等式的性質與方程的解集

2.1.1等式的性質與方程的解集有只狡猾的狐貍，平時總喜歡戲弄其他動物，有一天它遇見老虎，狐貍說：“我發(fā)現(xiàn)2和5可以相等，我這里有一個方程5x-2=2x-2.等式兩邊同時加上2，得5x=2x.等式兩邊同時除以x，得5=2.”老虎瞪大了眼睛，一臉的疑惑你認為狐貍的說法正確嗎？新知探究（1）等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；（2）等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．我們已經學習過等式的性質：新知探究【嘗試與發(fā)現(xiàn)】用符號語言和量詞表示上述等式的性質：（1）如果a＝b，則對任意c，都有___________；（2）如果a＝b，則對任意不為零的c，都有___________．（1）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．即：如果a＝b，則對任意c，都有a±c＝b±c．（2）等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．即：如果a＝b，則對任意不為零的c，都有ac＝bc（或）．a＋c＝b＋cac＝bc新知探究【嘗試與發(fā)現(xiàn)】補全下列（1）（2）中的兩個公式，然后將下列含有字母的等式進行分類，并說出分類的標準：（1）a2－b2＝_____________（平方差公式）；（2）（x＋y）2＝______________（兩數(shù)和的平方公式）；（3）3x－6＝0；（4）（a＋b）c＝ac＋bc；（5）m（m－1）＝0；（6）t3＋1＝（t＋1）（t2－t＋1）．新知探究對任意實數(shù)都成立的等式有：__________________________；只是存在實數(shù)使其成立的等式有：_____________

.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．恒等式是進行代數(shù)變形的依據(jù)之一．（1）（2）（4）（6）（3）（5）新知探究【想一想】如何得到兩數(shù)差的平方公式？如何認識這個恒等式：對任意的x，a，b，都有（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．新知探究這是我們經常會用到的恒等式：對任意的x，a，b，都有（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．只需將左邊展開然后合并同類項即可證明這個恒等式．從左到右是乘法運算，而從右到左是因式分解．一般地：給定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，則x2＋Cx＋D＝（x＋a）（x＋b）．為了方便記憶，已知C和D，尋找滿足條件的a和b的過程，通常用下圖來表示：其中兩條交叉的線表示對應數(shù)相乘后相加要等于C，也正因為如此，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”．新知探究【練一練】用十字相乘法分解因式（1）x2＋5x＋6（2）x2－2x－3（3）x2＋2x－15＝（x＋2）（x＋3）＝（x－3）（x＋1）＝（x＋5）（x－3）上述恒等式的證明，也只需將左邊展開然后合并同類項即可．據(jù)此也可進行因式分解，即（ax＋b）（cx＋d）＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd．新知探究【練一練】用十字相乘法分解因式3x2＋11x＋10．3x2＋11x＋10＝（x＋2）（3x＋5）．1235新知探究【想一想】（1）一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的根是什么？方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是什么？一般地，把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集．利用等式的性質和有關恒等式進行代數(shù)變形，可以得到一些方程的解集．新知探究【想一想】（1）一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的根是什么？（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是什么？（1）（2）當Δ＝b2－4ac＞0時，方程有兩不等實根當Δ＝b2－4ac＝0時，當Δ＝b2－4ac＜0時，方程無實根．新知探究【練一練】求下列方程的解集．（1）x2＋3x＋2＝0（2）x2－2021x－2022＝0{－1，－2}{－1，2022}新知探究【想一想】一元二次方程的解集中一定有兩個元素嗎？一元二次方程的解集中不一定有兩個元素．對于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當Δ＝b2－4ac＝0時，解集中有一個元素；當Δ＝b2－4ac＜0時，方程無實根，解集中沒有元素．當Δ＝b2－4ac＞0時，方程有兩不等實根解集中有兩個元素；新知探究例1化簡（2x＋1）2－（x－1）2．方法一：可以利用兩數(shù)和的平方公式與兩數(shù)差的平方公式展開，然后合并同類項，即（2x＋1）2－（x－1）2＝4x2＋4x＋1－（x2－2x＋1）＝3x2＋6x．方法二：可以將2x＋1和x－1分別看成一個整體，然后使用平方差公式，即（2x＋1）2－（x－1）2＝[（2x＋1）＋（x＋1）][（2x＋1）－（x＋1）]＝3x（x＋2）＝3x2＋6x．想一想一元二次方程的解集中一定有兩個元素嗎？如果一個一元二次方程通過因式分解化為(x-x?)(x-x?)=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了解：課堂練習將各式分解因式（1）x2－25（2）a2－6a＋9（3）4m（x－y）－8n（y－x）＝（x＋5）（x－5）＝（a－3）2＝4（x－y）（m＋2n）分解因式的常用方法：（1）平方差公式法；（2）完全平方公式法；（3）提取公因式法；（4）十字相乘法．（4）（a2＋4）2－16a2＝（a＋2）2（a－2）2．一、等式的性質性質1：等式的兩邊同時加（減）上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立性質2：等式的兩邊同時乘以（除以）上同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立歸納小結性質3（對稱性）：若a