湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷

2024年春季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校期中聯(lián)考高二數(shù)學試卷命題學校：鄂南高中命題教師：汪勇謀陳艷峰劉峰徐丹審題學校：紅安一中審題教師：王曉華考試時間：2024年4月178下午15：0017：00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)在處的導數(shù)為6，則（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極限的簡單性質(zhì)，結(jié)合導數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)在處的導數(shù)為6，所以因此，故選：A2.在等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，，則（）A.118 B.128 C.138 D.148【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式計算即得．【詳解】由，又，所以，由題意得．故選：C．3.函數(shù)在上的最大值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】，當時，有單調(diào)遞增，當時，有單調(diào)遞減，所以，故選：C4.已知函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，則曲線的圖象在點處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，結(jié)合導數(shù)的幾何意義計算即可求解.【詳解】當時，，則，又為R上的奇函數(shù)，所以，則，所以，得，所以曲線的圖象在點處的切線方程為，即.故選：C5.式子的值為（）A.27 B.127 C.5160 D.與的取值有關(guān)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)和運算公式進行求解即可.【詳解】由題中組合數(shù)的形式可知：，所以.故選：A6.2024年元旦期間，哈爾濱這座冰城火爆出圈，成為旅游城市中的頂流．某班級6位同學也準備趁著春節(jié)假期共赴一場冰雪之約，這6位同學準備在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪紀念塔三個景點中游玩，已知6位同學都會進行選擇且只能選擇其中一個景點，并且每個景點至少一位同學會選，則不同的選法總數(shù)為（）A.240 B.360 C.420 D.540【答案】D【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分類加法計數(shù)原理求解即可.【詳解】若三個景點選擇人數(shù)之比為，共有種選法，若三個景點選擇人數(shù)之比為，共有種選法，若三個景點選擇人數(shù)之比為，共有種選法，由分類加法計數(shù)原理得共有種選法，故D正確.故選：D7.已知為數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足：，，記不超過的最大整數(shù)為，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由遞推公式可得為常數(shù)列，可得，，由放縮法和裂項相消可得的取值范圍，可得結(jié)果．【詳解】當時，，，，則為常數(shù)列，，，，又時，，，又易得，即，.故選：D．8.對任意的，不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，令，研究其單調(diào)性，進而問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，通過求導求解函數(shù)最值求解．【詳解】恒成立，恒成立，恒成立，令，f′x=(x+1)ex，當時，，由，即，在為增函數(shù)，且，恒成立，恒成立，令，則，當時時，，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，即正實數(shù)的最小值為．故選：D．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求解不等式恒成立問題的常用步驟：(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有3個編號為1，2，3的盒子和3個編號為1，2，3的小球，要求把3個小球全部放進盒子中，則下列結(jié)論正確的有（）A.沒有空盒子的方法共有6種B.所有的放法共有21種C.恰有1個盒子不放球的方法共有9種D.沒有空盒子且小球均不放入自己編號的盒子的方法有2種【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)排列組合知識，結(jié)合每個選項的具體情況，即可求得答案.【詳解】對于A，沒有空盒子即相當于3個編號為1，2，3的小球分別放入3個編號為1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有種，A正確；對于B，所有的放法，即每個球都有3種放法，故共有（種）放法，B錯誤；對于C，恰有1個盒子不放球，即有2個球放入一個盒子中，另一個球放入另一個盒子中，那么先3個盒子選一個作為空盒，在把3個球選出2個綁在一起，在排列，共有（種）放法，C錯誤；對于D，沒有空盒子且小球均不放入自己編號的盒子，則只有以下2種情況：即1號球放入2號盒子，2號球放入3號盒子，3號球放入1號盒子；1號球放入3號盒子，3號球放入2號盒子，2號球放入1號盒子，D正確，故選：AD10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C.的前項和為 D.數(shù)列的最小項為4【答案】ABC【解析】【分析】對遞推公式兩邊同時加6，這樣可以確定數(shù)列是等比數(shù)列，最后等比數(shù)列的通項公式、前項和公式，對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的定義、基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由，因此是以為首項，公比為的等比數(shù)列，因此有.A：因為，所以本選項正確；B：因為所以數(shù)列是等差數(shù)列，因此本選項正確；C：因為，所以的前項和為，所以本選項正確；D：，當且僅當時取等號，即當時取等號，因為是正整數(shù)，所以上述不等式等號不成立，即，所以本選項不正確，故選：ABC【點睛】方法點點睛：對于形如的遞推公式，一般運用待定系數(shù)法進行求通項公式，即設，顯然.11.已知函數(shù)和的定義域為R，為偶函數(shù)，gx=g4?x,fx=1?A.函數(shù)關(guān)于對稱 B.g′2022C.關(guān)于點對稱 D.【答案】ABD【解析】【分析】先對函數(shù)求導，根據(jù)為偶函數(shù)，可得為奇函數(shù)，進而可得函數(shù)的周期性，即可根據(jù)函數(shù)的周期性、奇偶性以及對稱性，結(jié)合選項逐一進行求解即可．【詳解】因為g(x)=g(4?x)，所以關(guān)于對稱，則g′(x)=?g′(4?x)，則關(guān)于為偶函數(shù)，所以g(x)=g(?x)，故g′(x)=?g′由g′(x)=?g′(4?x)可得g∴g′(2022)=∵g′(x)=1?f(x)，∴∴f(4?x)+f(x)=2,故關(guān)于對稱，C錯誤；∵f(x)=1?g′(x)，周期4的周期也為4，f1=1?g′i=12024f(k)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2024,D故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：對g(x)=g(4?x)以及g(x)=g(?x)求導得g′(x)=?g′(4?x)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的導函數(shù)為．，且滿足，則______．【答案】【解析】【分析】先算出導函數(shù)，再將代入求解即可．【詳解】由于，所以，令，則，．故答案為：．13.已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負性與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，然后常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】，所以問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，即，設，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，因此，所以的最小值為，故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，一般是通過常變量分離法進行構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)求出新函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)的取值范圍.14.計算機是20世紀最偉大發(fā)明之一，計算機在進行計算和信息處理時，使用的是二進制．若將一個十進制數(shù)表示為，其中，則其二進制為，例如：自然數(shù)1在二進制中就表示為，2表示為，3表示為，4表示為，7表示為．記為中0的個數(shù)，如，則______；從1到127這些自然數(shù)的二進制表示中的自然數(shù)有______個．【答案】①.0②.35【解析】【分析】由二進制表示可求，由當時，有1個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，可求得答案．【詳解】因為，所以；當時，有1個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，當時，有個，則一共個，所以從1到127這些自然數(shù)的二進制表示中的自然數(shù)有35個．故答案為：0；35．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為128，各項系數(shù)之和為．（1）求正整數(shù)和實數(shù)的值；（2）求的展開式中項的系數(shù)．【答案】（1）（2）560【解析】【分析】（1）根據(jù)所有項的二項式系數(shù)之和即可求得n；利用賦值法結(jié)合各項系數(shù)之和即可求出a的值；（2）利用二項式展開式的通項公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意可得；各項系數(shù)之和為，即令，則，故；【小問2詳解】由（1）可知即，其通項公式為，令，故展開式中項的系數(shù)為.16.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且是和的等差中項，是和的等比中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，求證：．【答案】（1），．（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設出公差以及公比，求出以及，利用通項公式即可；（2）利用錯位相減法求得，顯然小于3，根據(jù)單調(diào)性得大于等于1，即可．【小問1詳解】設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由已知可得，消去得：，解得或，因為等差數(shù)列單調(diào)遞增，所以，于是，，，．【小問2詳解】由得：，①，②①②得：，于是，又單調(diào)遞增．綜上所述：．17.已知函數(shù)（為自然常數(shù)，）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論a的范圍，確定導數(shù)正負，即可得答案；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值，證明其最小值大于0，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意知函數(shù)定義域為R，，當時，f′x<0，則在R當時，令f′x>0，則，則在上單調(diào)遞增；令f′x<0，則，則在上單調(diào)遞減；綜合上述，當時，在R上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】證明：由（1）可得當時，，要證明，只需證明，即證；令，則，當時，，當時，，即上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即成立，故當時，.18.已知函數(shù)．（1）當時，以點為切點作曲線的切線，求切線方程；（2）證明：函數(shù)有3個零點；（3）若在區(qū)間上有最小值，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由點斜式求出切線方程；（2）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，再結(jié)合零點存在性定理證明即可；（3）結(jié)合（2）中函數(shù)的極小值點及極小值，令求出所對應的，從而得到，解得即可.【小問1詳解】當時，則，，所以，所以切線方程為，即；小問2詳解】因為定義域為，又，因為，所以，由，解得或，由，解得；則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以，，又，，且當時，當時，即，所以在上存在唯一零點，由，所以在上存在唯一零點，由，所以在上存在唯一零點，所以在和上均不存在零點，所以函數(shù)有且僅有個零點．【小問3詳解】由（2）可知的極小值點為，極大值點為，且，當時，即，則，解得或，因為在區(qū)間上有最小值，所以最小值為函數(shù)的極小值，即，解得，所以的取值范圍為．19.如果一個正項數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都大于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做類等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做類等比數(shù)列的類比．（1）若數(shù)列是一個類等比數(shù)列，且，證明；（2）對于一個正項數(shù)列，且首項，滿足；①證明：數(shù)列為遞減數(shù)列；②證明：．【答案】（1）證