初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題05 一元二次方程的整數(shù)根

專題05一元二次方程的整數(shù)根

閱讀與思考

解一元二次方程問題時，我們不但需熟練地解方程，準(zhǔn)確判斷根的個數(shù)、符號特征、存在范圍，而

且要能深入地探討根的其他性質(zhì)，這便是大量出現(xiàn)于各級數(shù)學(xué)競賽中的一元二次方程的整數(shù)根問題。這

類問題因涵蓋了整數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的相關(guān)理論，融合了豐富的數(shù)學(xué)思想方法而備受命題者的青

睞..

解整系數(shù)（即系數(shù)為整數(shù)）一元二次方程的整數(shù)根問題的基本方法有：

1．直接求解

若根可用有理式表示，則求出根，結(jié)合整除性求解.

2．利用判別式

在二次方程有根的前提下，通過判別式確定字母或根的范圍，運用枚舉討論、不等分析求解

3．運用根與系數(shù)的關(guān)系

由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過因式分解和整數(shù)性質(zhì)

求解.

4．巧選主元

若運用相關(guān)方法直接求解困難，可選取字母為主元，結(jié)合整除知識求解.

例題與求解

【例1】已知關(guān)于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整數(shù)，求整數(shù)k的值.

（紹興市競賽試題）

解題思路：用因式分解法可得到根的表達式，因方程類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩

種情形討論，這樣確定k的值才能全面而準(zhǔn)確.

qp

【例2】p,q為質(zhì)數(shù)且是方程x213xm0的根，那么的值是（）

pq

121123125127

A．B．C．D．

22222222

（黃岡市競賽試題）

解題思路：設(shè)法求出p,q的值，由題設(shè)條件自然想到根與系數(shù)的關(guān)系

【例3】關(guān)于x,y的方程x2xy2y229的整數(shù)解(x,y)的組數(shù)為（）

A．2組B．3組C．4組D．無窮多組

解題思路：把x2xy2y229看作關(guān)于x的二次方程，由x為整數(shù)得出關(guān)于x的二次方程的

根的判別式是完全平方數(shù)，從而確定y的取值范圍，進而求出x的值.

【例4】試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx2(r2)xr10有根且只有整數(shù)根.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：因方程的類型未確定，故應(yīng)分類討論.當(dāng)r0時，由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于r的兩個不等

式，消去r，先求出兩個整數(shù)根.

【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的兩位數(shù)之和的平方，恰好等

于這個四位數(shù).

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：設(shè)前后兩個兩位數(shù)分別為x,y，x10,y99，則(xy)2100xy，即

x22(y50)x(y2y)0，于是將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有理根、整數(shù)根的問題.

【例6】試求出所有這樣的正整數(shù)解a，使得二次方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一個整

數(shù)根.（“祖沖之杯”競賽試題）

解題思路：本題有兩種解法.由于a的次數(shù)較低，可考慮“反客為主”，以a為元，以x為已知數(shù)整理成

一個關(guān)于a的一元一次方程來解答；或考慮因方程根為整數(shù)，故其判別式為平方式.

能力訓(xùn)練

A級

1．已知方程x21999xa0有兩個質(zhì)數(shù)根，則a_______.(江蘇省競賽題)

2．已知一元二次方程x2mxm10（m是整數(shù)）有兩個不相等的整數(shù)根，則m_________.

(四川省競賽題)

3．若關(guān)于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50的根都是整數(shù)，則整數(shù)m

的值為__________

4．若k正整數(shù)，且一元二次方程(k1)x2pxk0的兩個根都是正整數(shù)，則kpk(ppkk)的值等

于______________.

ba

5．兩個質(zhì)數(shù)a,b恰是x的整系數(shù)方程x221xt0的兩個根，則等于（）

ab

582402365

A．2213B．C．D．

214938

6．若x2mx60的兩個根都是整數(shù)，則m可取值的個數(shù)是（）

A．2個B．4個C．6個D．以上結(jié)論都不對

p

．方程2恰有兩個整數(shù)根，則的值是（）

7xpx19970x1,x2

(x11)(x21)

11

A．1B．1C．D．

22

（北京市競賽試題）

8．若a,b都是整數(shù)，方程ax2bx20080的相異兩根都是質(zhì)數(shù)，則3ab的值為（）

（太原市競賽試題）

A．100B．400C．700D．1000

9．求所有的實數(shù)k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整數(shù).（“祖沖之”邀請賽試題）

10．已知關(guān)于x的方程4x28nx3n2和x2(n3)x2n220，是否存在這樣的n值，使第一

個方程的兩個實數(shù)根的差的平方等于第二個方程的一整數(shù)根？若存在，求出這樣的n值；若不存在，請

說明理由.（湖北省選拔賽試題）

11．若關(guān)于x的方程ax22(a3)x(a2)0至少有一個整數(shù)根，求整數(shù)a的值.

（上海市競賽試題）

p21115

12．已知p,q為整數(shù)，且是關(guān)于x的方程x2x(pq)160的兩個根，求p,q的值.

94

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

B級

1．已知pq96，并且二次方程x2pxq0的根都是整數(shù)，則其最大根是___________.

2．若關(guān)于x的二次方程x2ax6a0只有整數(shù)根，則a_________.（美國數(shù)學(xué)邀請賽試題）

3．若關(guān)于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)k的值有

_________個.

4．使方程a2x2ax17a20的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)a的和是______________.

（上海市競賽題）

5．已知方程a2x2(3a28a)x2a213a150（其中a為非零實數(shù)）至少有一個整數(shù)根，那么

a_________.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

6．設(shè)方程x2(m6)xm30有兩個不同的奇數(shù)根，則整數(shù)m的值為____________

（《學(xué)習(xí)報》公開賽試題）

a

7．若ab1，且有5a22001a90及9b22001b50，則的值為（）

b

9520012001

A．B．C．D．

5959

．若方程2有一個正跟，和一個負根，由以為根的二次方程為（）

8x3xm20x1x2x1,x2

A．x23xm20B．x23xm20

C．x214mxm20D．x214mxm20

9．設(shè)關(guān)于x的二次方程