初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題25 圖形面積的計(jì)算

專題25圖形面積的計(jì)算

閱讀與思考

計(jì)算圖形的面積是平面幾何中常見(jiàn)的基本問(wèn)題之一，它包括兩種主要類型：

1.常見(jiàn)圖形面積的計(jì)算

由于一些常見(jiàn)圖形有計(jì)算面積的公式，所以，常見(jiàn)圖形面積一般用公式來(lái)解.

2.非常規(guī)圖形面積的計(jì)算

非常規(guī)圖形面積的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)圖形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將非常規(guī)圖形面積用常規(guī)

圖形面積的和或差來(lái)表示.

計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識(shí)：

（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

（2）等底的兩個(gè)三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)高的比.

（3）等高的兩個(gè)三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底的比.

（4）等腰三角形底邊上的高平分這個(gè)三角形的面積.

（5）三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積.

（6）平行四邊形的對(duì)角線平分它的面積.

熟悉如下基本圖形：

例題與求解

【例1】如圖，在直角△ABC的兩直角邊AC，BC上分別作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，

連接GW，若AC=14，BC=28，則S△AGW=______________．

(2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：△AGW的面積可以看做△AGF和△GWF的面積之差.

【例2】如圖，已知△ABC中的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且

BC=4CF.四邊形BDCE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為()

A．3B．4C．5D．6

（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽廣東試題）

解題思路：設(shè)△ABC底邊BC上的高為h.本例關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)變形找出h和DE之間的關(guān)系．

【例3】如圖，平行四邊形ABCD的面積為30cm2，E為AD邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EB與DC交于F

點(diǎn)，已知三角形FBC的面積比三角形DEF的面積大9cm2，AD=5cm，求DE長(zhǎng).

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：由面積求相關(guān)線段，是一個(gè)逆向思維的過(guò)程，解題的關(guān)鍵是把條件中圖形面積用DE及

其它線段表示．

【例4】如圖，四邊形ABCD被AC與DB分成甲、乙、丙、丁4個(gè)三角形，已知BE=80cm，CE=60

cm，DE=40cm，AE=30cm，問(wèn)：丙、丁兩個(gè)三角形面積之和是甲、乙兩個(gè)三角形面積之和的多少倍？

（“華羅庚杯”競(jìng)賽決賽試題）

解題思路：甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形面積可通過(guò)線段的比而建立聯(lián)系，找出這種聯(lián)系是解本例的

突破口.

【例5】如圖，△ABC的面積為1，D，E為BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)，G為CA的三等分點(diǎn)，求四邊形

PECF的面積.

解題思路：連CP，設(shè)S△PFC=x，S△PEC=y，建立x，y的二元一次方程組.

【例6】如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段

DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面積與平行四邊形ABCD的面積的比值．

（2013年”希望杯“數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：連接EF，DF，AC，PB，設(shè)S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面積.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O.過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于E，F(xiàn)，

則陰影部分面積是______.

（海南省競(jìng)賽試題）

2.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，若△BDF的面積為6平方厘米，

則長(zhǎng)方形ABCD的面積是_____________平方厘米.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以AB，BC，CD，DA分別為直徑畫半圓，則這四個(gè)半圓弧

所圍成的陰影部分的面積是____________.

（安徽省中考試題）

4.如圖，已知AB，CD分別為梯形ABCD的上底、下底，陰影部分總面積為5平方厘米，△AOB

的面積是0.625平方厘米，則梯形ABCD的面積是_________平方厘米.

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

1

5.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且CF=BC，則長(zhǎng)方形ABCD

3

的面積是陰影部分面積的()倍.

A.2B.3C.4D.5

6.如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形，兩個(gè)陰影圖形都是一對(duì)長(zhǎng)為c的底邊在長(zhǎng)方形對(duì)邊上的

平行四邊形，則長(zhǎng)方形中未涂陰影部分的面積為().

A.ab(ab)cB.ab(ab)cC.(ac)(bc)D.(ac)(bc)

7．如圖，線段AB=CD=10cm，BC和DA是弧長(zhǎng)與半徑都相等的圓弧，曲邊三角形BCD的面積是

1

以D為圓心、DC為半徑的圓面積的，則陰影部分的面積是()．

4

A．25πB.100C.50πD.200

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

8．如圖，一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條線段AB、CD中分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，如果其中圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面

積分別為8，6，5，那么陰影部分的面積為()．

971015

A.B.C.D．

2238

9．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的任一點(diǎn)，△ABG，△DCH的面積分別為

15和20，求陰影部分的面積.

（五城市聯(lián)賽試題）

10.如圖，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，已

知正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4，求△DEK的面積．

（廣西壯族自治區(qū)省南寧市中考試題）

B級(jí)

1.如果圖中4個(gè)圓的半徑都為a，那么陰影部分的面積為_(kāi)____________.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

2.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的一點(diǎn)，若三角形ABE的面積是長(zhǎng)方

12

形ABCD面積的，三角形ADF的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的，三角形CEF的面積為4cm2，那么

35

長(zhǎng)方形ABCD的面積是_________cm2.

（北京市“迎春杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.如圖，邊長(zhǎng)為3厘米與5厘米的兩個(gè)正方形并排放在一起，在大正方形中畫一段以它的一個(gè)頂點(diǎn)

為圓心，邊長(zhǎng)為半徑的圓弧，則陰影部分的面積為_(kāi)__________________.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

4.如圖，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7，4，6，則陰影部分的面積是_____.

(“五羊杯”競(jìng)賽試題）

1

5.如圖，把等邊三角形每邊三等分，使其向外長(zhǎng)出一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)的的小等邊三角形，稱為一次

3

“生長(zhǎng)”，在得到的多邊上類似“生長(zhǎng)”，一共“生長(zhǎng)”三次后，得到的多邊形的邊數(shù)=________，面積

是原三角形面積的______倍.

(“五羊杯”競(jìng)賽試題）

11

6.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一條直線上，則陰影部分

23

的面積等于().

A.8B.12C.16D．20

7.如圖，邊長(zhǎng)分別為8cm和6cm的兩個(gè)正方形，ABCD與BEFG并排放在一起，連接EG并延長(zhǎng)交

AC于K，則△AKE的面積是().

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2

（2013年“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

8.在一個(gè)由8×8個(gè)方格組成的邊長(zhǎng)為8的正方形棋盤內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓，若把圓經(jīng)過(guò)的所有

S1

小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S1，把圓周經(jīng)過(guò)的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2，則的

S2

整數(shù)部分是().

A.0