初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題17不等式（組）的應(yīng)用（解析版）

專題17不等式(組)的應(yīng)用

閱讀與思考

許多數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過數(shù)量關(guān)系和分析，列出不等

式(組)，運(yùn)用不等式的有關(guān)知識(shí)予以求解，不等式(組)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：

1．作差或作商比較有理數(shù)的大?。?/p>

2．求代數(shù)式的取值范圍．

3．求代數(shù)式的最大值或最小值．

4．列不等式(組)解應(yīng)用題．

列不等式(組)解應(yīng)用題與列方程(組)解應(yīng)用題的步驟相仿，關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，將一些詞

語轉(zhuǎn)化為不等式．如“不大于”“不小于”“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”“非正數(shù)”“非負(fù)數(shù)”等對(duì)應(yīng)不等號(hào)：“≤”“≥”“＞0”“＜

0”“≤0”“≥0”．

例題與求解

【例1】如果關(guān)于x的方程m2xx10只有負(fù)根，那么m的取值范圍是_________．

(遼寧省大連市“育英杯”競賽試題)

解題思路：由x＜0建立關(guān)于m的不等式．

199819991998200019982001

【例2】已知A＝，B＝，C＝，則有()．

200020011999200119992000

A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A

(浙江省紹興市競賽試題)

解題思路：當(dāng)作差比較困難時(shí)，不妨考慮作商比較

【例】已知，，，，，，是彼此不相等的正整數(shù)，它們的和等于，求其中最小

3a1a2a3a4a5a6a7159

數(shù)的最大值．

a1

(北京市競賽試題)

解題思路：設(shè)＜＜＜＜，則＝，解題的關(guān)鍵是怎樣把多元等式

a1a2a3···a7a1+a2+a3+···+a7159

轉(zhuǎn)化為只含的不等式．

a1

【例4】一玩具廠用于生產(chǎn)的全部勞力為450個(gè)工時(shí)，原料為400個(gè)單位，生產(chǎn)一個(gè)小熊玩具要使用15

個(gè)工時(shí)、20個(gè)單位的原料，售價(jià)為80元；生產(chǎn)一個(gè)小貓玩具要使用10個(gè)工時(shí)、5個(gè)單位的原料，售價(jià)

為45元．在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊玩具、小貓玩具的個(gè)數(shù)，可以使小熊玩具和小貓玩

具的總售價(jià)盡可能高．請用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)分析，總售價(jià)是否可能達(dá)到2200元．

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：列不等式的關(guān)鍵是勞力限制在450個(gè)工時(shí)，原料限制為400個(gè)單位．引入字母，把方程

和不等式結(jié)合起來分析．

【例5】某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分，2分，5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，

且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣多于2分的硬幣，請你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案．

(河北省競賽試題)

解題思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結(jié)合起來．

123nk

【例6】已知n，k皆為自然數(shù)，且1＜k＜n．若10，nka．求a的值．

n1

(香港中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)

解題思路：此題可理解為在n個(gè)連續(xù)自然數(shù)中去除其中一個(gè)數(shù)k(且1＜k＜n，k是非兩頭的兩

個(gè)數(shù))，使剩余的數(shù)的平均數(shù)等于10，求n和k之和。

能力訓(xùn)練

A級(jí)

a

1.若方程249xx10的解小于零，則a的取值范圍是___________．

8

3xyk1,

2.若方程組的解為x，y，且2＜k＜4，則x－y的取值范圍是___________．

x3y3

（山東省聊城市中考試題）

3.a，b，c，d是正整數(shù)，且a＋b＝20，a＋c＝24，a＋d＝22，設(shè)a＋b＋c＋d的最大值為M，

最小值為N，則M－N＝_________．

（重慶市競賽試題）

4．一輛公共汽車上有5a4名乘客，到某一車站時(shí)有92a名乘客下車，則車上原有

______________名乘客．

（吉林省長春市中考試題）

11

5．一個(gè)盒子里裝有紅、黃、白三種顏色的球，若白球至多是黃球的，且至少是紅球的，黃球與白

23

球合起來不多于55個(gè)，則盒子中至多有紅球__________個(gè)．

(河北省競賽試題)

6．若ab2，且a≥2b，則()

b1baa8

A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值

a2abb9

(浙江省杭州市中考題)

219891219901

7．設(shè)P，Q，則P，Q的大小關(guān)系是（）．

219901219911

A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能確定

8．小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有

媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時(shí)，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小芳的體

重應(yīng)小于()

A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克

(山東省煙臺(tái)市中考試題)

9．中國第三屆京劇藝術(shù)節(jié)在南京舉行，某場京劇演出的票價(jià)有2元到100元多種，某團(tuán)體需購買票價(jià)6

元和10元的票共140張，其中票價(jià)為10元的票數(shù)不少于票價(jià)為6元的票數(shù)的2倍．問這兩種票各購買

多少張所需的錢最少?最少需要多少錢?

(江蘇省競賽試題)

10．某港受潮汐的影響，近日每天24小時(shí)港內(nèi)的水深變化大體如圖所示：

一艘貨輪于上午7時(shí)在該港碼頭開始卸貨，計(jì)劃當(dāng)天卸完貨后離港．已知這艘貨輪卸完貨后吃水深

度為2.5m(吃水深度即船底與水面的距離)．該港口規(guī)定：為保證航行安全，只有當(dāng)船底與港內(nèi)水底間的

距離不少于3.5m時(shí)，才能進(jìn)出該港．

根據(jù)題目中所給的條件，回答下列問題：

(1)要使該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則出港時(shí)水深不能少于_______m，卸貨最多只能用______

小時(shí)；

(2)已知該船裝有1200噸貨，先由甲裝卸隊(duì)單獨(dú)卸，每小時(shí)卸180噸，工作了一段時(shí)間后，交由乙

隊(duì)接著單獨(dú)卸，每小時(shí)卸120噸．如果要保證該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則甲隊(duì)至少應(yīng)該工作幾

小時(shí)，才能交給乙隊(duì)接著卸？

（江蘇省蘇州市中考試題）

B級(jí)

1．設(shè)a，b，c，d都是整數(shù)，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，那么a的最大可能值為_______．

（“新世紀(jì)杯”數(shù)學(xué)競賽試題）

2．某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團(tuán)有48人，若全安排住底樓，每間住4人，房間不夠；每間

住5人，有房間沒有住滿5人．又若全安排在二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有

住滿4人，該賓館底樓有客房___________間．

3．已知a＜0，x滿足不等式ax1ax1，那么x的取值范圍是___________．

4．若a，b滿足3a25b7，S＝2a23b，則S的取值范圍是__________．

(廣西競賽試題)

．已知，，，，是彼此互不相等的負(fù)數(shù)，且＝＋＋＋＋＋＋，

5a1a2a3…a2007M(a1a2…a2006)(a2a3…a2007)

＝＋＋＋＋＋＋，那么與的大小關(guān)系是

N(a1a2…a2007)(a2a3…a2006)MN()

A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．無法確定

(江蘇省競賽試題)

6．某出版社計(jì)劃出版一套百科全書，固定成本為8萬元，每印刷一套增加成本20元．如果每套書定價(jià)

100元，賣出后有3成收入給經(jīng)銷商，出版社要盈利10％，那么該書至少要發(fā)行()套．

A．2000B．3000C．4000D．5000

(“希望杯”邀請賽試題)

7．今有濃度為5％，8％，9％的甲、乙、丙三種鹽水分別為60克，60克，47克，現(xiàn)要配制濃度為7％

的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克?

(北京市競賽試題)

8．為了迎接世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會(huì)舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則與獎(jiǎng)勵(lì)方案如下表：

勝一場平一場負(fù)一場

積分310

獎(jiǎng)金（元/人）15007000

當(dāng)比賽進(jìn)行到第12輪結(jié)束(每隊(duì)均需比賽12場)時(shí)，A隊(duì)共積19分．

(1)請通過計(jì)算，判斷A隊(duì)勝、平、負(fù)各幾場．

(2)若每賽一場，每名參賽隊(duì)員均得出場費(fèi)500元．設(shè)A隊(duì)其中一名參賽隊(duì)員所得的獎(jiǎng)金與出場費(fèi)

的和為W(元)，試求W的最大值。

(黑龍江省中考試題)

9．為實(shí)現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計(jì)劃對(duì)某縣A，B兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造．根據(jù)預(yù)算，共需資

金1575萬元，改造一所A類學(xué)校和兩所．B類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所A類學(xué)校和一所B類

學(xué)校共需資金205萬元．

(1)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元?

(2)若該縣的A類學(xué)校不超過5所，則B類學(xué)校至少有多少所?

(3)我市計(jì)劃今年對(duì)該縣A，B兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)，

若今年國家財(cái)政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財(cái)政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方

財(cái)政投入到A，B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元，請你通過計(jì)算求出有幾種改造方

案．

(湖北省襄樊市中考試題)

．設(shè)，，，是整數(shù)，且滿足下列條件：

10x1x2…x2008

－＝，，，；

(1)l≤xn≤2(n12…2008)

；

(2)x1x2x2008200

222．

(3)x1x2x20082008

求333的最大值和最小值．

x1x2x2008

(“宗滬杯”競賽試題)

專題17不等式（組）的應(yīng)用

例1-1＜m＜1

例2A

例設(shè)＜＜＜＜＜＜，因，，…為正整數(shù)，故，，，

3a1a2a3a4a5a6a7a1a2a7a11a2a12a3a13a4

5

a4a，a5a，a6a，上面不等式相加，得7a21159，a19，故a的最大

1516171171

值為19.

z80x45y,

例4設(shè)小熊玩具和小貓玩具的個(gè)數(shù)分別為x、y，總售價(jià)為z，則15x10y450

20x5y400

44016x

16x9y4403x90

9

當(dāng)總售價(jià)z=2200元時(shí)，則為3x2y90，即

44016x

4xy804x80

9

解得14x14，故x=14.

當(dāng)x=14時(shí)，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生產(chǎn)小熊玩具14個(gè)，小貓玩具24個(gè)可達(dá)到總售

價(jià)2200元.

例5提示：設(shè)兌換成的1分，2分，5分硬幣分別為x枚，y枚，z枚，則

xyz150

x2y5z350

例6解得40＜z45，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的對(duì)應(yīng)值，于

z＞y

x20,y20,z20

是得到5種方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，

43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.

例6∵1＜k＜n

123nn123nk123n1

∴＜＜

n1n1n1

11

nn1n2n1

nn2

即2＜10＜2，∴＜10＜，即n＜20＜n+2

n1n122

12319k

∴n=19。于是10，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.

191

A級(jí)

1.a＞19922.0＜x-y＜1

3.36提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d為正整數(shù)，得1a19，原式=66-2a，∴M=66-2

×1=64，N=66-2×19=28，則M-N=64-28=36.

4.6或11或16提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.

1

xy①

2

1

5.54提示：設(shè)有白球x個(gè)，黃球y個(gè)，紅球z個(gè)，則依題意有xz②，由①得y2x，∴

3

yx55③

55

3xyx55，即x，又∵x為整數(shù)，∴x18，則②式得z3x，即z54.

3

b1b1a

6.C提示：由條件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，從而或，2.

a2a2b

7.A8.D

9.購買46張6元票、94張10元票花錢最少，最少需要1216元.

10.（1）68（2）甲愉至少應(yīng)工作4小時(shí).

B級(jí)

1.3026提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.

3x5＜48＜4x5

2.10提示：設(shè)底樓有x間客房，則

4x＜48＜5x

1

3.x＞

a

215S

2

2a

21143a5|b|7192

4.S提示：由題中條件知，解得，又因?yàn)閍0,b0，

532a23|b|S143S

b

19

215S

0

192114

故，解得S.

143S53

0

19

提示：設(shè)，，則

5.Aa1a2a2006aa2a3a2006b

＞，故＞

MNaba2007aa2007ba2007ab0MN.

6.A設(shè)出版社發(fā)行x套書，則100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.

7.提示：設(shè)甲、乙、丙三種鹽水應(yīng)分別取x克，y克，z克，

xyz100

5%x8%y9%z1007%

y2004x02004x60

0x60解得，從而，解得35x49

z3x10003x10047

0y60

0z47

xyz12y193x

8.（1）設(shè)A隊(duì)勝x場、平y(tǒng)場、負(fù)z場，則，，