簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則教案

簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則教案?一、教學(xué)目標1.知識與技能目標讓學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)的概念，能夠準確識別復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成。熟練掌握簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并能運用該法則正確地對復(fù)合函數(shù)進行求導(dǎo)。2.過程與方法目標通過實例分析、探究推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和類比的能力，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法。在運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解題的過程中，提高學(xué)生的運算能力和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴謹性和應(yīng)用價值，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點復(fù)合函數(shù)的概念及結(jié)構(gòu)分析。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推導(dǎo)與理解。運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)運算。2.教學(xué)難點復(fù)合函數(shù)的分解，準確找出中間變量。理解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中各部分之間的關(guān)系，并能正確運用法則進行求導(dǎo)。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解復(fù)合函數(shù)的概念、求導(dǎo)法則等基礎(chǔ)知識，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有初步的認識。2.討論法：組織學(xué)生討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成、求導(dǎo)法則的推導(dǎo)過程等問題，激發(fā)學(xué)生的思維，促進學(xué)生之間的交流與合作。3.練習(xí)法：通過大量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，提高學(xué)生運用知識解決問題的能力。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.復(fù)習(xí)回顧求函數(shù)\(y=2x+3\)，\(y=x^2\)，\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)。提問：導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義分別是什么？2.情境引入展示一個實際問題：已知一個球形氣球的半徑\(r\)（單位：\(cm\)）與時間\(t\)（單位：\(s\)）的函數(shù)關(guān)系為\(r=2t+1\)，求當(dāng)\(t=2s\)時，氣球體積\(V\)關(guān)于時間\(t\)的變化率。引導(dǎo)學(xué)生分析：氣球體積\(V\)與半徑\(r\)的關(guān)系為\(V=\frac{4}{3}\pir^3\)，這里\(V\)是\(r\)的函數(shù)，\(r\)又是\(t\)的函數(shù)，那么\(V\)就是\(t\)的復(fù)合函數(shù)。如何求\(V\)關(guān)于\(t\)的導(dǎo)數(shù)呢？從而引出本節(jié)課的主題簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。

（二）講授新課（25分鐘）1.復(fù)合函數(shù)的概念（10分鐘）給出幾個具體的函數(shù)例子：\(y=(2x+3)^5\)\(y=\sin(2x)\)\(y=e^{x^2}\)引導(dǎo)學(xué)生觀察這些函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，分析它們與之前學(xué)過的簡單函數(shù)的不同之處。總結(jié)復(fù)合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，如果通過變量\(u\)，\(y\)可以表示成\(x\)的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)\(y=f(u)\)與\(u=g(x)\)的復(fù)合函數(shù)，記作\(y=f(g(x))\)，其中\(zhòng)(u\)叫做中間變量。進一步強調(diào)：復(fù)合函數(shù)的關(guān)鍵在于存在中間變量，它是由兩個或多個基本函數(shù)復(fù)合而成的。讓學(xué)生判斷一些函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)，如\(y=x^2+1\)，\(y=\sqrt{x+1}\)，\(y=\log_2(x^21)\)等，并說明理由，加深對復(fù)合函數(shù)概念的理解。2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（15分鐘）以\(y=(2x+3)^5\)為例進行推導(dǎo)。設(shè)\(u=2x+3\)，則\(y=u^5\)。先對\(y=u^5\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n1}\)，可得\(y^\prime_u=5u^4\)。再對\(u=2x+3\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)，可得\(u^\prime_x=2\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，將\(y^\prime_u=5u^4\)，\(u^\prime_x=2\)代入可得：\(y^\prime_x=5(2x+3)^4\cdot2=10(2x+3)^4\)?？偨Y(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)\(y=f(g(x))\)，\(u=g(x)\)，則\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。強調(diào)：運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵是正確分解復(fù)合函數(shù)，找出中間變量，并分別求導(dǎo)，最后相乘。通過幾個簡單的例子，如\(y=\sin(2x)\)，\(y=e^{x^2}\)，讓學(xué)生練習(xí)運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，鞏固所學(xué)法則。

（三）例題講解（20分鐘）例1：求函數(shù)\(y=(3x2)^4\)的導(dǎo)數(shù)。解：設(shè)\(u=3x2\)，則\(y=u^4\)。先對\(y=u^4\)求導(dǎo)，\(y^\prime_u=4u^3\)；再對\(u=3x2\)求導(dǎo)，\(u^\prime_x=3\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=4(3x2)^3\cdot3=12(3x2)^3\)。

例2：求函數(shù)\(y=\cos(x^2+1)\)的導(dǎo)數(shù)。解：設(shè)\(u=x^2+1\)，則\(y=\cosu\)。先對\(y=\cosu\)求導(dǎo)，\(y^\prime_u=\sinu\)；再對\(u=x^2+1\)求導(dǎo)，\(u^\prime_x=2x\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=\sin(x^2+1)\cdot2x=2x\sin(x^2+1)\)。

例3：求函數(shù)\(y=\ln(2x+1)\)的導(dǎo)數(shù)。解：設(shè)\(u=2x+1\)，則\(y=\lnu\)。先對\(y=\lnu\)求導(dǎo)，\(y^\prime_u=\frac{1}{u}\)；再對\(u=2x+1\)求導(dǎo)，\(u^\prime_x=2\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=\frac{1}{2x+1}\cdot2=\frac{2}{2x+1}\)。

在講解例題的過程中，詳細展示每一步的求解思路和依據(jù)，強調(diào)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用步驟和注意事項，如要準確找出中間變量，求導(dǎo)時要正確運用求導(dǎo)公式等。

（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：\(y=(2x+5)^3\)\(y=\sin(3x\frac{\pi}{6})\)\(y=e^{2x}\)\(y=\ln(3x^2+2x)\)2.已知函數(shù)\(y=f(x)\)滿足\(f^\prime(2x1)=6x1\)，求\(f^\prime(x)\)。讓學(xué)生在練習(xí)本上完成這些練習(xí)題，教師巡視指導(dǎo)，及時糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，對學(xué)生普遍存在的問題進行集中講解。通過課堂練習(xí)，進一步鞏固學(xué)生對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的掌握程度，提高學(xué)生運用法則進行求導(dǎo)運算的能力。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)的概念，如何判斷一個函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成特點。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推導(dǎo)過程和內(nèi)容，即\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)。在運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)時的步驟和注意事項，如正確分解復(fù)合函數(shù)、準確求導(dǎo)等。2.讓學(xué)生分享本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲和體會，教師進行補充和完善，強化學(xué)生對本節(jié)課重點知識的理解和記憶。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材課后習(xí)題中相關(guān)的練習(xí)題，如求函數(shù)\(y=(x^23x+2)^3\)，\(y=\cos(2x+1)\)，\(y=e^{x^3}\)等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2.拓展作業(yè)：思考如何求更復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如\(y=\sin^2(2x+1)\)，\(y=\ln(\sqrt{x^2+1})\)等，并嘗試進行求解。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對復(fù)合函數(shù)的概念和求導(dǎo)法則有了初步的理解和掌握。在教學(xué)過程中，采用了多種教學(xué)方法相結(jié)合，如講授法、討論法和練習(xí)法等，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂活動，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和運算能力。

在導(dǎo)入新課時，通過實際問題情境引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但在引導(dǎo)學(xué)生分析問題時，可以更加深入一些，讓學(xué)生更充分地體會復(fù)合函數(shù)在實際中的應(yīng)用。在講解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推導(dǎo)過程時，雖然通過具體例子進行了詳