初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題13 位置確定

專題13位置確定

——平面直角坐標(biāo)系

閱讀與思考

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系．從而坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序

數(shù)對(duì)（x，y）之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．利用平面直角坐標(biāo)系是確定位置的有效方法之一，解與此相

關(guān)的問題需注意：

（1）理解點(diǎn)的坐標(biāo)意義；

（2）熟悉象限內(nèi)的點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、對(duì)稱軸的坐標(biāo)特征；

（3）善于促成坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化．

例題與求解

【例1】（1）已知點(diǎn)A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)關(guān)于x軸對(duì)稱，那么ab＝______________．

(四川省中考試題)

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M(1，3)和點(diǎn)N(x，3)之間的距離為5，則x的值是____________．

(遼寧省沈陽市中考試題)

解題思路：對(duì)于（1）縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，對(duì)于（2），M，N在平行于x軸的直線上787．

【例2】如圖的象棋盤中，“卒”從A點(diǎn)到B點(diǎn)，最短路徑共有()

A．14條B．15條

C．20條D．35條

(全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題)

解題思路：以點(diǎn)A為起點(diǎn)，逐漸地尋找到達(dá)每一個(gè)點(diǎn)的不同走法的種數(shù)，找到不同走法的規(guī)律．

例2題圖例3題圖

【例3】如圖，已知OABC是一個(gè)長方形，其中頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，a)和(9，a)，點(diǎn)E在

11

AB上，且AEAB，點(diǎn)F在OC上，且OFOC．點(diǎn)G在OA上，且使△GEC的面積為20，△

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GFB的面積為16，試求a的值．

（“創(chuàng)新杯”競賽試題）

解題思路：把三角形的面積用a表示，列出等式進(jìn)而求出a的值．

【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，

D(2，7)．

（1）在坐標(biāo)系中，畫出此四邊形．

（2）求此四邊形的面積．

（）在坐標(biāo)軸上，你能否找一個(gè)點(diǎn)，使？若能，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能說明理由．

3PSPBC50P

解題思路：對(duì)于（2），過C，D兩點(diǎn)分別向x軸，y軸引垂線，由坐標(biāo)得到相關(guān)線段．對(duì)于（3），

由于P點(diǎn)位置不確定，故需分類討論．

【例5】如果將電P繞頂點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)1800后與點(diǎn)Q重合，那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于電M對(duì)稱，定點(diǎn)M

叫作對(duì)稱中心，此時(shí)，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO的頂點(diǎn)A，B，O

的坐標(biāo)分別為，，，，，，點(diǎn)，，，…中相鄰兩點(diǎn)都關(guān)于△的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)稱，

(10)(01)(00)P1P2P3ABO

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)

P1P2AP2P3BP3P4OP4P5

于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，…對(duì)稱中心分別是，，，，

AP5P6BP6P7OABCA

，，…且這些對(duì)稱中心依次循環(huán)，已知的坐標(biāo)是，．試寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．

BCP1(11)P2P7P100

（江蘇省南京市中考試題）

解題思路：在操作的基礎(chǔ)上，探尋點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．

【例6】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(3，0)，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B

分別向上平移2個(gè)單位．再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD．

（）求點(diǎn)，的坐標(biāo)及四邊形的面積．

1CDABDCS四邊形ABDC

（）在軸上是否存在一點(diǎn)，連接，，使，若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)

2yPPAPBSPABS四邊形ABDCP

的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

（3）如圖②，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO．當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D

DCPBOP

重合），的值是否變化？若不變，求其值．

CPO

解題思路：（1）由平移知C(0，2)，D(4，2)．另求出四邊形面積．（2）設(shè)OP＝h，用h表示出

可求出的值．若為整數(shù)，則是軸上的點(diǎn)，若不是，則說明該點(diǎn)不存在．

SPABS四邊形ABDChy

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．如圖，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得到A'OB'，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)

為______.

（吉林省中考試題）

2．△ABC的坐標(biāo)系中的位置如圖所示，若A'B'C'與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A'的坐標(biāo)為______.

（山東省青島市中考試題）

3．線段CD是由線段AB平移得到的，點(diǎn)A(－1，4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C(4，7)，則點(diǎn)B(－4，－1)的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)D的坐標(biāo)是____________.

（內(nèi)蒙古包頭市中考試題）

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)．其順序按圖中“→”方向排列，如(1，0)，

(2，0)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探究可得，第100個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.

（四川省德陽市中考試題）

5．若點(diǎn)A(－2，n)在x軸上，則點(diǎn)B(n－1，n＋1)在()．

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（江西省南昌市中考試題）

6．若點(diǎn)M(a＋2，3－2a)在y軸上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()．

A.(－2，7)B.(0，3)C.(0，7)D.(7，0)

（重慶市中考試題）

7．如圖，若平行四邊形的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別是(0，0)，(5，0)，(2，3)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是

()．

A.(3，7)B.(5，3)C.(7，3)D.(8，2)

（江蘇省南京市中考試題）

8．如果點(diǎn)P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范圍是()．

111

A.0mB.m0C.m0D．m

222

（陜西省中考試題）

9．如圖，已知A(8，2)，B(2，2)，E，F(xiàn)在AB上且∠EOA＝∠EAO，OF平分∠BOE．

（1）求∠FOA．

（2）若將A點(diǎn)向右平移，在平移過程中∠OAB:∠OEB的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．

．如圖，智能機(jī)器貓從平面上的點(diǎn)出發(fā)，按下列規(guī)律走：由向東走到，再由向

10OO12cmA1A1

北走到，由向西走到，由向南走到，由向東走到，…，

24cmA2A236cmA3A318cmA4A460cmA5

問：智能機(jī)器貓到達(dá)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是多少？

A6O

（“華羅庚金杯”數(shù)學(xué)競賽試題）

11．中國象棋棋盤中蘊(yùn)含這平面直角坐標(biāo)系，如右圖是中國象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規(guī)律

是沿“日”形的對(duì)角線走．例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點(diǎn)A，B處．

（1）如果“帥”位于點(diǎn)(0，0)，“相”位于點(diǎn)(4，2)，則“馬”所在的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的

坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

（2）若“馬”的位置在C點(diǎn)，為了達(dá)到D點(diǎn)，請(qǐng)按“馬”走的規(guī)律，在圖中畫出一種你認(rèn)為合理

的行走路線，并用坐標(biāo)表示．

（浙江省舟山市中考試題）

B級(jí)

1．點(diǎn)A(－3，2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

（廣西壯族自治區(qū)競賽試題）

2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3，－3)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則使△AOP為等腰三角形的點(diǎn)P

共有

______個(gè)．

（內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市中考試題）

3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－3，0)，B(0，4)，且AB＝5，對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，

依次得到三角形①，②，③，④，…，則三角形⑩的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

（浙江省嘉興市中考試題）

3mx2y3

4．若關(guān)于x，y的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)在第二象限，則符合條件的實(shí)數(shù)m

x3my9

的范圍是()．

111

A.mB.m2C.2mD．m9

992

（四川省競賽試題）

5．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)(a，b)，若規(guī)定以下三種變換：

①f(a,b)(a,b)．如f(1,3)(1,3)；

②g(a,b)(b,a)．如g(1,3)(3,1)；

③h(a,b)(a,b)．如h(1,3)(1,3)．

按照以上變換由：f[g(2,3)]f(3,2)(3,2)，那么f[h(5,3)]等于()．

A.(－5，－3)B.(5，3)C.(5，－3)D．(－5，3)

（山東省濟(jì)南市中考試題）

6．設(shè)平面直角坐標(biāo)系的軸以1cm作為長度單位，△PQR的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(0，3)，Q(4，0)，R(k，5)，

其中0k4，若該三角形的面積為8cm2，則k的值是()．

8131

A.1B.C.2D．E．

342

（澳洲數(shù)學(xué)競賽試題）

7．如圖，四邊形ABCO各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－2，8)，(－11，6)，(－14，0)，(0，0)．

（1）求這個(gè)四邊形的面積．

（2）若把原來四邊形ABCO各個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)增大a，則所得的四邊形面積又是

多少？

8．如圖，平面直角坐標(biāo)系中A(－2，0)，B(2，－2)，線段AB交軸于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）若D(6，0)，動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)開始在x軸上以每秒3個(gè)單位向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開

始在軸上以每秒個(gè)單位向下運(yùn)動(dòng)．問：經(jīng)過多少秒鐘，？

y1SAPCSAOQ

．某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第棵樹種植在

9KP(xk,yk)

處，其中，當(dāng)時(shí)，