初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題10坐標(biāo)平面上的直線

專題10坐標(biāo)平面上的直線

閱讀與思考

我們知道，任意一個(gè)一次函數(shù)的圖象都是平面上的一條直線，那么，是不是平面上的任意一條直線

都是某個(gè)一次函數(shù)的圖象呢？請讀者思考.

一次函數(shù)、二元一次方程、直線三者有著緊密的聯(lián)系，我們既可以用函數(shù)的方法來處理方程的問題，

也可以從方程的觀點(diǎn)來討論函數(shù)；既可以用坐標(biāo)平面上的直線來表示一次函數(shù)與二元一次方程，也可以

用方程和函數(shù)的思想來研究直線的性質(zhì)，以及直線與直線之間的關(guān)系.

數(shù)形結(jié)合是解函數(shù)問題的重要思想方法，它包括兩方面內(nèi)容：

（1）由數(shù)定形

即通過函數(shù)解析式的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置.

（2）由形導(dǎo)數(shù)

即從給定的函數(shù)圖象上獲得解的信息，如圖象的大致位置；確定解析式中系數(shù)符號；圖象上的點(diǎn)的

坐標(biāo)等.

一次函數(shù)的圖象是一條直線，對于實(shí)際問題，由于自變量的取值范圍受實(shí)際意義的限制，因此，作

出的函數(shù)圖象是常見直線的一部分，相應(yīng)函數(shù)值就有最大值或最小值.

一次函數(shù)是表示日常生活中勻速變化的兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是最基本的函數(shù)，有著廣泛

的應(yīng)用價(jià)值.運(yùn)用一次函數(shù)解題時(shí)應(yīng)注意：

1.一次函數(shù)的圖象是一條直線.

2.函數(shù)解析式y(tǒng)kxb中的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置及y隨x變化的性質(zhì).

(k0,b0)(k0,b0)(k0,b0)(k0,b0)

3.確定一次函數(shù)解析式，通常需要兩個(gè)獨(dú)立的條件.

4.一次函數(shù)與二元一次方程有著密切的聯(lián)系，任意一個(gè)一次函數(shù)ykxb都可以看做是一個(gè)關(guān)于

x，y的二元一次方程kxyb0；反過來，任意一個(gè)二元一次方程axbyc0，當(dāng)b0時(shí)，可化

ac

為形如yx的函數(shù)形式.

bb

例題與求解

【例1】（1）如圖，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，直線yxb(b0)與y軸交于點(diǎn)B，連接AB，75，

則b.

（蘇州市中考試題）

（2）一次函數(shù)yaxb的圖象l1關(guān)于直線yx軸對稱的圖象l2的函數(shù)解析式是.

（太原市競賽試題）

b

解題思路：對于（1），先求出相應(yīng)函數(shù)解析式；對于（2），l1與x軸、y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(,0)，

a

B(0,b)，求出A，B兩點(diǎn)分別關(guān)于直線yx對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，這是解題的關(guān)鍵.

abbcca

【例2】已知abc0，并且p，則直線ypxp一定通過（）

cab

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：求出p的值，大致畫出函數(shù)圖象位置，從而作出判斷.

【例3】如圖，△AOB為正三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，過點(diǎn)C(2,0)作直線l交AO于D，交AB

于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線l的函數(shù)解析式.

（太原市競賽試題）

解題思路：

由S△ADES△DCO得S△AOBS△CBE，設(shè)法求出E點(diǎn)的坐標(biāo).

【例4】某科技公司在甲地、乙地分別生產(chǎn)了17臺、15臺同一種型號的檢測設(shè)備，全部運(yùn)往大運(yùn)會(huì)

賽場A，B兩館，其中運(yùn)往A館18臺、運(yùn)往B館14臺.運(yùn)往A，B兩館的運(yùn)費(fèi)如下表：

出發(fā)地

甲地乙地

目的地

A館800元/臺700元/臺

B館500元/臺600元/臺

（1）設(shè)甲地運(yùn)往的設(shè)備有x臺，請?zhí)顚懴卤?，并求出總運(yùn)費(fèi)y（元）與x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；

出發(fā)地

甲地乙地

目的地

A館x（臺）（臺）

B館（臺）（臺）

（2）要使總運(yùn)費(fèi)不高于20200元，請你幫助該公司設(shè)計(jì)調(diào)配方案，并寫出有哪幾種方案；

（3）當(dāng)x為多少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，最小值是多少？

（深圳市中考試題）

解題思路：將設(shè)計(jì)方案轉(zhuǎn)化為求不等式組的整數(shù)解，為此需求出自變量的取值范圍.

當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)時(shí)，就與直角三角形聯(lián)系在一起.求兩交點(diǎn)坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條

件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ).

當(dāng)自變量受限制時(shí)，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點(diǎn).當(dāng)一次函數(shù)自變量取值受限制時(shí)，

存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了.

【例5】已知長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為(8,6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC

上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PCm，已知點(diǎn)D在第一象限且是直線y2x6上的一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角

形.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直線y2x6向右平移6個(gè)單位后，在該直線上是否存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形？

若存在，請求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（浙江省中考試題）

解題思路：構(gòu)造全等三角形，注重坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化，并由動(dòng)點(diǎn)討論，這是解本題的關(guān)鍵.

例5顛覆了傳統(tǒng)意義上的動(dòng)點(diǎn)問題與存在性問題，探索過程是嘗試畫圖，找到可能存在的點(diǎn)，再計(jì)

算驗(yàn)證.綜合了坐標(biāo)、方程、函數(shù)、矩形、特殊三角形、全等三角形等豐富的知識，滲透了分類討論、

數(shù)形結(jié)合等思想方法.

【例6】如圖1是甲、乙兩個(gè)圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱體鐵塊立放其中（圓柱形

鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現(xiàn)將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度y（厘

米）與注水時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖2所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

（1）圖2中折線ABC表示槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段DE表示

槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系（以上兩空選塡“甲”或“乙”），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義

是；

（2）注水多長時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度相同？

（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計(jì)），求乙槽中鐵塊的體積；

（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計(jì)）．（直接寫出結(jié)果）

（揚(yáng)州市中考試題）

解題思路：觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應(yīng)是先快后慢，圖象的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”即對應(yīng)容器的“水

面剛好漫過鐵塊”這個(gè)時(shí)刻，由此確定，圖象與器具的對應(yīng)關(guān)系.對于（3）、（4），根據(jù)注水時(shí)間與注水

速度求解，而解題的關(guān)鍵是挖掘出隱含信息.

例6是圖象信息題.函數(shù)圖象以直觀、形象的特征融合了顯性與隱性的信息，解題的關(guān)鍵是獲取數(shù)

據(jù)、數(shù)量關(guān)系信息，并能整合信息，還原到問題的情境之中.

能力訓(xùn)練

A級

abcabcabc

1.已知k，且m5n296n，則關(guān)于自變量x的一次函數(shù)

cba

ykxmn的圖象一定經(jīng)過第象限.

（湖北省黃岡市競賽試題）

2.某地長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需要購買行李票，

其圖象如圖所示，旅客最多可免費(fèi)攜帶行李千克.

（南京市中考試題）

3.如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則△AOC的面積為.

（第2題）（第3題）（第4題）

1

4.如圖，直線yx2與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線BC與直線AB垂直，垂足為B，則

2

直線BC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為.

5.某市為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費(fèi)：（1）每戶每月用水量不超過20m3，則每立方米

水費(fèi)1.2元；（2）每戶每月用水量超過20m3，則超過的部分每立方米水費(fèi)2元.設(shè)某戶一個(gè)月所交水費(fèi)

為y（元），用水量為x（m3），則y與x的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（）

ABCD

（荊州市中考試題）

6.下列圖象中，不可能是關(guān)于x的一次函數(shù)ymx(m3)的圖象是（）

（北京市中考試題）

7.如圖，點(diǎn)A，B，C在一次函數(shù)y2xm的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為1、1、2，分別過

這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）

3

A.1B.3C.3(m1)D.(m2)

2

（寧波市中考試題）

1

8.點(diǎn)A(4,0)，B(2,0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是yx2的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件

2

的直角△ABC可以畫出（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（北京市競賽試題）

9.隨著我國人口增長速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量有所減少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地

區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢.試用你學(xué)過的函數(shù)知識解決下列問題：

x（年）200020012002…

入學(xué)兒童人數(shù)y（人）252023302140…

（1）求入學(xué)兒童人數(shù)y（人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用所求函數(shù)關(guān)系式，預(yù)測該地區(qū)從哪一年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過1000人.

（沈陽市中考試題）

10.已知直線x2yk6和x3y4k1，若它們的交點(diǎn)在第四象限.

（1）求k的取值范圍；

（2）若k為非整數(shù)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)P在直線x2yk6上，求使△PAO為等腰三角

形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（大連市中考試題）

11.如圖，已知直線yx2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，另一直線ykxb(k0)經(jīng)過點(diǎn)

C(1,0)，且把△AOB分成兩部分.

（1）若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值；

（2）若△AOB被分成的兩部分的面積比為1:5，求k和b的值.

（廈門市中考試題）

12.某車站客流量大，旅客往往需長時(shí)間排隊(duì)等候購票.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每天開始售票時(shí)，約有

300名旅客排隊(duì)等候購票，同時(shí)有新的旅客不斷進(jìn)入售票廳排隊(duì)等候購票，新增購票人數(shù)y（人）與售

票時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖1所示；每個(gè)售票窗口票數(shù)y（人）與售票時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖

2所示.某天售票廳排隊(duì)等候購票的人數(shù)y（人）與售票時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖3所示.已知售票

的前a分鐘開放了兩個(gè)售票窗口，求：

圖1圖2圖3

（1）a的值；

（2）售票到第60分鐘時(shí)，售票廳排隊(duì)等候購票的旅客人數(shù)；

（3）該車站在學(xué)習(xí)實(shí)踐科學(xué)發(fā)展觀的活動(dòng)中，本著“以人為本，方便旅客”的宗旨，決定增設(shè)售票窗

口.若要在開始售票后半小時(shí)內(nèi)讓所有排隊(duì)購票的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客能隨到隨購，

請你幫助計(jì)算，至少需同時(shí)開放幾個(gè)售票窗口？

（咸寧市中考試題）

13.2011年4月28日，以“天人長安，創(chuàng)意自然——城市與自然和諧共生”為主題的世界園藝博覽

會(huì)在西安隆重開園.這次園藝會(huì)的門票分為個(gè)人票、團(tuán)體票兩大類，其中個(gè)人票設(shè)置有三種：

票的種類夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）

單價(jià)（元/張）60100150

某社區(qū)居委會(huì)為獎(jiǎng)勵(lì)“和諧家庭”，欲購買個(gè)人票100張，其中B種票的張數(shù)是A種票張數(shù)的3倍還

多8張，設(shè)需購A種票張數(shù)為x，C種票張數(shù)為y.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)購票總費(fèi)用為w元，求出w（元）與x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若每種票至少購買1張，其中購買A種票不少于20張，則有幾種購票方案？并求出購票總費(fèi)

用最少時(shí)，購買A，B，C三種票的張數(shù).

（陜西省中考試題）

B級

1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3,0)，B(2,7)，P為線段OC上一點(diǎn)，若過B，

兩點(diǎn)的直線為，過，兩點(diǎn)的直線為，且⊥，則

Py1k1xb1APy2k2xb2BPAP

k1k2(k1k2).

（紹興市競賽試題）

2.設(shè)直線kx(k1)y1（k是自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為S1，S2，…，S2000，則

S1S2S2000.（湖北省選拔賽試題）

（第1題）（第3題）（第4題）

3.如圖，直線y2x10與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB沿AB翻折，點(diǎn)O落在C

處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.（黃岡市競賽試題）

1

4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15,6)，直線yxb恰好將矩形OABC

3

分成面積相等的兩部分，那么b.（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

5.在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)P(1,1)和Q(3,3)，M是x軸上任意點(diǎn)，則PMQM的長度的最小值

是（）

A.25B.4C.42D.3

6.某航空公司規(guī)定，旅客乘機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量x（kg）與其運(yùn)費(fèi)y（元）由如圖所示的一次函數(shù)

圖象確定，那么旅客可攜帶的免費(fèi)行李的最大質(zhì)量為（）

A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg

（成都市中考試題）

595

7.一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線yx平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過點(diǎn)

44

(1,25)，則在線段AB上（包括端點(diǎn)A、B），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

8.設(shè)ba，將一次函數(shù)ybxa與yaxb的圖象畫在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則有一組a，b

的取值，使得下列4幅圖中正確的是（）

ABCD

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

9.求證：不論k為何值，一次函數(shù)(2k1)x(k3)y(k11)0的圖象恒過一定點(diǎn).

（江蘇省競賽試題）

10.已知四條直線ymx3，y1，y3和x1所圍成的四邊形面積是12，求m的值.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

11.在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)ykxb2(k0)的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，

，且使得

BS△OABOAOB3.

（1）用b表示k；

（2）求△AOB面積的最小值.

（浙江省競賽試題）

12.如圖，一次函數(shù)y3x3的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直角邊在

第一象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC=30°.

（1）求△ABC的面積；

3

（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(m,)，試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積，并求出當(dāng)

2

△ABP與△ABC的面積相等時(shí)m的值；

（3）是否存在使△QAB為等腰三角形并且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)Q？若存在，寫出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

（“希望杯”邀請賽試題）

專題10坐標(biāo)平面上的直線

53

例1（1）提示：BAO30

3

b

(2)兩對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0，,Bb，0.

1a1

1b

這兩點(diǎn)的直線解析式為yx.

aa

例2B

例由得，，而，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則

3SADE=SDCOSAOB=SCBESAOB=3Ex0,y0

3

S=2y3,y,又直線AB的解析式為y3x2,

CBE002

33

而E在AB上，得x，由E,C兩點(diǎn)可得直線，l的解析式為yx2.

027

例4(1)如下表所示:

出甲地乙地

發(fā)

目

的地

地

A館x（臺）18x（臺）

B館17x（臺）x3（臺）

依題意得：y＝800x＋700（18－x）＋500（17一x）＋600(x－3)，

即y＝200x＋19300(3≤x≤17).

(2)要使運(yùn)費(fèi)不高于20200元，則200x＋19300≤20200，解得x≤4.5，∵3≤x≤17，且x只能取正整數(shù)，

∴x＝3或4．∴該公司的調(diào)配方案共有2種．

(3)當(dāng)x＝3時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小為19900元．

例5(1)如圖a，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，PF⊥y軸于F，則△ADE≌△PAD，AE＝PF＝8，OE＝14.由14

＝2x＋6得x＝4．∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(4，14).

(2)直線y＝2x＋6向右平移6個(gè)單位后的解析式為y＝2x－6．

如圖b，當(dāng)∠ADP＝90°，AD＝PD，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)．

如圖c，當(dāng)∠APD＝90°，AP＝PD時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(8，m)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（14一m，m＋8），

142838

由m＋8＝2(14－m)一6，得m＝，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

333

2022

如圖d，當(dāng)∠ADP＝90°，AD＝DP時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

33

28382022

綜上，符合條件的D點(diǎn)存在，坐標(biāo)分別為(4，2)，（，），（，）．

3333

例6(1)乙；甲；鐵塊的高度為14cm.

y＝一2x＋12x＝2

(2)直線DE，AB的解析式分別為y＝一2x＋12，y＝3x十2，由，得.

y＝3x十2y＝8

即注水2分鐘時(shí)，甲、乙兩水槽中水的深度相同．

(3)設(shè)乙槽底面積與鐵塊底面積之差為S，則(14－2)S＝2×36×(19－14)，解得S＝30.∴鐵塊底面積為

36－30＝6(平方厘米).∴鐵塊體積為6×14＝84（立方厘米）.

(4)∵鐵塊體積為112立方厘米，∴鐵塊底面積為112÷14＝8（平方厘米）．

12S

設(shè)甲槽底面積為S平方厘米，則注水速度為＝2S（立方厘米／分）．

6

2S×(6-4)2S×4

由題意得一=8.解得S=60．∴甲槽底面積為60平方厘米．

19-1414-2

A級

1．一、二；2.30；3.4；4．y＝－2x－8；

5．C6．C

7．B提示：陰影部分為三個(gè)直角三角形，與x軸平行的邊長都為1，高都為2.

8．D

9．(1)y＝－190x＋382520提示：描點(diǎn)發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)近似在一條直線上；

(2)從2008年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過1000人．

51863

10．(1)一4＜k＜1；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，一），（2，一2），（，一）．提示：直線y＝一一3，分

2552

類討論.

11．(1)k＝－2，b＝2

22

(2)k＝一，b＝或k＝2,b＝－2．

33

12.(1)a＝30；(2)第30～78分鐘時(shí)，售票廳排隊(duì)等候購票的人數(shù)y與售票時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝

－5x＋390，當(dāng)x＝60時(shí)，y＝90.(3)設(shè)至少同時(shí)開放n個(gè)售票窗口，由300＋30×4≤30×3×n

14

得n≥，即至少同時(shí)開放5個(gè)售票窗口．

3

13.(1)y＝－4x＋92;(2)w＝－240x＋14600(3)共有3種購票方案，當(dāng)A種票購買22張時(shí)，購票的

總費(fèi)用最少．

B級

83

1．一或提示：P(0，1)或(0，6)

32

1000

2．

2001

3．(8，4)

1

4．

2

5．C

6．A

7．B

8．B

9．證明略

10．四條直線圍成的四邊形為直角梯形．

26126

(1)當(dāng)m＞0，交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，一1），（，3），由S＝[(