初中數學自主招生難度講義-7年級專題06有理數的計算（解析版）

專題06有理數的計算

閱讀與思考

在小學我們已經學會根據四則運算法則對整數和分數進行計算，當引進負數概念后，數

集擴大到了有理數范圍，我們又學習了有理數的計算，有理數的計算與算術數的計算有很大

的不同：首先，有理數計算每一步要確定符號；其次，代數與算術不同的是“字母代數”，

所以有理數的計算很多是字母運算，也就是通常說的符號演算．

數學競賽中的計算通常與推理相結合，這不但要求我們能正確地算出結果，而且要善于

觀察問題的結構特點，將推理與計算相結合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速度．有理

數的計算常用的技巧與方法有：

1．利用運算律．

2．以符代數．

3．裂項相消．

4．分解相約．

5．巧用公式等．

例題與求解

【例1】已知m，n互為相反數，a，b互為負倒數，x的絕對值等于3，則

x3-(1+m+n+ab)x2+(m+n)x2001+(ab)2002的值等于______________．

（湖北省黃岡市競賽試題）

解題思路：利用互為相反數、互為倒數的兩個有理數的特征計算．

【例2】已知整數a,b,c,d滿足abcd25，且abcd，那么abcd等于

（）

A．0B．10C．2D．12

（江蘇省競賽試題）

解題思路：解題的關鍵是把25表示成4個不同的整數的積的形式．

【例3】計算：

111

（1）1;

12123123100

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

（2）772737471998；

（江蘇省泰州市奧校競賽試題）

151191411711

（3）123456789．

2612203042567290

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：對于（1），若先計算每個分母值，則掩蓋問題的實質，不妨先從考察一般情

形入手；對于（2），由于相鄰的后一項與前一項的比都是7，考慮用字母表示和式；（3）中

裂項相消，簡化計算．

111111

【例4】m,n都是正整數，并且A(1)(1)(1)(1)(1)(1)，

2233mm

111111

B(1)(1)(1)(1)(1)(1)．

2233nn

m1n1

(1)證明：A，B；

2m2n

1

(2)若AB，求m和n的值．

26

（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）

解題思路：（1）對題中已知式子進行變形．（2）把（1）中證明得到的式子代入，再具

體分析求解．

11111

【例5】在數學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），

22223242n

設計了如圖①，所示的幾何圖形．

11111

（1）請你用這個幾何圖形求的值．

22223242n

11111

（2）請你用圖②，在設計一個能求的值的幾何圖形．

22223242n

（遼寧省大連市中考試題）

解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構造圖形的關鍵．

SSS

【例6】記，令T12n稱T為a,a,a這列數的“理想數”，已知

nnn12n

的“理想數”為2004．求的“理想數”．

a1,a2,a5008,a1,a2,a500

（安徽省中考試題）

1

解題思路：根據題意可以理解為S為各項和，T為各項和的和乘以．

nnn

能力訓練

A級

1．若x,y互為相反數，m,n互為倒數．a=1，a2(xy)2011(mn)2012的值為

____________．

（湖北省武漢市調考試題）

1(1)32

2．若M(1)22，則M=___________．

2(1)1

（“希望杯”邀請賽試題）

1111

3．計算：（1）＝________________；

35577919971999

4341

（2）0.258226＝__________________．

32

1111

4．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，，依次

2345

1

類推，直至最后減去余下的，最后的答案是_______________．

1997

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

5．右圖是一個由六個正方體組合而成的幾何體，每個小正方體的六個面上都分別寫著－1，

2，3，－4，5，6六個數字，那么圖中所有看不見的面上的數字和是___________．

（湖北省仙桃市中考試題）

bc-ac

6．如果有理數a,b,c滿足關系式ab0c，那么代數式的值（）

ab2c3

A．必為正數B．必為負數C．可正可負D．可能為0

（江蘇省競賽試題）

x-yy-zz-x

7．已知有理數x,y,z兩兩不相等，則，，中負數的個數是（）

y-zz-xx-y

A．1個B．2個C．3個D．0個或2個

（重慶市競賽試題）

1898a2+99b2

8．若a與(-b)互為相反數，則＝（）

1997ab

A．0B．1C．－1D．1997

（重慶市競賽試題）

9．如果(a+b)2001=-1，(a-b)2002=1，則a2003+b2003的值是（）

A．2B．1C．0D．-1

（“希望杯”邀請賽試題）

10．若a,b,c,d是互為不相等的整數，且abcd=9，則a+b+c+d等于（）

A．0B．4C．8D．無法確定

11

11．把1，3.7，6，2.9，4.6分別填在圖中五個Ο內，再在每個□中填上和它相連的三

52

個Ο中的數的平均數，再把三個□中的平均數填在△中．找出一種填法，使△中的數盡可能

小，并求這個數．

（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）

abcabc

12．已知a,b,c都不等于零，且+++的最大值為m，最小值為n，求

abcabc

1998(m+n+1)的值．

B級

1131351397

1．計算：+(+)+(++)+???+(++???+)＝________________．

244666989898

（“五羊杯”競賽試題）

2．計算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210＝________________．

（“希望杯”邀請賽試題）

1×2×4+2×4×8+???+n?2n?4n

3．計算：()2＝____________________．

1×3×9+2×6×18+???+n?3n?9n

4．據美國詹姆斯·馬丁的測算，在近十年，人類的知識總量已達到每三年翻一翻，到2020

年甚至要達每73翻番空前速度，因此，基礎教育任務已不是“教會一切人一切知識，而是

讓一切人學會學習”．

已知2000年底，人類知識總量a，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009

年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．

（1）2009年底人類知識總量是：__________________；

（2）2019年底人類知識總量是：__________________；

（3）2020年按365天計算，2020年底類知識總量會是____________________．

（北京市順義區(qū)中考試題）

5．你能比較20012002和20022001的大小嗎？

為了解決這個問題，我們首先寫出它的一般形式，即比較nn+1與(n+1)n的大?。╪是

自然數），然后我們從分析n=1，n=2，n=3…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經歸納、猜想得出結論

（1）通過計算，比較下列各組中兩數的大?。海ㄔ跈M線上填寫“＞”“=”“＜”）

①12__21，②23__32；③34__43；④45__54；⑤56__65??????

（2）從第（1）題的結果中，經過歸納，可以猜想出nn+1與(n+1)n的大小關系是

_____________________________________________________________________________；

（3）根據以上歸納．猜想得到的一般結論，試比較下列兩數的大小20012002_____20022001：．

（福建省龍巖市中考試題）

6．有2009個數排成一列，其中任意相鄰的三個數中，中間的數總等于前后兩數的和．若第

一個數是1，第二個數是－1，則這個2009個數的和是（）

A．－2B．－1C．0D．2

（全國初中數學競賽海南省試題）

tttt1t2t3

7．如果1+2+3=1，那么的值為（）

t1t2t3t1t2t3

A．－1B．1C．±1D．不確定

（河北省競賽試題）

8．三進位制數201可用十進制數表示為2×32+0×31+1=2×9+0+1=19；二進制數1011

可用十進制法表示為1×23+0×22+1×21+1=8+0+2+1=11．前者按3的冪降冪排列，

后者按2的冪降冪排列，現(xiàn)有三進位制數a=221，二進位制數b=10111，則a與b的大

小關系為（）．

A．a>bB．a=bC．a<bD．不能確定

（重慶市競賽試題）

9．如果有理數a,b,c,d滿足a+b>c+d，則（）

A．a-1+b+1>c+dB．a2+b2>c2+d2

C．a3+b3>c3+d3D．a4+b4>c4+d4

（“希望杯”邀請賽試題）

10．有1998個互不相等的有理數，每1997個的和都是分母為3998的既約真分數，則這個

1998個有理數的和為（）

999997998999

A．B．C．D．

1997199719981998

（《學習報》公開賽試題）

1

11．觀測下列各式：13=1=×12×22，

4

1

13+23=9=×22×32，

4

1

13+23+33=36=×32×42

4

1

13+23+33+43=100=×42×52

4

．．．

回答下面的問題：

（1）猜想13+23+33+???+(n-1)3+n3＝______________．（直接寫出你的結果）

（2）利用你得到的（1）中的結論，計算13+23+33+???+993+1003的值．

（3）計算①113+123+???+993+1003的值；

②23+43+63+???+983+1003的值．

專題06有理數的計算

例128或-26

例2D提示：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.

20011211

例3（1）提示：==2.

101123nn(n1)nn1nn1

2

719997

（2）提示：設s=7727371998，則7s=7727371999

6

（3）原式

1111111

=1335577+

261220304256

11

99

7290

11111111119

=1+1-=2-=1

22334899101010

111111

例4（1）A=111111

23m23m

12m134m1m1

==

23m23m2m

n1

同理B=

2n

m1n1111111

由A-B=-==得

2m2n2m2n26mn13

13n1313

∴m==13-，又∵m，n均為正整數，∴13+n為13×13的因數，∴13+n=132

13n13n

∴n156，m=12.

1

例5（1）原式=1-，（2）

2n

1

例6由題意知Taaaaaaaaa，即

nn11212312n

1

Tnan1an3a2aa.又

nn123n1n

1

T500a499a498a2aa

500500123499500

∴4×500.

500a1499a2498a32a499a500=200

故，，，…，的“理想數“為

8a1a2a500

1

T5018500a499a498a2aa””

501501123499500

1

=50182004500=2008.

501

A級

2012

1.2提示：原式=12020112=1+1=2.

12

2.2提示：M-1+2，解得M=2.

21

998

3.（1）；（2）-8

5997

4.1提示：設a=1997，由題意原式

aa1aa1aaaa

=aa=a

22326421324319971996

5.-136.B7.B提示：不妨設x>y>z.

8.B9.D10.A

11.

提示：設○內從右到左填的數分別為，，，，則△內填的數為