數(shù)學（全國乙卷）（理科）（參考答案）

2024年高考數(shù)學第一次模擬考試數(shù)學（理科）·參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．123456789101112ACBCDCBDDADD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13． 14． 15． 16．三、解答題：本大題共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）【詳解】（1）令，，則，，所以，所以；.............................................................6分（2）設甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件，則，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．.............................................................12分18．（12分）【詳解】（1）因為平面，平面，所以．又底面為矩形，，又，、平面，所以平面．.............................................................5分（2）以A為原點，AP為z軸，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標系．.............................................................6分

所以，，，，，令，，得，所以，根據(jù)，則，所以，取的方向向量為，.............................................................9分設平面的法向量為，，，根據(jù)，取，得，所以，即直線與平面所成角的正弦值..............................................................12分19．（12分）【詳解】（1）解：因為，所以，即，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，則..............................................................5分（2）①因為，所以；.............................................................8分②由①得，設，則，兩式相減得，即，從而，故..............................................................12分20．（12分)【詳解】（1）由，，則，所以，即切線斜率為，又，則切點為，切線方程為，所以曲線在點處的切線方程為．.............................................................4分（2）根據(jù)題意得，，則．由0為的極小值點，可知．設，則．（?。┊敃r，，所以在上單調遞增，又，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以0是的極小值點，符合題意．.............................................................7分（ⅱ）當時，設，則，所以在上單調遞增，，，所以存在，使得，所以當時，，單調遞減，即單調遞減；當時，，單調遞增，即單調遞增.又，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以0是的極小值點，符合題意．.............................................................9分（ⅲ）當時，，且在上單調遞增，所以當時，，單調遞減，即單調遞減；當時，，單調遞增，即單調遞增.又，所以，單調遞增，不符合題意．（ⅳ）當時，，在上單調遞增，，所以存在，使得，所以當時，，單調遞減，又，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以0是的極大值點，不符合題意．綜上，的取值范圍是．.............................................................12分21．（12分）【詳解】（1）將點代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，設直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，由韋達定理得：，根據(jù)拋物線定義：，可得，此時，解得或，設的中點坐標為，則，可得的垂直平分線方程為：，將代入整理得：，故的垂直平分線過定點..............................................................6分（2）由（1）可得，且點到直線的距離，則的面積為，可得，設，設，則令，解得；令，解得；則在上單調遞增，在上單調遞減所以當時，的面積取最大值，此時，即.

.............................................................12分（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22．（10分)【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，，，即（為焦點在軸上的橢圓）..............................................................4分（2）設直線的傾斜角為，直線過點直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，可得，，.............................................................6分設，兩點所對的參數(shù)為，，曲線與軸交于兩點，在曲線的內部，一正一負，，而，，，，，解得，為直線的傾斜角，，，，或，直線的傾斜角為或..............................................................10分選修4-5：不等式選講23．（10分）【詳解】解：（1），即，利用零點分區(qū)間法，對去絕對值，當時，由，得，所以，當時，成立，所以，當時，由，得，所以.綜上可知，不等式的解集為..............................................................5分（2）由題意，可知，由（1）得當時，恒成立，因為，所以時不