初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題17 等腰三角形的判定

專題17等腰三角形的判定

閱讀與思考

在學習了等腰三角形性質與判定后，我們可以對等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納

總結．

1．等腰三角形的判定：

⑴從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；

⑵從角入手，證明一個三角形的兩個角相等．

2．證明線段相等的方法：

⑴當所證的兩條線段位于兩個三角形，通過全等三角形證明；

⑵當所證的兩條線段位于同一個三角形，通過等角對等邊證明；

⑶尋找某條線段，證明所證的兩條線段都與它相等．

善于發(fā)現(xiàn)、構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質為解題服務，是解幾何題的一個常用技

巧．常見的構造方法有：平分線+平行線、平分線+垂線、中線+垂線．如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，在△ABC中，AB=7，AC=11，點M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，MF∥

AD，則CF的長為____________．

（全國初中數(shù)學競賽試題）

解題思路：角平分線+平行線易構造等腰三角形，解題的關鍵是利用條件“中點M”．

A

F

BC

DM

【例2】如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，則AC與2AB之間的關系是（）

A．AC＞2ABB．AC＝2AB

C．AC≤2ABD．AC＜2AB

(山東省競賽試題)

解題思路：如何條件∠B=2∠C，如何得到2AB，這是解本題的關鍵．

A

BC

【例3】兩個全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點在

一條直線上，連結BD，取BD中點M，連結ME，MC，試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

（山東省中考試題）

解題思路：從△ADE≌△BAC出發(fā)，先確定△ADB的形狀，為判斷△EMC的形狀奠定基礎．

B

M

D

EAC

【例4】如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交

AC于F，求證：AF=EF．

（天津市競賽試題）

解題思路：只需證明∠FAE=∠AEF，利用中線倍長，構造全等三角形、等腰三角形．

A

F

E

B

DC

【例5】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在邊AB上取點D，使AD=BC，求∠BDC度

數(shù)．

（“祖沖之杯”競賽試題）

解題思路：由條件知底角為300，這些角并不是特殊角，但它們的差卻為600，600使我們聯(lián)想到等

邊三角形，由此找到切入口．

如圖1，以BC為邊在△ABC內作等邊△BCO；如圖②，以AC為邊作等邊△ACE．

AA

A

DD

DE

O

BC

B

B圖1C

C圖2

能力訓練

A級

1．已知△ABC為等腰三角形，由頂點A所引BC邊的高線恰等于BC邊長的一半，則

∠BAC=__________．

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以點C為中點旋轉到△A′B′C的位置，頂

點B在斜邊A′B′上，A′C與AB相交于D，則∠BDC=_________．

A′

A9

A5

D9

D

BF

1

BEC

B′C

(第2題)(第3題)(第4題)

3．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，F(xiàn)D⊥AB于D，則AD=_______．

（天津市競賽試題）

4．如圖，一個六邊形的六個內角都是1200，其連續(xù)四邊的長依次是1cm，9cm，9cm，5cm，

那么這個六邊形的周長是____________cm．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

5．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中

等腰三角形共有（）

A．3個B．4個

C．5個D．6個

4442244422

6．若△ABC的三邊長是a，b，c，且滿足abcbc，bacac，

c4a4b4a2b2，則△ABC（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形

（“希望杯”邀請賽試題）

7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）

A．300B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500

（“希望杯”邀請賽試題）

8．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰

三角形，則符合條件的P點有（）

A．2個B．4個C．6個D．8個

（江蘇省競賽試題）

A

C

AGD

E

CAB

BBDECF

第5題圖第8題圖第9題圖

9．如圖在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D為BC中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC

交DE的延長線于點F，連接CF交AD于G．

⑴求證：AD⊥CF；

⑵連結AF，度判斷△ACF的形狀，并說明理由．

10．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD．

（天津市競賽試題）

A

B

CD

11．如圖，已知△ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點，選擇一點D，使得△CDE是等邊三

角形，如果M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，求證：△CMN是等邊三角形．

（江蘇省競賽試題）

D

M

B

N

ECA

12．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交

CB于點F．

CC

FF

EEE′

BAB

ADDA′D′

圖1圖2

⑴求證：CE=CF；

⑵將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使點E′落在BC邊上，其他條件不變，如

圖2所示，試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論．

（山西省中考試題）

B級

1．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠B：∠C的值=__________．

AA

B

BDCDEC

(第1題)(第2題)

2．如圖，△ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，則∠

BAC的度數(shù)是____________．

3．在等邊△ABC所在平面內求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質

的點P有_________個．

4．如圖，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別

交AD、CF于Q、S，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

D

A

FN

PE

SEA2

QC

BAM

DCA1A3

AB

(第4題)第題

第5題(6)

11

5．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D=（）

22

A．300B．450C．600D．67.50

（“希望杯”競賽試題）

0

6．如圖，∠MAN=16，A1點在AM上，在AN上取一點A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一點A3，

使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作為止，那么作出的最后一點是（）

A．A5B．A6C．A7D．A8

7．若P為△ABC所在平面內一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，則點P叫作△ABC的費爾馬點，

如圖1．

AAB′

P

BCBC

圖1圖2

⑴若點P為銳角△ABC的費爾馬點，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，則PB的值為_____．

⑵如圖2，在銳角△ABC外側作等邊△ACB′，連結BB′．求證：BB′過△ABC的費爾馬點P，且

BB′=PA+PB+PC．

（湖州市中考試題）

8．如圖，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別是∠

BAC、∠ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

A

Q

C

BP

9．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點，過M作ME∥AD交BA延長線

1

于E，交AC于F，求證：BE=CF=(AB+AC)．

2

（重慶市競賽試題）

E

A

F

B

DMC

10．在等邊△ABC的邊BC上任取一點D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分線于E，那么△ADE

是什么三角形？證明你的結論．

（《學習報》公開賽試題）

1

11．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l：yxm與x軸、y軸的正半軸分

2

別相交于點A、B，過點C(－4，－4)作平行于y軸的直線交AB于點D，CD=10．

⑴求直線l的解析式；

⑵求證：△ABC是等腰直角三角形；

⑶將直線l沿y軸負方向平移，當平移恰當?shù)木嚯x時，直線與x，y軸分別相交于點A′、B′，在直

線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

（寧波市江東區(qū)模擬題）

y