初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題24圖形的折疊與剪拼

專題24圖形的折疊與剪拼

閱讀與思考

圖形的折疊是指把某個圖形或部分沿某直線翻折，這條直線為對稱軸，在折疊過程中，線

短的長度、角的度數(shù)保持不變.

圖形的剪拼是指對某個圖形通過有限次的剪裁后重新接成另外一個新的幾何圖形，在剪拼

過程中，原圖形與新圖形的面積一般保持不變.

解答圖形的折疊與剪拼問題，要抓住折疊與剪拼過程中一些量的不變性，將計(jì)算、推理與

合情想象結(jié)合起來，常用到全等三角形、勾股定理、面積等知識與方法.

折疊問題的實(shí)質(zhì)是對稱問題，“遇到折疊用對稱”就是運(yùn)用對稱的性質(zhì)：

①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形全等；

②對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線.

例題與求解

【例1】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在D處，則重

疊部分△AFC的面積為＿＿＿＿＿.

（山東省競賽試題）

例1題圖例2題圖

解題思路：△AFC的高為BC，只需求出AF，注意到D＝900，AF＝FC

【例2】如圖，直線y2x6與x軸，y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，把△POQ沿PQ翻折，

點(diǎn)O落在R處，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是（）

2412

A.(,)B.（2,1）

55

C.（6,3）D.（7，3.5）

（江蘇省競賽試題）

解題思路：過點(diǎn)R作x軸，y軸的垂線，再利用相似三角形的性質(zhì)可得垂線段的長度即求

得點(diǎn)R的坐標(biāo).

解剪拼問題時(shí)先利用剪拼后的圖形所需關(guān)鍵線段的長度，然后，從剪拼前的圖形中尋找

這些長度進(jìn)行剪拼.

【例3】如圖，將邊長為12cm的正方形ABCD折疊，使得A點(diǎn)落在CD邊上點(diǎn)E處，然后

壓平折痕FG，若FG＝13cm，求CE長.

（北京市競賽試題）

解題思路：由折疊可得A與E關(guān)于FG對稱，則FG⊥AE，可證明FG＝AE，這是解本例

的關(guān)鍵.

【例4】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)．動點(diǎn)Q

2

從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動秒時(shí)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)

3

以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的

運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．

（1）用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；

（2）當(dāng)t1時(shí)，如圖1，將△OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求

點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)AC，將△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如圖2．問：PQ與AC能否平

行？PE與AC能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，說明理由．

y（紹興市中考試題）

y

DBCB

C

E

Q

Q

OPAxOPAx

圖

圖12

解題思路：對于（3），假設(shè)能，由比例線段求出t的值，關(guān)鍵是看相應(yīng)t的值是否在t的

取值范圍.

折紙、剪紙是最富于自然情趣而又形象生動的實(shí)驗(yàn)，同時(shí)說明了存在的事實(shí)是怎樣被發(fā)

現(xiàn)的，現(xiàn)象又是怎樣獲得證實(shí)的，在平面幾何的一些主要學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)發(fā)揮重要作用.

【例5】用10個邊長分別為3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一

個長方形.

（1）求這個長方形的長和寬；

（2）請畫出拼接圖.

（“華杯賽”決賽試題）

解題思路：運(yùn)用剪拼前后圖形面積不變求長方形的長和寬；利用長方形對邊相等的性質(zhì)

畫拼接圖.

【例6】將正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交

BC于F，邊AB折疊后與BC交于點(diǎn)G.

（1）如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM＝3：4：5；

（2）如果M為CD邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)AB＝2a，問△CMG的周長是否有與點(diǎn)M的位

置關(guān)系？若有關(guān)，請把△CMG的周長用含CM的長x的代數(shù)式表示；若無關(guān)，請說明理由．

解題思路：折痕EF兩旁部分圖形是關(guān)于EF成對稱的，對于（2），通過相似三角形性質(zhì)，

把△CMG的周長用相關(guān)代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是將幾何問題代數(shù)化.

BC

對于例6，如圖，當(dāng)M為CD邊上的中點(diǎn)，則有BG，即G為BC的三等分點(diǎn)，

3

這一結(jié)果是由日本筑波大學(xué)的生物學(xué)教授芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的，被稱為芳賀第一定理.

作深入思考，進(jìn)一步挖掘還能得到如下重要結(jié)論：

（1）無論怎樣折疊，若點(diǎn)M落在CD上，則MG＝DM＋BG；

（2）無論怎樣折疊，若點(diǎn)M落在CD上，連MA，GA，則∠MAG＝450.

能力訓(xùn)練

1、如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若將矩形折疊，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則折

痕EF的長為＿＿＿cm.

(寧夏回族自治區(qū)中考試題)

2、如圖，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，將此矩形折疊使B點(diǎn)落在AD邊上的中點(diǎn)E處，

則折痕FG的長為_________.

第1題圖第2題圖第3題圖

(淮陰市中考試題)

3、如圖是用12個全等的等腰梯形鑲嵌成的圖形，這個等腰梯形的上底與下底長的比是_____.

(陜西省中考試題)

4、如圖，EF為正方形紙ABCD的對折線，將∠A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G

點(diǎn)，則∠DKG＝_______度.

(武漢市競賽試題)

5、如圖，已知等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使

點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′，EB′分別交邊AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF＝800，則∠EGC的度數(shù)

為________.

第4題圖第5題圖第6題圖

(臺州市中考試題)

6、將一張長為70cm的長方形紙片ABCD沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與

CD間的距離為60cm，則原紙片的寬AB是______cm.

(廣東省中考試題)

7、如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落

在F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為()

A.3B.4C.5D.6

(宜賓市中考試題)

8、如圖，在△ABC中，∠C＝900，BC＝6，D，E分別在AB，AC上，將△ABC沿DE折疊，

使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為()

1

A.B、2C、3D、4

2

(河北省中考試題)

第7題圖第8題圖第9題圖

9、如圖，有一塊菱形的草地，要在其上面修筑兩條筆直的道路，道路把這塊草地分成面積相

等的四部分，如果道路的寬度可以忽略不計(jì)，請你設(shè)計(jì)三種不同的方案.

(廣西賽區(qū)選拔賽試題)

10、如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕(對角線)BD，再折疊使AD邊與對角線BD重合，

得折線DG，若AB＝2，BC＝1，求AG.

(安徽省中考試題)

11、如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知折痕

EC3

AE53cm.，求矩形ABCD的周長.

FC4

(廈門市中考試題)

12、如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿對角線BD對折，點(diǎn)C落

在點(diǎn)C′處的位置，BC′交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：AG＝CG；

(2)如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，求EM的長.

(深圳市中考試題)

B級

1、如圖，一張寬為3，長為4的矩形紙片ABCD，先沿對角線BD對折，點(diǎn)C落在C′的位

置，BC′交AD于G，再折疊一次使D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，則ME

的長為__________.

2、如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，現(xiàn)將A，C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)

折痕為EF，則重疊部分△AFE的面積為_________.

第1題圖第2題圖第3題圖

3、如圖，矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，若AD＝8，

AB＝4，則DE的長為________.

4、如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸上，y軸上，

連結(jié)AC，將矩形紙片OABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，若B(1，2)，則點(diǎn)D的橫

坐標(biāo)是______.

3

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線yx3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

4

點(diǎn)C(0，n)是y軸上一點(diǎn)，把坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點(diǎn)B剛好落在x軸上B′處，則點(diǎn)

C的坐標(biāo)是_________.

第4題圖第5題圖第6題圖

6、如圖，矩形紙片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一點(diǎn)E，ED＝2cm，AD上有一點(diǎn)

P，PD＝3cm，過P作PF⊥AD交BC于F，將紙片折疊，使P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與PF交

于Q點(diǎn)，則PQ的長是_____cm.

7、在三角形紙片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)A作直線l平行于BC，

折疊三角形紙片ABC，使直角頂點(diǎn)B落在直線上的T處，折痕為MN，當(dāng)點(diǎn)T在直線l上移動

時(shí)，折痕的端點(diǎn)M，N也隨之移動，若限定端點(diǎn)M，N分別在AB，BC邊上移動，則線段AT

長度的最大值與最小值之和為__________(計(jì)算結(jié)果不取近似值)

8、如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，

BG＝10.

（1）當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，如圖．求△EFG的面積；

（2）當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí)，如圖．證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF

的長.

9、如圖，已知三角形紙片ABC的面積為25，BC的長為10，∠B，∠C都為銳角，M是AB

邊上的一動點(diǎn)(M與A，B不重合)，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN＝x.

(1）用x表示△AMN的面積；

（2）△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM（邊AM、AN落在四邊形BCNM

所在的平面內(nèi)），設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的

面積為y．

①用含x的代數(shù)式表示y，并寫出x的取值范圍．

②當(dāng)x為何值時(shí)，重疊部分的面積y最大，最大為多少？

10、如圖：一正方形紙片，根據(jù)要求進(jìn)行多次分割，把它分割成若干個直角三角形．具體操作

過程如下：

第一次分割：將正方形紙片分成4個全等的直角三角形；第二次分割：將上次得到的直

角三角形中的一個再分成4個全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重復(fù)進(jìn)行．

（1）請你設(shè)計(jì)出兩種符合題意的分割方案（分割3次）；

（2）設(shè)正方形的邊長為a，請你通過對其中一種方案的操作和觀察，將第二、第三次分

割后所得的最小的直角三角形的面積S填入下表：

（3）在條件（2）下，請你猜想：分割所得的最小直角三角形面積S與分割次數(shù)n有什

么關(guān)系？用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來．

11、如圖1，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上)，

使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連結(jié)EP.

(1)如圖②，若M為AD邊的中點(diǎn)，

①△AEM的周長＝_________cm；

②求證：EP＝AE＋DP；

（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、D重合），△PDM的周長是

否發(fā)生變化？請說明理由.

12、如圖1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，設(shè)AP＝x，現(xiàn)將紙

片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF(點(diǎn)E，F(xiàn)為折痕與矩形邊的交點(diǎn))，再將紙片還原.

（1）當(dāng)x0時(shí)，折痕EF的長為________；

（2）寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x＝2時(shí)菱形的邊長；

（3）令EF2＝y(tǒng)，當(dāng)點(diǎn)E在AD上、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x

的取值范圍），當(dāng)y取最大值時(shí)，判斷△EAP與△PBF是否相似．若相似，求出x的值；若不

相似，請說明理由.

專題24圖形的折疊與剪拼

例110

QRREQE

例2A提示：作RE⊥y軸于E，RF⊥x軸于F，則RtQRE∽RtPRF，從而，

PRRFPF

△△

6x6y2412

設(shè)R(x，y)，又PR＝OP＝3，QR＝OQ＝6，于是，得x＝，y＝．

3yx355

例37提示：過F作FM⊥BC于M，證明FGM≌△ADE，則FG＝AE＝13，DE＝5

2

例4（1）OP＝6－t，OQ＝t＋（2）D(△1，3)

3

OPOA6t6147

（3）①PQ能與AC平行，若PQ∥AC，則，即＝．得t＝，而0≤t≤，

2

OQOCt393

3

14

∴t＝．

9

2

t

QFOQQF

②PE不能與AC垂直．若PE⊥AC，延長QE交OA于F，則，即3，

ACOC353

2222

QF＝5(t＋)．∴EF＝QF－QE＝QF－OQ＝5(t＋)－(t＋)＝(5－1)t＋(5－1)．

3333

PEOC6t37

又RtEPF∽RtOCA，∴，即，t≈3.45，而0≤t≤，∴t不存在．

2

EFOA(51)(t)63

△△3

例5（1）10個正方形的面積和：

32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．

因?yàn)樗闯傻拈L方形面積是3055．

長方形的寬顯然≥25，所以它的寬應(yīng)當(dāng)是47，長應(yīng)當(dāng)是5×13＝65．（2）注意

23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼圖.（圖略）

例6提示：（1）證明：設(shè)正方形邊長為a，DE為x，則DM=，EM=EA=a-x.在RtDEM中，

△

∠D=90°，∴，∴=，∴，，∴

,??-2.+,??-2.=,??-2.,?-2.+,,,?-2..-2.??=,5-8.?

DE：DM：EM=：：=3:4:5

,5-8.?

（2）設(shè)DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，可證明DEM∽△CMG.周長周

長

△,△???-△???

.=,??-??.=,?-?.

CMG的周長，在DEM中，由勾股定理得（）（），

△△,2???-2.=,?-2.+,2???-2.

化簡得4ay=x（4a-x）即.∴CMG的周長=（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）

△,4?-4???.?

=4a，為定值.

A級

1.2.3.1:24.75°5.80°6.10提示：長方形紙片折疊時(shí)，AB與CD間的距離縮

,65-6.

短了10cm。即為長方形紙片的寬.7.D8.B9.略10.AG=11.36cm提示：ABF∽

△

△FCE，設(shè)EC=3k，則FC=4k，EF=DE=5k，BF=6k，AF=10k.

12.（1）由ABG≌DG，得AG=G（2）設(shè)EM=xcm，AG=ycm,由（）

△,?-‘.,?-2.+,6-2.=,8?y

得y=，即G=cm，DG==cm，由DME≌得AG=，可得x=ME=cm.

-2.,7-4.△,?-‘.?

B級

1.2.3.54.5.（0，）6.提示：EP=，DG=，EG=，

,75-16.,cm-2.,13-4.,13-6.

HP=，GH=，又，得GQ=，從而QP=.

,,-13.-3.,13,-13.-12.

7.提示：如圖a可以看出AT的最小值為點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，

得AT長度的最小值，RtNTD中，ND=AB=6，CT-