初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題12三角函數(shù)

專題12三角函數(shù)

閱讀與思考

三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，解三角函數(shù)相關(guān)問題

時應(yīng)注意以下兩點：

1．理解同角三角函數(shù)間的關(guān)系．

（1）平方關(guān)系：sin2cos21；

sincos

（2）商數(shù)關(guān)系：tan，cot；

cossin

（3）倒數(shù)關(guān)系：tancot1．

2．善于解直角三角形．

從直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的過程叫作解直角三角形．解直角三角形，

關(guān)鍵是合理選用邊角關(guān)系，它包括勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)的概念．許

多幾何計算問題都可歸結(jié)為解直角三角形，常見的基本圖形有：

例題與求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19921993，則sinAcosC．

（河北省競賽試題）

解題思路：通過計算，尋找BC2，AC2，AB2之間的關(guān)系，判斷三角形形狀，看能否直接用三角函

數(shù)的定義解題．

【例2】某片綠地形狀如圖所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的長．（精確到1m，31.732）

解題思路：本題的解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造的原則是不能破壞∠A，所以連結(jié)AC不

行．延長AD和BC交于一點E（如圖1），這樣既構(gòu)造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；

或過點D作矩形ABEF（如圖2）來求解．

【例3】如圖，已知正方形ABCD中，E為BC上一點．將正方形折疊起來，使點A和點E重

1

合，折痕為MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．

3

（1）求△ANE的面積；

（2）求sinENB的值．

1

解題思路：將tanAEN與DC＋CE＝10結(jié)合起來，可求出相關(guān)線段的長，為解題鋪平

3

道路．

【例4】如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出

發(fā)沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達(dá)客輪．兩船同時起航，并同時到達(dá)折線A—B—C上

的某點E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客輪速度是貨輪速度的2倍．

（1）選擇：兩船相遇之處E點（）

A．在線段AB上

B．在線段BC上

C．可以在線段AB上，也可以在線段BC上

（2）求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？（結(jié)果保留根號）

（南京市中考試題）

解題思路：對于（2），過D作DF⊥CB于F，設(shè)DE=x，建立關(guān)于x的方程．

【例5】若直角三角形的兩個銳角A，B的正弦是方程x2pxq0的兩個根．

（1）那么，實數(shù)p，q應(yīng)滿足哪些條件？

（2）如果p，q滿足這些條件，方程x2pxq0的兩個根是否等于直角三角形的兩個銳角

A，B的正弦？

（江蘇省競賽試題）

解題思路：解本例的關(guān)鍵是建立嚴(yán)密約束條件下的含不等式、等式的混合組，需綜合運用一

元二次方程，三角函數(shù)的知識與方法．

【例6】設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數(shù)n≥3．求證：anbncn．

（福建省競賽試題）

解題思路：由直角三角形的邊可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)正余弦來解．其不等關(guān)系可以利用正弦、

余弦的有界性來證明．

能力訓(xùn)練

A級

3

1．如圖，D是△ABC的邊AC上一點，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，sinCBD，則AE

4

＝．

2．已知00900，則y54sinsin的最大值是，最小值是．

（上海市理科實驗班招生考試試題）

3．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D為BC邊上的一點，tanADC是方

11

程3(x2)5(x)2的一個較大的根，則CD＝．

x2x

4．已知△ABC的兩邊長a＝3，c＝5，且第三邊長b為關(guān)于x的一元二次方程x24xm0的兩

個正整數(shù)根之一，則sinA的值為．（哈爾濱中考試題）

5．如圖，小雅家（圖中點O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中點A處）在

她家北偏東600距離500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）

500

A．250mB．2503mC．3mD．2502m

3

6．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中點，則cotDBC的值是（）

33

A．3B．23C．D．

24

（大連市中考試題）

7．一漁船上的漁民在A處看見燈塔M在北偏東600方向，這艘漁船以28海里/時的速度向正東航

行．半小時后到B處，在B處看見燈塔M在北偏東150方向，此時燈塔M與漁船的距離是

（）（黃岡市中考試題）

A．72海里B．142海里C．7海里D．14海里

8．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，則BC＋CD等于（）

A．63B．53C．43D．33

9．如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖．已知真空集熱管AB與支架CD所在直線

相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一

根輔助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．

（1）求垂直支架CD的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求水箱半徑OD的長度（結(jié)果保留三位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：21.41,31.73）．

（揚州市中考試題）

111

10．若為銳角，求證：4．

sincossincos

（寧波市競賽試題）

11．如圖，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的長．

（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于點D，CD＝1．若AD，BD的長是關(guān)于x的方程

x2pxq0的兩根，且tanAtanB2，求p，q的值并解此二次方程．

B級

1

1．若00300，且sinkm（k為常數(shù)，k＜0），則m的取值范圍是．

3

37

2．設(shè)00450，sincos，則sin．（武漢市選拔賽試題）

16

5

3．已知在△ABC中，∠A，∠B是銳角，且sinA,tanB2，AB＝29cm，則△ABC的面積

13

等于．（“祖沖之杯”邀請賽試題）

4．如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且NMBMBC，

則有tanABM．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

ABAC

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，則的值為（）

CDCD

3

A．3B．C．33D．623

3

（湖北省選拔賽試題）

6．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一點，∠ABE＝450，

則tanAEB的值等于（）（天津市競賽試題）

35

A．B．2C．D．3

22

AD

7．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，則＝（）

DC

32

A．B．C．21D．31

32

（山東省競賽試題）

8．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道是由兩段互相平行并且與地面成370角的樓

梯AD，BE和一段水平天臺DE構(gòu)成．已知天橋高度BC＝4.8米，引橋水平跨度AC＝8米．

（1）求水平天臺DE的長度；

（2）若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD與BE的長度之比．（參考數(shù)據(jù)：

取sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）（長沙市中考試題）

9．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且c＝53．若關(guān)于x的方程

(53b)x22ax(53b)0有兩個相等的實根，又方程2x2(10sinA)x5sinA0

的兩實數(shù)根的平方和為6，求△ABC的面積．

（武漢市中考試題）

10．如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對角線EG和FH所夾的銳角為，且BEG

與CFH都是銳角．已知EGk,FHl,四邊形EFGH的面積為S．

2S

（1）求證：sin；

kl

（2）試用k,l,S來表示正方形ABCD的面積．

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4

11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝900，BC＝CD＝10，sinC．

5

(1)求梯形ABCD的面積；

（2）點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，點E從點B出發(fā)向點C運動，點F從點C出發(fā)向點D

運動．若兩點均以每秒1個單位的速度同時出發(fā)，連接EF，求△EFC面積的最大值，并說明此

時E，F(xiàn)的位置．

（濟寧市中考試題）

12．如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面．已知當(dāng)冬至中午12時太陽光線與水平面的

夾角為300，此時，求：

（1）如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？

（2）如果甲樓的影子剛好落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少？

（山東省競賽試題）

專題12三角函數(shù)

例1AC2－BC2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB2，∴AC2＝AB2＋BC2，得∠B＝90°，故

1992

原式＝()2.

1993

例2AD＝227m，BC＝146m.解法一:延長AD，BC交于點E，如圖1.在Rt△ABE

AB200

中，AB＝200m，∠A＝60°，∴BE＝AB·tanA＝2003(m)，AE＝＝＝

cos60°0.5

400(m).在Rt△CDE中，CD＝100m.∠E＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝

DE

200(m.∵cot∠E＝，DE＝CD·cot30°＝1003(m)，∴AD

CD

＝AE－DE＝400－1003≈227(m)，BC＝BE－CE＝2003－200≈146(m).解法二:如圖

2，過點D作矩形ABEF.設(shè)AD＝x.在Rt△AFD中，∠DAF＝90°－60°＝30°，∴DF＝

1131

AD＝x，AF＝x，在Rt△CED中，∠CDE＝30°，∴CE＝CD＝50(m)，DE＝

2222

31

CD＝503(m)，∵DE＋DF＝AB.∴503＋x＝200，解得x＝400－1003.∴AD＝400－

22

3

1003≈227(m).∵BC＋CE＝AF，∴BC＝AF－CE＝(400－1003)－50＝2003－200≈146(m).

2

103EB

例3⑴⑵提示：tan∠AEN＝tan∠EAB＝.

35AB

例4⑴設(shè)DE＝x(海里)，則客輪從A點出發(fā)到相遇之處E點的距離為2x海里.若2x<200，則x<100，

1

即DE<AB，而從D點出發(fā)，貨輪到相遇點E處的最短距離是100海里，所以x≥100，

2

即2x≥200，故相遇處E點應(yīng)在CB上，選B.⑵設(shè)貨輪從出發(fā)點D到兩船相遇處E共

航行了x海里，如圖，過D作DF⊥CB于F，連DE，則DE＝x，AB＋BE＝2x，DF＝

1006

100，EF＝300－2x，由x2＝1002＋(300－2x)2，得x＝200－(海里).

3

例5⑴p，q應(yīng)滿足以下條件：

2

△＝p－4q≥0

sinA＋sinB＝－pp<0

sinA·sinB＝q1

.由此推得0<q≤,⑵先設(shè)方程x2＋px＋q＝0的兩個根為α，β，若α，β滿足

0＜sinA＜12

2－＝

0＜sinB＜1p2q1

sin2A＋cos2A＝1

p2－4q≥0①

0＜α＜1，0＜β＜1②，則α，β必定是直角三角形的兩個銳角的正弦;若α，β不滿足條件①②③式中任何

22

α＋β＝1③

一個，則結(jié)論是否定的.

ab

例6設(shè)α為直角三角形一銳角，則sinα＝，cosα＝.∵0<sinα<1，0<cosα<1∴當(dāng)n≥3時，sinnα<sin2α，

cc

ab

cosnα<cos2α，于是sinnα＋cosnα<sin2α＋cos2α＝1，即()n＋()n<1，故an＋bn<cn.

cc

43－2111

A級1.92.51提示：用換元法.3.4.5.A6.B7.A8.B9.⑴在

36

DC

Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76.∵sin∠CED＝，∴DC＝DE·sin∠CED＝383(厘米).故垂直支架

DE

CD的長度為383厘米.

⑵設(shè)水箱半徑OD＝x厘米，則OC＝(383＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米.∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，

∴AO＝2OC，即150＋x＝2(383＋x），解得x＝150－763≈18.52≈18.5(厘米).故水箱半徑OD的長度為

18.5厘米.

1111－sinα1－cosα1－2sinαcosα

10.(－1)＋(－1)＋(－2)＝＋＋，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于

sinαcosαsinαcosαsinαcosαsinαcosα

1－sinα1－cosα(sinα－cosα)2111

是有1－sinα>0,1－cosα>0,∴＋＋>0，即＋＋>4.

sinαcosαsinαcosαsinαcosαsinαcosα

x21

11.過C作CE∥AB交BD于E，設(shè)AC＝x，則CB＝x21，CE＝BC·tan∠CBE＝.由△DCE

3

CDCE1x21

∽△DAB，得，即，化簡得（x＋2）（x3－2）＝0，解得x＝32，即AC＝32.

ADABx13

CDCDCD

12.P＝－22，q＝1，x1,2＝21.提示：tanA－tanB＝(BDAD).

ADBDADBD

B級

1171

1.m2.3.145cm24.提示：延長MN交BC的延長線于T，設(shè)MB的

6k3k43

中點為O，連接TO，則△BAM∽△TOB.5.B6.D7.D

8.（1）如圖，延長線段BE，與AC相交于點F，∴DE＝AF，∠BFC＝∠A＝37°.在Rt△BCF中，tan

BFBC4.8

∠BFC＝，∴CF＝6.4（米），∴DE＝AF＝AC－CF＝8－6.4＝1.6（米）.故水平

CFtan370.75

平臺DE的長度為1.6米.（2）延長線段DE，交BC于點G.∵DG∥AC，∴∠BGM＝∠C＝90°，∴

四