心，

故f(2)=3，則g(0)=|f(2)?3|=0，f(0)+f(4)=2f(2)=6，故B，D正確；

C選項，由題意得f′(x)=3ax2+2bx+c，令?(x)=f′(x)，則?′(x)=6ax+2b，

由于曲線y=f(x)的對稱中心為(2,3)，

結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征可知，?′(2)=12a+2b=0，則b=?6a，又a≠0，故ab<0，故C正確．

故選：BCD．

A選項，舉出例子f(x)=(x?2)3+3，畫出y=|f(x)|的圖象，得到其不關(guān)于直線x=2對稱；BD選項，q(x)=f(x+2)?3為奇函數(shù)，得到g(0)=0，f(0)+f(4)=2f(2)=6，BD正確；C11.【答案】ACD

【解析】解：所有作物的高度的平均值為1100×(50×30+50×20)=25，故A正確；

所有作物的高度的方差為1100×{50×[256+(30?25)2]+50×[361+(20?25)2]}=333.5，故B錯誤；

設(shè)作物高度達(dá)到預(yù)定達(dá)標(biāo)高度的數(shù)量為X，依題意知X～B(n,0.6)，

則E(X)=0.6n，D(X)=n×0.6×(1?0.6)=0.24n，

若0.3n<X<0.9n，則?0.3n<X?0.6n<0.3n，

由切比雪夫不等式可得P(|X?μ|<ε)=P(|X?0.6n|<0.3n)≥1?σ2?2=1?0.24n(0.3n)2≥0.9，又n>0，

解得n≥803，即最少種植27株，故C正確；

設(shè)存活m株的概率最大，X～B(20000,0.8)，

則P(X=m)=c20000m×0.8m×0.220000?m=20000!(20000?m)!m!×0.8m×0.220000?m，

12.【答案】2【解析】解：拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M(2,y0)在拋物線C上，可得y0=±4，

|MO|=22+(±4)213.【答案】43【解析】解：如圖所示：

因為在梯形ABCD中，BC=2AD，

若M為CD邊上靠近C的三等分點，

所以CM=13CD=13(CB+BA+AD)

=13(?2AD?AB+AD)=?114.【答案】3333

【解析】解：用(x,y)表示正整數(shù)x，y的最大公約數(shù)，

則(99?912個,66?68個6)=(99?912個,33?38個3)=3(33?31215.【答案】列表見解析，不能；

18563375．【解析】解：(1)完善表格如下表所示：工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180380女性居民280240520合計480420900零假設(shè)：依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，不能認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性，

則χ2=900×(200×240?180×280)2380×520×480×420≈0.13<3.841，

故依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，假設(shè)成立，不能認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性；

(2)記至少2人工資超過3500為事件A，

則P(A)=C316.【答案】an=32n2?72【解析】解：(1)數(shù)列{an}的首項為2，前n項和為Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn，

可得Sn+1?Sn=an+3n?2，即有an+1?an=3n?2，

則n≥2時，an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+...+(an?an?1)=2+1+4+...+(3n?5)=2+12(n?1)(1+3n?5)=32n2?72n+4，

上式對n=1也成立，

17.【答案】(?∞,0]；

(?1,0)．

【解析】解：(1)f′(x)=1?xex+λx+1=m(x)，

則m′(x)=x?2ex?λ(x+1)2，

依題意知，m′(x)≥0對任意的x∈[2,3]恒成立，則(x+1)2(x?2)ex≥λ恒成立，

令n(x)=(x+1)2(x?2)ex=x3?3x?2ex，x∈[2,3]，

則n′(x)=1ex(?x3+3x2+3x?1)=x+1ex(?x2+4x?1)>0，

故n(x)在[2,3]上單調(diào)遞增，故n(2)=0≥λ，

則實數(shù)λ的取值范圍為(?∞,0]；

(2)依題意得，F(xiàn)(x)=f(x?1)=x?1ex?1+λlnx，

若λ≥0，當(dāng)x>1時，x?1ex?1>0，lnx>0，

所以F(x)>0，F(xiàn)(x)在(1,+∞)上無零點，舍去；

若λ<0，則F′(x)=λex?1?x2+2xxex?1，令g(x)=λex?1?x2+2x，

則g′(x)=λex?1?2(x?1)<0，則g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，且g(1)=λ+1，

①若λ+1>0，即?1<λ<0，此時g(2)=λe<0，

則存在m∈(1,2)，使得g(m)=0，即F′(m)=0，

故F(x)18.【答案】x24+y2=1；

【解析】解：(1)因為橢圓C過點(?1,32)，(12,?154)，則1a2+34b2=114a2+1516b2=1，

解得a2=4b2=1，所以橢圓C的方程為x24+y2=1．

(2)直線l的斜率為12，則直線l的方程為y=12(x?1)，

聯(lián)立x24+y2=1y=12(x?1)，消去y并整理得2x2?2x?3=0，

故x1+x2=1,x1x2=?32，

故|MN|=1+k2|x1?x2|=1+k2?(x1+x2)2?4x1x2=1+14?1+6=352．

(3)因為四邊形MAPM′為等腰梯形，則必有∠NAP=∠NPA，即|NA|=|NP|．

不妨設(shè)點P的坐標(biāo)為