初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專(zhuān)題05一元二次方程的整數(shù)根

專(zhuān)題05一元二次方程的整數(shù)根

閱讀與思考

解一元二次方程問(wèn)題時(shí)，我們不但需熟練地解方程，準(zhǔn)確判斷根的個(gè)數(shù)、符號(hào)特征、存在范圍，而

且要能深入地探討根的其他性質(zhì)，這便是大量出現(xiàn)于各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題。這

類(lèi)問(wèn)題因涵蓋了整數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的相關(guān)理論，融合了豐富的數(shù)學(xué)思想方法而備受命題者的青

睞..

解整系數(shù)（即系數(shù)為整數(shù)）一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題的基本方法有：

1．直接求解

若根可用有理式表示，則求出根，結(jié)合整除性求解.

2．利用判別式

在二次方程有根的前提下，通過(guò)判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉討論、不等分析求解

3．運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系

由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過(guò)因式分解和整數(shù)性質(zhì)

求解.

4．巧選主元

若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難，可選取字母為主元，結(jié)合整除知識(shí)求解.

例題與求解

【例1】已知關(guān)于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整數(shù)，求整數(shù)k的值.

（紹興市競(jìng)賽試題）

解題思路：用因式分解法可得到根的表達(dá)式，因方程類(lèi)型未指明，故須按一次方程、二次方程兩

種情形討論，這樣確定k的值才能全面而準(zhǔn)確.

qp

【例2】p,q為質(zhì)數(shù)且是方程x213xm0的根，那么的值是（）

pq

121123125127

A．B．C．D．

22222222

（黃岡市競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)法求出p,q的值，由題設(shè)條件自然想到根與系數(shù)的關(guān)系

【例3】關(guān)于x,y的方程x2xy2y229的整數(shù)解(x,y)的組數(shù)為（）

A．2組B．3組C．4組D．無(wú)窮多組

解題思路：把x2xy2y229看作關(guān)于x的二次方程，由x為整數(shù)得出關(guān)于x的二次方程的

根的判別式是完全平方數(shù)，從而確定y的取值范圍，進(jìn)而求出x的值.

【例4】試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx2(r2)xr10有根且只有整數(shù)根.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：因方程的類(lèi)型未確定，故應(yīng)分類(lèi)討論.當(dāng)r0時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)不等

式，消去r，先求出兩個(gè)整數(shù)根.

【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的兩位數(shù)之和的平方，恰好等

于這個(gè)四位數(shù).

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：設(shè)前后兩個(gè)兩位數(shù)分別為x,y，x10,y99，則(xy)2100xy，即

x22(y50)x(y2y)0，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有理根、整數(shù)根的問(wèn)題.

【例6】試求出所有這樣的正整數(shù)解a，使得二次方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一個(gè)整

數(shù)根.（“祖沖之杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：本題有兩種解法.由于a的次數(shù)較低，可考慮“反客為主”，以a為元，以x為已知數(shù)整理成

一個(gè)關(guān)于a的一元一次方程來(lái)解答；或考慮因方程根為整數(shù)，故其判別式為平方式.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．已知方程x21999xa0有兩個(gè)質(zhì)數(shù)根，則a_______.(江蘇省競(jìng)賽題)

2．已知一元二次方程x2mxm10（m是整數(shù)）有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則m_________.

(四川省競(jìng)賽題)

3．若關(guān)于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50的根都是整數(shù)，則整數(shù)m

的值為_(kāi)_________

4．若k正整數(shù)，且一元二次方程(k1)x2pxk0的兩個(gè)根都是正整數(shù)，則kpk(ppkk)的值等

于______________.

ba

5．兩個(gè)質(zhì)數(shù)a,b恰是x的整系數(shù)方程x221xt0的兩個(gè)根，則等于（）

ab

582402365

A．2213B．C．D．

214938

6．若x2mx60的兩個(gè)根都是整數(shù)，則m可取值的個(gè)數(shù)是（）

A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．以上結(jié)論都不對(duì)

p

．方程2恰有兩個(gè)整數(shù)根，則的值是（）

7xpx19970x1,x2

(x11)(x21)

11

A．1B．1C．D．

22

（北京市競(jìng)賽試題）

8．若a,b都是整數(shù)，方程ax2bx20080的相異兩根都是質(zhì)數(shù)，則3ab的值為（）

（太原市競(jìng)賽試題）

A．100B．400C．700D．1000

9．求所有的實(shí)數(shù)k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整數(shù).（“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題）

10．已知關(guān)于x的方程4x28nx3n2和x2(n3)x2n220，是否存在這樣的n值，使第一

個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方等于第二個(gè)方程的一整數(shù)根？若存在，求出這樣的n值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.（湖北省選拔賽試題）

11．若關(guān)于x的方程ax22(a3)x(a2)0至少有一個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)a的值.

（上海市競(jìng)賽試題）

p21115

12．已知p,q為整數(shù)，且是關(guān)于x的方程x2x(pq)160的兩個(gè)根，求p,q的值.

94

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

B級(jí)

1．已知pq96，并且二次方程x2pxq0的根都是整數(shù)，則其最大根是___________.

2．若關(guān)于x的二次方程x2ax6a0只有整數(shù)根，則a_________.（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

3．若關(guān)于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)k的值有

_________個(gè).

4．使方程a2x2ax17a20的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)a的和是______________.

（上海市競(jìng)賽題）

5．已知方程a2x2(3a28a)x2a213a150（其中a為非零實(shí)數(shù)）至少有一個(gè)整數(shù)根，那么

a_________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

6．設(shè)方程x2(m6)xm30有兩個(gè)不同的奇數(shù)根，則整數(shù)m的值為_(kāi)___________

（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開(kāi)賽試題）

a

7．若ab1，且有5a22001a90及9b22001b50，則的值為（）

b

9520012001

A．B．C．D．

5959

．若方程2有一個(gè)正跟，和一個(gè)負(fù)根，由以為根的二次方程為（）

8x3xm20x1x2x1,x2

A．x23xm20B．x23xm20

C．x214mxm20D．x214mxm20

9．設(shè)關(guān)于x的二次方程(k26k8)x2(2k26k4)xk24的兩根都是整數(shù)，求滿(mǎn)足條件的所有

實(shí)數(shù)k的值.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

10．當(dāng)x為何有理數(shù)時(shí)，9x223x2恰為兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的乘積？

（山東省競(jìng)賽題）

11．是否存在質(zhì)數(shù)p,q使得關(guān)于x的一元二次方程px2qxp0有有理數(shù)根？

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

kx2y(ka)0

12．已知關(guān)于x,y的方程組只有一組解且為整數(shù)解，其中k,a,b,c均為整數(shù)且

y(ka)xbc

a0，a,b,c滿(mǎn)足a2abc1，bc2.

（1）求a的值；

（2）求k的值及它對(duì)的x,y的值.

專(zhuān)題05一元二次方程的整數(shù)根

48

例1當(dāng)k=4時(shí)，x=1；當(dāng)k=8時(shí)，x=-2；當(dāng)k≠4且k≠8時(shí)，x，x，可得k=6或k=4,6,8

18k24k

或12．

例2C

例3C提示：方程變形為關(guān)于x的二次方程x2yx2y2290，=7y2116≥0且是完全平方數(shù)，

x11x23x31x43

得y216,∴y4,∴,,,.

y14y24y34y44

1r2

例4①若r0，則x不是整數(shù)；②r0，設(shè)方程的兩根為x,x(xx)，則xx，

2121212r

r1r1r2x11x13

x1x2，于是2x1x2(x1x2)23,有(2x11)(2x21)7，解得或

rrrx24x20

1

則r或r1.

3

例5由x2-2(y50)x(y2y)0得4(y50)24(y2y)4(250099y)0,即

(250099y)0,y25時(shí),方程有實(shí)數(shù)解x50y250099y.由于(250099y)必須是完全平方數(shù),

而完全平方數(shù)的末位數(shù)字可能為0,1,4,5,6,9,故僅可取25,此時(shí)x30或,x20,故所求的四位數(shù)為

2025或3025.

例6解法一:因a的次數(shù)較低,故將方程整理為關(guān)a于的一次方程,得(x2)2a2(x6),顯然x20,

2(x6)2(x6)

于是a,∵a是正整數(shù),a1,即1,化簡(jiǎn)得x22x80,解得4x2(x2).當(dāng)

(x2)2(x2)2

14

x4,3,1,0,1,2時(shí),a1,6,10,3,,1.∵a是正整數(shù),故a的值為1,3,6,10.解法

9

二:42a124a(a3)4(8a1)為完全平方數(shù),故4(8a1)為奇數(shù)的平方.令

m2m

(8a1)(2m1)2,m是正整數(shù),則a,于是,原方程可化為

2

m(m1)x24(m2m1)x4(m2)(m3)0,即mx（2m-2)(m1)x2(m3)0,解得

44

x2,x2,∴m4或（m1）4得m1,2,4或m1,3,故a的值位1,3,6,10.

1m2m1

A級(jí)

1.39942.13.14.19845.D6.B7.C8.D

1

xx1

12k

9.①當(dāng)k0時(shí)，則x1，即k0為所求；②k0時(shí),則,得(x1)(x1)3,由此可

112

xx1

12k

1

得k,或k1.

7

10.提示:方程①22,方程②根為,注意討論.

n0x1x24n3n22n2,1n

11.a2,10,4

p21115

12.由韋達(dá)定理，得pq①，pq(pq)16②，pq0，pq0，為p,q正整數(shù).由②

94

4p151,481,13,37

得16pq60(pq)162,即(4p15)(4q15)162152481,故,得

4q15481,1,37,13

p4,124,7,13，q124,4,13,7，代入①，即只有p13,q7滿(mǎn)足條件.

B級(jí)

1.98

2.49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.

96

3.5提示:當(dāng)k6時(shí),解得x2.當(dāng)k9時(shí),解得x3.當(dāng)k6且k9時(shí),解得x,x.

19k29k

當(dāng)6k1,3,9時(shí),x1是整數(shù)，這時(shí)k7,5,3,15,3；當(dāng)9k1,2,3,6時(shí)，x2是整數(shù)，這時(shí)

k10,8,11,7,15,3.綜上所述,k3,6,7,9,15時(shí),原方程的解為整數(shù).

11

4.提示:將原方程整理為關(guān)于a的二次方程

6

x283x2

x27a2xa10,283x20,a,討論枚舉.

2(x27)

35

5.1,3,5提示:x2,x1.

1a2a

6.-2,或-6

1

7.A提示:a與時(shí)方程5x22001x90的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

a

8.C

24

24

9.解得x11，x21，故k4，k2(x11,x21)，消去k得，

k4k2x11x21

10

xx3x20，即xx32，求得k6,3,.

x21123

10.設(shè)兩連續(xù)正偶數(shù)為k,k2,則有9x223x2k(k2),即9x223x(k22k2)0,

x為有理數(shù),則5656(k1)2為完全平方數(shù),

令p2(p0),p26(k1)256511355651

也即p6(k1)p6(k1)11555651,

p6(k1)113p6(k1)565

于是得,或解得k8或k46,相應(yīng)的方程的解為x2或

p6(k1)5p6(k1)1

41130

x與x17或x.總之,當(dāng)x2或x17時(shí),9x223x2恰為兩個(gè)整數(shù)8或10,或者

99

46或48的乘積.

11.令q24p2n2(n為非負(fù)數(shù)),即（qn)(qn)4p2.∵1qnqn且qn與qn奇偶性

qn2qn4qnpqn